《线性代数》课程教学课件（讲稿）消元法求解线性方程组

矩阵的初等变换在解线0101消元法性方程组、求逆矩阵及矩阵理论研究中都有重矩阵的初等变换0102初等变换要作用0103我们借助消元法求解线等价关系性方程组引出矩阵的初等变换矩阵的重要运算内容简介福

矩阵的初等变换 内容简介 0101 消元法 0102 初等变换 0103 等价关系 矩阵 的初等变换在解线 性方程组、求逆矩阵及 矩阵理论研究中都有重 要作用 矩阵的重 要运算 我们借助消元法求解线 性方程组引出矩阵的初 等变换

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解V引例X +2x, +3x =-7用消元法解线性方程组2x -x, +2xs =-8(*=7x+3x2消元法求解线性方程组解将方程组的消元过程用增广矩阵的变换过程记录213-7X +2x, +3x =-72-82-12xi - x, + 2x, =-83017=7+3x2八消元法

线 性 方 程 组 消 元 法 求 解 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 消元法              1 3 0 7 2 1 2 8 1 2 3 7                3 7 2 2 8 2 3 7 1 2 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x 解 用消元法解线性方程组 ( ) 3 7 2 2 8 2 3 7 1 2 1 2 3 1 2 3                 x x x x x x x x 将方程组的消元过程用增广矩阵的变换过程记录 引例

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解X +2x, +3xs = -72S2 -82-1 2x -X2 + 2xg =-813 0=7X+3x2消元法求解线性方程组(1）把方程组中第二个方程加上第一个方程的-2倍，把第三个方程加上第一个方程的-1倍，得：Xi +2x2 +3x3 =-723-7-5x2 -4x3 = 60-56-4:014 1xz -3x, =14-3消元法公

线 性 方 程 组 消 元 法 求 解 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 (1) 把方程组中第二个方程加上第一个方程的-2 倍，把 第三个方程加上第一个方程的-1倍，得：               3 14 5 4 6 2 3 7 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x               0 1 3 14 0 5 4 6 1 2 3 7                3 7 2 2 8 2 3 7 1 2 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x              1 3 0 7 2 1 2 8 1 2 3 7 消元法

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解"1-723X +2x2 +3x =-70-5-46-5x2 -4xg = 6(01413Xz -3xg =14消元法求解线性方程组交换方程组中第二与第三个方程的位置，得2)1-7)23X +2x2 +3xg=-70141-3X2 -3x, =1406-4-5-5x2 -4xg = 6消元法

线 性 方 程 组 消 元 法 求 解 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 消元法 (2) 交换方程组中第二与第三个方程的位置，得               5 4 6 3 14 2 3 7 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x               0 5 4 6 0 1 3 14 1 2 3 7               3 14 5 4 6 2 3 7 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x               0 1 3 14 0 5 4 6 1 2 3 7

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解"X +2x2 +33 = -73-7120-3 Xz -3xs =141410-5x2 -4x =66-5-4-消元法求解线性方程组把方程组的第三个方程加上第二个方程的5倍，得(3)1-723Xi +2x2 +3x = -70114-3X2 -3x =140(076)-19-19x, = 76消元法

线 性 方 程 组 消 元 法 求 解 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 (3) 把方程组的第三个方程加上第二个方程的5倍，得              19 76 3 14 2 3 7 3 2 3 1 2 3 x x x x x x              0 0 19 76 0 1 3 14 1 2 3 7               5 4 6 3 14 2 3 7 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x               0 5 4 6 0 1 3 14 1 2 3 7 消元法

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解Y23-7Xi+2x,+3x,=-710141-3X -3x, =140076-19-19x, = 76消元法求解线性方程组得把方程组中的第三个方程两边同乘-1/19，(4)X +2x, +3x, =-7123x2 -3x, =14n14-3=-4X3001A:(1)消元法大

线 性 方 程 组 消 元 法 求 解 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 (4) 把方程组中的第三个方程两边同乘-1/19，得              4 3 14 2 3 7 3 2 3 1 2 3 x x x x x x              0 0 1 4 0 1 3 14 1 2 3 7              19 76 3 14 2 3 7 3 2 3 1 2 3 x x x x x x              0 0 19 76 0 1 3 14 1 2 3 7 (1) 消元法

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解C说明方程组(1)的特点：自上而下看，未知量个数依次减少，成为阶梯形方程组方程组进行了如下三种基本变换消元法求解线性方程组交换两个方程的位置；1)(2)用一个非零常数乘某一个方程：(3)把一个方程的常数倍加到另一个方程上去；由于这三种变换都是可逆的，所以变换前后的方程组是同解的，这三种变换称为同解变换消元法

线 性 方 程 组 消 元 法 求 解 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 说明  方程组(1)的特点：自上而下看，未知量个数依 次减少，成为阶梯形方程组  方程组进行了如下三种基本变换 (1) 交换两个方程的位置； (2) 用一个非零常数乘某一个方程； (3) 把一个方程的常数倍加到另一个方程上去；  由于这三种变换都是可逆的，所以变换前后的 方程组是同解的，这三种变换称为同解变换 消元法

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解对方程组的变换可通过对其增广矩阵的行作相应的变换表达线性方程组消元法求解将上述对方程组的同解变换移植到矩阵上，即得到了矩阵的初等变换消元法福

线 性 方 程 组 消 元 法 求 解 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 对方程组的变换可通过对其增广矩阵的行作相应的变换 表达 将上述对方程组的同解变换移植到矩阵上，即得到了 矩阵的初等变换 消元法

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解"X, +2x, +3x,=-7逐步向上得方程组的解为由求解X2 -3x, =14Xs =-4X3 =-4,X, =2,x, =1消元法求解线性方程组说明求解过程分为两步：(1)按顺序消元，使方程组变为同解的阶梯形方程组(2)回代求出方程组的解称这种求解线性方程组的方法为高斯消元法消元法立

线 性 方 程 组 消 元 法 求 解 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解              4 3 14 2 3 7 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 由 x3  4, x2  2, x1  1 得方程组的解为: 求解过程分为两步： (2) 回代求出方程组的解 (1) 按顺序消元，使方程组变为同解的阶梯形方程组 称这种求解线性方程组的方法为高斯消元法 逐步向上 求解 说明 消元法

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解V(1)2x -X2-X, + X4 =2例 1 (2)Xi +x2 -2x +x4 = 4用消元法解线性方程组(3)4x -6x, +2x -2x4 = 4消元法求解线性方程组(4)[3xj +6x2-9x, +7x4=9消元过程与增广矩阵的变换过程对比：22-1-1141-211-244-62936-97消元法

线 性 方 程 组 消 元 法 求 解 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 1 2 4 2 4 6 +2 2 4 3 3 6 9 7 9 4 x x x x x x x x x x x x x x x x                     （） （ ） （ ） （ ） 消元法 例1 用消元法解线性方程组 消元过程与增广矩阵的变换过程对比： 2 -1 -1 1 2 1 1 -2 1 4 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9      