《概率论与数理统计》课程教学资源（实验指导）7、单正态总体的假设检验

实验7单正态总体的假设检验假设检验是数理统计中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法，在数理统计的理论研究与实际应用中占有重要的位置。所谓假设检验，就是根据实际问题的需要，对总体的分布形式或分布中的某些未知参数提出某种假设，利用样本提供的信息选择适当的检验统计量，再根据小概率事件原理”来判定对所提出的假设是否定还是接受。假设检验有独特的统计思想，在科学研究与工农业生产实践中具有广泛的应用价值。这是另一类重要的讨论统计推断的问题。1实验目的（1）学习单正态总体均值的假设检验：1）方差已知时均值μ的检验关于μ是否等于已知值的检验，此时的检验假设是H:=，H:o（己知）=己已知x-μo检验办法：对于样本观测值xi,x2，",x，，计算检验统计量的值u=n.若au>ug，则否定H：若|uua，则接受H。.这种检验法通常称为U检验法2）方差未知时均值μ的检验在H成立时t~(n-)，这时，否定域是tt（n-1)，由Plt(n-1)=α查t分JN布表，可得t。（n-1)．检验法则为：2若>1a(n-1)，则否定H。，接受H,：若|t飞t。(n-1)，则接受H。：这种检验法22通常称为t检验法（2）学习单正态总体方差的假设检验。检验假设H:0=0%,（α。是已知值）H,:0+0°建立检验统计量 -~ 2(a-1)a

实验 7 单正态总体的假设检验 假设检验是数理统计中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法,在数理统计的 理论研究与实际应用中占有重要的位置。所谓假设检验，就是根据实际问题的需要，对总 体的分布形式或分布中的某些未知参数提出某种假设，利用样本提供的信息选择适当的检 验统计量，再根据“小概率事件原理”来判定对所提出的假设是否定还是接受。假设检验有 独特的统计思想，在科学研究与工农业生产实践中具有广泛的应用价值。这是另一类重要 的讨论统计推断的问题。 1 实验目的 （1）学习单正态总体均值的假设检验； 1）方差 2  已知时均值  的检验 关于  是否等于已知值的检验，此时的检验假设是 0 0 H :  =  ， 1 0 H :    （  0 已知） 2  = 2  0 已知 检验办法：对于样本观测值 n x , x , , x 1 2  ，计算检验统计量的值 0 x u n   − = ．若 2 | | u u   ，则否定 H0 ；若 2 | | u u   ，则接受 H0 ．这种检验法通常称为 U 检验法． 2）方差 2  未知时均值  的检验 在 H0 成立时 t ~ t(n −1) ，这时，否定域是       | | ( −1) 2 t t n ，由  =       | | ( −1) 2 P t t n 查 t 分 布表，可得 ( 1) 2 t n − ．检验法则为： 若 | | ( 1) 2 t  t n − ，则否定 H0 ，接受 H1 ；若 | | ( 1) 2 t  t n − ，则接受 H0 ．这种检验法 通常称为 t 检验法． （2）学习单正态总体方差的假设检验。 检验假设 2 0 2 0 H : = ， 2 0 2 1 H :  （ 2  0 是已知值） 建立检验统计量 ~ ( 1) 2 0 2 2   n − S = ( 1) 2  n −

H。的否定域可取为[(n-1)s2(n-1)s2IC.a.a.的形式，给定显著性水平α，由= P(c2)2查×分布表可得c=22.(n-1), C=x(n-1).2[(n-1)s2n-(n-1)因此H。的否定域是2(n-1a.7上面的检验方法称为?检验法2基本语句(1)0.05,TwoSided->True,FullReport->True]功能：对均值的检验(3)VarianceTest[data7,?,TwoSided->True,SignificanceLevel->0.05]功能：对方差的检验3典型例题例1设某次考试的学生成绩服从正态分布，标准差为15分。从中随机抽地25位考生的成绩，算得平均成绩为75分，问在显著性水平α=0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩高于70分？解这是正态总体方差已知时，对均值的单边检验，需要检验假设Hμ=70H,:u>70X-Mou=检验的统计量为g//n输入命令p]=NormalPValue[(75-70)/15*Sqrt[25]]ResultOfTest[pl[2], SignificanceLevel->0.05, FullReport->True]运行结果拒绝原假设：OneSidedPValue->0.0477904(OneSidedPValue->0.0477904,Rejectnullhypothesisat significance->level 0.05)。例2某种电子元件的寿命X（以小时计)服从正态分布，其中u、α均未知，现测得16只元件的寿命如下：101212224264159280379179

H0 的否定域可取为        − 2 1 0 2 ( 1) c n S          − 2 2 0 2 ( 1) c n S  的形式．给定显著性水平  ，由 = 2   1 2 P   c =  2 2 P   c 查 2  分布表可得 1 c = ( 1) 2 2 1 − −   n ， 2 c = ( 1) 2 2   n − ． 因此 H0 的否定域是        − − − ( 1) ( 1) 2 2 1 2 0 2 n n S            − − ( 1) ( 1) 2 2 2 0 2 n n S    ． 上面的检验方法称为 2  检验法． 2 基本语句 （1）0.05, TwoSided->True, FullReport->True] 功能：对均值的检验 （3）VarianceTest[data7, 2  ,TwoSided->True, SignificanceLevel->0.05] 功能：对方差的检验 3 典型例题 例 1 设某次考试的学生成绩服从正态分布，标准差为 15 分。 从中随机抽地 25 位考 生的成绩，算得平均成绩为 75 分，问在显著性水平  = 0.05 下，是否可以认为这次考试 全体考生的平均成绩高于 70 分? 解 这是正态总体方差已知时，对均值的单边检验，需要检验假设 H0：  ＝70 H1：  >70 检验的统计量为 n x u / 0  −  = 输入命令 p1=NormalPValue[(75-70)/15*Sqrt[25]] ResultOfTest[p1[[2]]，SignificanceLevel->0.05，FullReport->True] 运行结果拒绝原假设: OneSidedPValue->0.0477904 {OneSidedPValue->0.0477904，Reject null hypothesis at significance->level 0.05}。 例 2 某种电子元件的寿命 X (以小时计)服从正态分布，其中  、 2  均未知，现测得 16 只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264

222362168250149260485170向是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时）？解这是正态总体方差未知时，对均值的单边检验，需要检验假设H:μ≤225H:u>225输入命令：data3=159.280.101.212.224.379.179.264.222362.168.250.149.260.485.1701:MeanTest[data3.225.SignificanceLevel->0.05.FullReport->True（*单边检验且未知方差，故选项TwoSided、KnownVariance均采用缺省值*)运行结果为：(FullReport ->MeanTestStatDistribution241.50.668518StudentTDistribution[15]OneSidedPValue->0.25698Fail to reject null hypothesis at significance level->0.05)结果给出检验报告：样本均值X=241.5，所用的检验统计量为自由度15的t分布(T检验)，检验统计量的观测值为0.668518，单边检验的P值为0.25698，在显著性水平α=0.05下，不拒绝原假设，即认为元件的平均寿命不大于225例3从一批零件中任取100件测其直径，测得平均直径为5.2，标准差为1.6.在显著性水平α=0.05下，判定这批零件的直径是否符合5的标准。解检验假设H。:μ=5H:u*5T=2-40检验的统计量为s//n它服从自由度为n-1的T分布。已知样本容量n=100，样本均值x=5.2，样本标准差s=1.6。输入命令StudentTPValue[(5.2-5)/1.6*Sqrt[100]，100-1,TwoSided->True]运行P值：TwoSidedPValue->0.214246从P值等于0.214246，它大于0.05，因此不拒绝原假设。认为这批零件的直径符合5的标准。习题1.某工厂生产金属丝，产品指标为折断力。折断力的方差被用作工厂生产精度的表征。方差越小，表明精度越高。以往工厂一直把该方差保持在64(kg）与64以下。最近从一批产品中抽取10根作折断力试验，测得的结果（单位：kg）如下：5785725705685725705725965584570由上述样本数据算得x=575.2.s2=75.74。为此，厂方怀疑金属丝折断力的方差是否变大了。如确实增大了，表明生产精度不如以前，就需对生产流程作一番检验，以发现生产环节中存在的问题。2.某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）长期以来服从方差2=5000的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变。现随机取26只电池，测出其寿命的样本方差s2=9200。问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化(取α=0.02）？

222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于 225(小时)? 解 这是正态总体方差未知时，对均值的单边检验，需要检验假设 H0 ：  ≤225 H1 ：  ＞225 输入命令: data3={159,280,101,212,224,379,179,264,222, 362,168,250,149,260,485,170}; MeanTest[data3,225,SignificanceLevel->0.05,FullReport->True] (*单边检验且未知方差，故选项 TwoSided、KnownVariance 均采用缺省值*) 运行结果为： {FullReport -> Mean TestStat Distribution , 241.5 0.668518 StudentTDistribution[15] OneSidedPValue -> 0.25698, Fail to reject null hypothesis at significance level->0.05} 结果给出检验报告：样本均值 X ＝241.5，所用的检验统计量为自由度 15 的 t 分布(T 检验)，检验统计量的观测值为 0.668518，单边检验的 P 值为 0.25698，在显著性水平  ＝ 0.05 下，不拒绝原假设，即认为元件的平均寿命不大于 225. 例 3 从一批零件中任取 100 件测其直径，测得平均直径为 5.2，标准差为 1.6. 在显著 性水平  = 0.05 下，判定这批零件的直径是否符合 5 的标准。 解 检验假设 H0 :  = 5 H1 :   5 检验的统计量为 s n x T / − 0 = 它服从自由度为 n −1 的 T 分布。 已知样本容量 n = 100 ，样本均值 x = 5.2 ，样本标准差 s =1.6 。 输入命令 StudentTPValue[(5.2-5)/1.6*Sqrt[100]，100-1，TwoSided->True] 运行 P 值: TwoSidedPValue->0.214246 从 P 值等于 0.214246，它大于 0.05，因此不拒绝原假设。 认为这批零件的直径符合 5 的标准。 习 题 1.某工厂生产金属丝，产品指标为折断力。折断力的方差被用作工厂生产精度的表征。 方差越小，表明精度越高。 以往工厂一直把该方差保持在 64(kg 2 )与 64 以下。 最近从一 批产品中抽取 10 根作折断力试验，测得的结果(单位: kg) 如下: 578 572 570 568 572 570 572 596 584 570 由上述样本数据算得 575.2, 75.74 2 x = s = 。 为此，厂方怀疑金属丝折断力的方差是否变大了。 如确实增大了，表明生产精度不 如以前，就需对生产流程作一番检验，以发现生产环节中存在的问题。 2.某厂生产的某种型号的电池，其寿命(以小时计) 长期以来服从方差 5000 2  = 的正 态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变。 现随机取 26 只电池，测出其寿命的样本方差 9200 2 s = 。问根据这一数据能否推断这批电池的寿命 的波动性较以往的有显著的变化(取  = 0.02 )?