中国科学技术大学：《数学分析》课程教学资源（讲义）2 拓扑空间

Lec3 Note of Mathematical Analvsis B3Xuxuayame日期：2022年9月6日由于不是很能明白老师上课讲的内容，这里干脆直接复刻课本内容，再补充一点Munkres上的内容。82拓扑空间2.1拓扑空间定义2.1.设X是集合，J=GIGCX，G具有性质P)是X的子集族，且满足：1. X,0EJ;2.若GaEJ,则UGEJ;3. 若G1,G2 EJ,则GinG2 E J,则称(X,）为一个拓扑空间（Topologicalspace)，丁称为X上的一个拓扑（Topology)。J中的元素G称为(X,J)或X的开集(Openset)。K容易看出，由3和归纳法可推出：如果G;E(j=1,…，k)，则G,ET。恰当地说，一个拓扑空间是一个有序对（X，の），包括一个集合X和其上的一个拓扑了，但我们经常省略了，除非引起混淆。于是沿用这一套术语，我们可以说一个拓扑空间是一个集合X与它的一个子集族称为开集，使得の和X是开集，开集的任意并和有限交都是开集。例2.1.设(X,P)为度量空间，对任何aEX，ε>0，我们称U(a,e) =(r /r EX, p(r,a) 0,使得U(a,e)CGaoCUGa，因此满足条件2。如果aEGinG2,Gi,G2E,1

Lec3 Note of Mathematical Analysis B3 Xuxuayame 日期：2022 年 9 月 6 日 由于不是很能明白老师上课讲的内容，这里干脆直接复刻课本内容，再补充一点 Munkres 上的内容。 §2 拓扑空间 2.1 拓扑空间 定义 2.1. 设 X 是集合，T = {G | G ⊂ X, G具有性质P} 是 X 的子集族，且满足： 1. X, ∅ ∈ T； 2. 若 Gα ∈ T，则 ∪ α Gα ∈ T； 3. 若 G1, G2 ∈ T，则 G1 ∩ G2 ∈ T， 则称 (X, T) 为一个拓扑空间 (Topological space)，T 称为 X 上的一个拓扑 (Topology)。T 中的元素 G 称为 (X, T) 或 X 的开集 (Open set)。 容易看出，由 3 和归纳法可推出：如果 Gj ∈ T (j = 1, · · · , k)，则 ∩ k j=1 Gj ∈ T。 恰当地说，一个拓扑空间是一个有序对 (X, T)，包括一个集合 X 和其上的一个拓 扑 T，但我们经常省略 T，除非引起混淆。 于是沿用这一套术语，我们可以说一个拓扑空间是一个集合 X 与它的一个子集族， 称为开集，使得 ∅ 和 X 是开集，开集的任意并和有限交都是开集。 例 2.1. 设 (X, ρ) 为度量空间，对任何 a ∈ X, ε > 0，我们称 U(a, ε) = {x | x ∈ X, ρ(x, a) 0，使得 U(a, ε) ⊂ Gα0 ⊂ ∪ α Gα，因此满足条件 2。如果 a ∈ G1 ∩G2, G1, G2 ∈ T， 1

则存在1,2>0,U(a,=1)CG1,U(a,2)CG2，若令==min[e1,E2)，则有U(a,)CU(a,ε1)nU(a,=2)CGinG2，因此满足条件3。这就证明了(X,J)是一个拓扑空间。今后，我们说度量空间(X,P)是一个拓扑空间，指的就是又它导出的（X,J)。例2.2.设X是非空集合，定义两个最极端的拓扑：Jtriwial={X,の]，开集最少，称为平凡拓扑（Trivialtopology)。Jdiscrete={G|GCX)，开集最多，称为离散拓扑(Discretetopology)。例2.3.设有集合X，令J，为X的子集族U，满足X|U要么有限，要么是X它自身。则J是X上的拓扑，称为余有限拓扑（Finitecomplementtopology)。X和の均在T中，因为XX有限而X|①恰为X。若U是t的非空元素的指标集族，为了说明UU。EJ，我们计算xIUU&=N(x /Ua)后者有限，因为每个X|U。均是有限的。若U1，·，Un为T，的非空元素，为了说明nUEJf，我们计算xnu=U(x\u)后者是有限集的有限并，故有限。例2.4. 设 X = [a,b,c],J = [X, [a,b], (a,c], a], 0]因为X中含a的子集的交或并仍含a，由此可验证T满足定义2.1中的三个条件，这就推出了(X,J)是一个拓扑空间。例2.5.设(X,J)是拓扑空间，YCX，令Jy=(HIH=GnY, GEJ)因此@=@ny,Y =XnY,UHa=U(GanY) = (UGa)nY,Hin H2 = (Gin Y)n(G2 nY) = (GinG2)nY所以，(Y,Jy）是拓扑空间，称为由（X，J）诱导的子拓扑空间（TopologySubspace）或相对拓扑空间（Relativetopologyspace)。1直译过来就是平凡拓扑，但鉴于该拓扑具有的性质，我们也倾向于称其为密着拓扑或不可分拓扑（Indis-crete topology)2

则存在 ε1, ε2 > 0, U(a, ε1) ⊂ G1, U(a, ε2) ⊂ G2，若令 ε = min{ε1, ε2}，则有 U(a, ε) ⊂ U(a, ε1)∩U(a, ε2) ⊂ G1 ∩ G2，因此满足条件 3。这就证明了 (X, T) 是一个拓扑空间。今 后，我们说度量空间 (X, ρ) 是一个拓扑空间，指的就是又它导出的 (X, T)。 例 2.2. 设 X 是非空集合，定义两个最极端的拓扑： Ttrivial = {X, ∅}，开集最少，称为平凡拓扑 (Trivial topology)1。 Tdiscrete = {G | G ⊂ X}，开集最多，称为离散拓扑 (Discrete topology)。 例 2.3. 设有集合 X，令 Tf 为 X 的子集族 {U}，满足 X \ U 要么有限，要么是 X 它自 身。则 Tf 是 X 上的拓扑，称为余有限拓扑 (Finite complement topology)。X 和 ∅ 均在 Tf 中，因为 X \ X 有限而 X \ ∅ 恰为 X。若 {Uα} 是 Tf 的非空元素的指标集族，为了 说明 ∪ Uα ∈ Tf，我们计算 X \ ∪ Uα = ∩ (X \ Uα) 后者有限，因为每个 X \ Uα 均是有限的。若 U1, · · · , Un 为 Tf 的非空元素，为了说明 ∩ Ui ∈ Tf，我们计算 X \ ∩n i=1 Ui = ∪n i=1 (X \ Ui) 后者是有限集的有限并，故有限。 例 2.4. 设 X = {a, b, c}, T = {X, {a, b}, {a, c}, {a}, ∅} 因为 X 中含 a 的子集的交或并仍含 a，由此可验证 T 满足定义 2.1 中的三个条件，这就 推出了 (X, T) 是一个拓扑空间。 例 2.5. 设 (X, T) 是拓扑空间，Y ⊂ X，令 TY = {H | H = G ∩ Y, G ∈ T} 因此 ∅ = ∅ ∩ Y, Y = X ∩ Y, ∪ α Hα = ∪ α (Gα ∩ Y ) = (∪ α Gα) ∩ Y, H1 ∩ H2 = (G1 ∩ Y ) ∩ (G2 ∩ Y ) = (G1 ∩ G2) ∩ Y 所以，(Y, TY ) 是拓扑空间，称为由 (X, T) 诱导的子拓扑空间 (Topology Subspace) 或相 对拓扑空间 (Relative topology space)。 1直译过来就是平凡拓扑，但鉴于该拓扑具有的性质，我们也倾向于称其为密着拓扑或不可分拓扑 (Indis￾crete topology) 2

例2.6. 设X = R, =[GI Vr EG, a>r s.t. [c,a) C G C X]。条件1显然。条件2:任何aeUGa，存在α>，使[r,α)CGaCUGa。条件3:任何EGinG2，存在α1,α2>，使[c,α）CGj（i=1,2)，则[c,min[α1,Q2])CGinG2。因此，(R,)是一个拓扑空间。例2.7.设P={(a,y)/0<2+y?<1)和QC((,y)/2+y?=1)是R2中的子集,X=PUQJ={P中关于R?的通常开集或PiuQ1,其中Q1CQ,P为含某个[(,y)/<2+y?<r2<1)的通常开集)，容易验证(X,）是拓扑空间。定义2.2.设于和为X上的两个拓扑。若于D于，我们称于比于更细（Finer)；若于真包含T，我们称T比J严格细（Strictlyfiner)。这两种情况下，我们也说J比T更粗（Coarse），以及严格粗（Strictlycoarser)。我们称丁和是可比较的（Comparable)，要么T'CJ, 要么JCT'。这一术语的动机源于将拓扑空间想象为类似于满载砾石的卡车的东西一一鹅卵石和所有鹅卵石堆的并作为开集。如果我们现在将鹅卵石击碎，则开集族就被扩大了，而拓扑，就像碎石，称为被操作细化了。当然，X上的两个拓扑不必是可比较的。有时这一概念也会采用其它的术语。若TT，某些数学家可能说T比T更大(Larger)，J比T更小（Smaller)。这也是当然可以接受的术语，不过没有“更细”和“更粗”那样生动。很多数学家也采用“弱（Weaker）”和“强（Stronger）”。然而不幸的是，某些人（特别是分析学家）倾向于说T强于T，若TT，而某些人（特别是拓扑学家）在同样的情况下倾向于称T弱于T。如果你在某些书看见“强拓扑”或“弱拓扑”这样的术语，你得好好从上下文看看到底指哪种包含关系。这里我们不会采用这些术语。2.2拓扑基在前面的例子中，我们通过描述X的整个开子集族T来弄清楚其上的拓扑。这往往是困难的。在绝大多数情况下，我们用X的一个更小的子集族取而代之，并借此来定义拓扑。定义2.3.设X是集合，如果子集族B=[B]满足1. UB.= X;2.若EBanBB,Ba,BEB，则存在BEB，使得EBCBanBp，则称B为X的一个拓扑基（Topologybase)。3

例 2.6. 设 X = R，T = {G | ∀ x ∈ G, ∃ α > x s.t. [x, α) ⊂ G ⊂ X}。 条件 1 显然。 条件 2：任何 x ∈ ∪ α Gα，存在 α > x，使 [x, α) ⊂ Gα0 ⊂ ∪ α Gα。 条件 3：任何 x ∈ G1 ∩ G2，存在 α1, α2 > x，使 [x, αj ) ⊂ Gj (j = 1, 2)，则 [x, min{α1, α2}) ⊂ G1 ∩ G2。因此，(R, T) 是一个拓扑空间。 例 2.7. 设 P = {(x, y) | 0 < x2 + y 2 < 1} 和 Q ⊂ {(x, y) | x 2 + y 2 = 1} 是 R 2 中的子集， X = P ∪ Q T = {P中关于R 2的通常开集或P1 ∪ Q1, 其中Q1 ⊂ Q, P1为含某个{(x, y) | 0 < x2 + y 2 < r 2 < 1}的通常开集}，容易验证 (X, T) 是拓扑空间。 定义 2.2. 设 T 和 T ′ 为 X 上的两个拓扑。若 T ′ ⊃ T，我们称 T ′ 比 T 更细 (Finer)；若 T ′ 真包含 T，我们称 T ′ 比 T 严格细 (Strictly finer)。这两种情况下，我们也说 T 比 T ′ 更粗 (Coarse)，以及严格粗 (Strictly coarser)。我们称 T 和 T ′ 是可比较的 (Comparable)，要么 T ′ ⊂ T，要么 T ⊂ T ′。 这一术语的动机源于将拓扑空间想象为类似于满载砾石的卡车的东西——鹅卵石 和所有鹅卵石堆的并作为开集。如果我们现在将鹅卵石击碎，则开集族就被扩大了，而 拓扑，就像碎石，称为被操作细化了。 当然，X 上的两个拓扑不必是可比较的。 有时这一概念也会采用其它的术语。若 T ′ ⊃ T，某些数学家可能说 T ′ 比 T 更大 (Larger)，T 比 T ′ 更小 (Smaller)。这也是当然可以接受的术语，不过没有“更细”和“更 粗”那样生动。 很多数学家也采用“弱 (Weaker)”和“强 (Stronger)”。然而不幸的是，某些人（特 别是分析学家）倾向于说 T ′ 强于 T，若 T ′ ⊃ T，而某些人（特别是拓扑学家）在同样的 情况下倾向于称 T ′ 弱于 T。如果你在某些书看见“强拓扑”或“弱拓扑”这样的术语， 你得好好从上下文看看到底指哪种包含关系。这里我们不会采用这些术语。 2.2 拓扑基 在前面的例子中，我们通过描述 X 的整个开子集族 T 来弄清楚其上的拓扑。这往 往是困难的。在绝大多数情况下，我们用 X 的一个更小的子集族取而代之，并借此来 定义拓扑。 定义 2.3. 设 X 是集合，如果子集族 B = {Bα} 满足： 1. ∪ α Bα = X； 2. 若 x ∈ Bα ∩ Bβ, Bα, Bβ ∈ B，则存在 Bγ ∈ B，使得 x ∈ Bγ ⊂ Bα ∩ Bβ， 则称 B 为 X 的一个拓扑基 (Topology base)。 3

评论.值得一提的是，条件1也有如下等价表述：对任意aEX，存在至少一个基元素B包含。例2.8.1.拓扑空间（X，の)的拓扑T满足定义2.3中的两个条件，因此，它是X的一个拓扑基。2.设(X,P)为度量空间，令B=[U(a,r) I aEX, rEQ+)则B是X的一个拓扑基。事实上，定义2.2中的条件1是显然的。如果EU(a1,ri)nU(a2,r2)，取正有理数r≤ri一p(,ai)(i=l,2)，于是，对任何yEU(,r)，必有p(y,a)≤p(y,r)+p(,ai)r]因为U[-n,n)=R,并且当[1,a1)n[c2,a2)时,必有[max[r1,2],min(a1,a2]) C[i,α1)n[2,Q2]，所以B是R的一个拓扑基。定理2.1.设B是集合X的一个拓扑基，令J=[G|VEG,EBEBs.t.EBCG)=[GIG为B的若千元素的并集则T是X的一个拓扑，且BCJ。特别地，如果B是一个拓扑，则B=T。（T中的每个G称为关于B而言的开集，T称为由拓扑基B诱导的拓扑或由B生成的拓扑(TopologygeneratedbyB)，而B也称为这拓扑空间（X,）的一个拓扑基。）证明.EJ是显然的。对任何EX，因为X=UBα，所以存在BaoEB，使BaEBEBaoCX，即XEJ，这就证明了J满足拓扑的条件1。如果GE，对任何UG，存在G，所以必有BB，使BCGCUGp，即UGpEJ，这就证明了了满足拓扑的条件2。此外，如果Gi,G2EJ,aEGinG2，则存在BEB，使得EBCGi(i=1,2)。再由B的条件2，存在BEB，使 E B C Bin B2 C Gi nG24

评论. 值得一提的是，条件 1 也有如下等价表述： 对任意 x ∈ X，存在至少一个基元素 B 包含 x。 例 2.8. 1. 拓扑空间 (X, T) 的拓扑 T 满足定义 2.3 中的两个条件，因此，它是 X 的一 个拓扑基。 2. 设 (X, ρ) 为度量空间，令 B = {U(a, r) | a ∈ X, r ∈ Q+} 则 B 是 X 的一个拓扑基。 事实上，定义 2.2 中的条件 1 是显然的。如果 x ∈ U(a1, r1) ∩ U(a2, r2)，取正有理 数 r ≤ ri − ρ(x, ai) (i = 1, 2)，于是，对任何 y ∈ U(x, r)，必有 ρ(y, ai) ≤ ρ(y, x) + ρ(x, ai) x} 因为 + ∪∞ n=1 [−n, n) = R，并且当x ∈ [x1, α1)∩[x2, α2)时，必有x ∈ [max{x1, x2}, min{α1, α2}) ⊂ [x1, α1) ∩ [x2, α2)，所以 B 是 R 的一个拓扑基。 定理 2.1. 设 B 是集合 X 的一个拓扑基，令 T = {G | ∀ x ∈ G, ∃ B ∈ B s.t. x ∈ B ⊂ G} = {G | G为B的若干元素的并集} 则 T 是 X 的一个拓扑，且 B ⊂ T。特别地，如果 B 是一个拓扑，则 B = T。 （T 中的每个 G 称为关于 B 而言的开集，T 称为由拓扑基 B 诱导的拓扑或由 B 生 成的拓扑 (Topology generated by B)，而 B 也称为这拓扑空间 (X, T) 的一个拓扑基。） 证明. ∅ ∈ T 是显然的。对任何 x ∈ X，因为 X = ∪ Bα∈B Bα，所以存在 Bα0 ∈ B，使 x ∈ Bα0 ⊂ X，即 X ∈ T，这就证明了 T 满足拓扑的条件 1。 如果 Gβ ∈ T，对任何 x ∈ ∪ β Gβ，存在 Gβ0 ∋ x，所以必有 B ∈ B，使 x ∈ B ⊂ Gβ0 ⊂ ∪ β Gβ，即 ∪ β Gβ ∈ T，这就证明了 T 满足拓扑的条件 2。 此外，如果 G1, G2 ∈ T, x ∈ G1 ∩ G2，则存在 Bi ∈ B，使得 x ∈ Bi ⊂ Gi (i = 1, 2)。 再由 B 的条件 2，存在 B ∈ B，使 x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2 ⊂ G1 ∩ G2 4

即GinG2EJ，这就证明了T具有拓扑的条件3。于是J是X的一个拓扑。显然BCJ。特别地，当B是X的一个拓扑时，由拓扑的条件2得到TCB。因口此,B=J。当然，我们也要解释T为什么是由B若于元素的并集组成的集合。引理2.2.设有集合X，B为X上的拓扑T的基。那么T等于B的所有元素的并集组成的集族。证明给定B的一个元素族，它们也是丁的元素。因为丁是拓扑，它们的并也在丁中。反过来，给定UEJ，对每个TEU取B中的一个元素B使得CEBCU。则口U=Bx，故U等于B中元素的并。reU这个引理指出X中每个开集U可以表示为基元素的并。然而这一表示并不唯一。因此在拓扑学中对术语“基”的用法与线性代数差异巨大，后者中表示一个给定向量可以表示为基向量的线性组合的方程是唯一的。我们采取了两种不同的方式去描述如何从拓扑基到其生成的拓扑。有时候我们需要反着来，从一个拓扑到能够生成它的基。下面是一个从给定的拓扑得到它的基的方式我们应当经常使用它。引理2.3.设X为拓扑空间。假设C为X的开子集族使得对X的每个开集U和每个EU，存在元素CEC使得aECCU。那么C是X上的拓扑基。证明.我们必须说明C是一个基。基的条件1是容易的：给定rEX，因为X自已是个开集，由假设存在C的某个元素C使得ECCX。要验证条件2，设rECinC2，这里Ci,C2EC。由于Ci,C2是开的，故CinC2亦然。因此，由假设存在C3EC使得CEC3CCinC2接着我们要说明C生成的拓扑T恰为X上的拓扑T。首先，注意到若UET且TEU，则由假设存在CEC使得ECCU。进而由定义，UET。反过来，若WET，则由引理2.2，W等于C中元素的并。因为C中每个元素都属于T而J为拓口扑,WET。定义2.4.设B和B'是集合X的两个拓扑基，如果它们所诱导的拓扑相同，即T=T则称两个拓扑基是等价的，记为B～T。定理2.4.设B和B'是X的两个拓扑基，它们所诱导的拓扑分别为T和T'，则B~B'i.e.J=T'台BCT, B'CJ证明.（→)由定理2.1，BCT=T,B'CT=T。(-)设GEJ，则G是B中若干元素的并集，由BCT，B中的每个元素是B'中若干元素的并集，因此，G是B'中若干元素的并集，即GET。这就推出了TCT。口同理 TCT。于是J=T。5

即 G1 ∩ G2 ∈ T，这就证明了 T 具有拓扑的条件 3。于是 T 是 X 的一个拓扑。 显然 B ⊂ T。特别地，当 B 是 X 的一个拓扑时，由拓扑的条件 2 得到 T ⊂ B。因 此，B = T。 当然，我们也要解释 T 为什么是由 B 若干元素的并集组成的集合。 引理 2.2. 设有集合 X，B 为 X 上的拓扑 T 的基。那么 T 等于 B 的所有元素的并集组 成的集族。 证明. 给定 B 的一个元素族，它们也是 T 的元素。因为 T 是拓扑，它们的并也在 T 中。 反过来，给定 U ∈ T，对每个 x ∈ U，取 B 中的一个元素 Bx 使得 x ∈ Bx ⊂ U。则 U = ∪ x∈U Bx，故 U 等于 B 中元素的并。 这个引理指出 X 中每个开集 U 可以表示为基元素的并。然而这一表示并不唯一。 因此在拓扑学中对术语“基”的用法与线性代数差异巨大，后者中表示一个给定向量可 以表示为基向量的线性组合的方程是唯一的。 我们采取了两种不同的方式去描述如何从拓扑基到其生成的拓扑。有时候我们需要 反着来，从一个拓扑到能够生成它的基。下面是一个从给定的拓扑得到它的基的方式； 我们应当经常使用它。 引理 2.3. 设 X 为拓扑空间。假设 C 为 X 的开子集族使得对 X 的每个开集 U 和每个 x ∈ U，存在元素 C ∈ C 使得 x ∈ C ⊂ U。那么 C 是 X 上的拓扑基。 证明. 我们必须说明 C 是一个基。基的条件 1 是容易的：给定 x ∈ X，因为 X 自己是 个开集，由假设存在 C 的某个元素 C 使得 x ∈ C ⊂ X。要验证条件 2，设 x ∈ C1 ∩ C2， 这里 C1, C2 ∈ C。由于 C1, C2 是开的，故 C1 ∩ C2 亦然。因此，由假设存在 C3 ∈ C 使得 x ∈ C3 ⊂ C1 ∩ C2。 接着我们要说明 C 生成的拓扑 T ′ 恰为 X 上的拓扑 T。首先，注意到若 U ∈ T 且 x ∈ U，则由假设存在 C ∈ C 使得 x ∈ C ⊂ U。进而由定义，U ∈ T ′。反过来，若 W ∈ T ′，则由引理 2.2，W 等于 C 中元素的并。因为 C 中每个元素都属于 T 而 T 为拓 扑，W ∈ T。 定义 2.4. 设 B 和 B′ 是集合 X 的两个拓扑基，如果它们所诱导的拓扑相同，即 T = T ′， 则称两个拓扑基是等价的，记为 B ∼ T ′。 定理 2.4. 设 B 和 B′ 是 X 的两个拓扑基，它们所诱导的拓扑分别为 T 和 T ′，则 B ∼ B ′ i.e. T = T ′ ⇔ B ⊂ T ′ , B ′ ⊂ T 证明. (⇒) 由定理 2.1，B ⊂ T = T ′ , B′ ⊂ T ′ = T。 (⇐) 设 G ∈ T，则 G 是 B 中若干元素的并集，由 B ⊂ T ′，B 中的每个元素是 B′ 中 若干元素的并集，因此，G 是 B′ 中若干元素的并集，即 G ∈ T ′。这就推出了 T ⊂ T ′。 同理 T ′ ⊂ T。于是 T = T ′。 5