《概率论与数理统计》课程教学资源（实验指导）9、回归分析

实验9回归分析由一个或一组非随机变量来估计或预测某一个随机变量的观测值时，所建立的数学模型及所进行的统计分析，称为回归分析．回归分析是处理变量之间的相关关系的一种统计方法其解决问题的大致方法、步骤如下：（1）收集一组包含因变量和自变量的数据；（2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数：（3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型；（4）判断得到的模型是否适合于这组数据；（5）利用模型对因变量作出预测或解释。回归分析所建立的模型如果是线性的就称为线性回归分析．按变量个数的多少，回归分析有一元回归分析与多元回归分析之分，而多元回归分析的原理与一元回归分析的原理类似，因此本节仅研究一个随机变量（因变量）与一个普通变量（人工可控变量，自变量之间一元线性回归问题，1实验目的学习利用Mathematica进行一元线性回归模型分析设两个相关变量x及y之间存在如下关系：[y=a+bx+8...(1)[8~N(0, g°)其中ab，?是未知参数，x是普通变量，称为回归变量或自变量，y称为响应变量或因变量，ε为随机误差或随机干扰.由于ε是随机变量，故y也是随机变量：且y~N(a+bx,o)称（1）式为一元线性回归模型对于模型（1）我们要解决如下问题：

实验 9 回归分析 由一个或一组非随机变量来估计或预测某一个随机变量的观测值时，所建立的数学模 型及所进行的统计分析，称为回归分析．回归分析是处理变量之间的相关关系的一种统计 方法．其解决问题的大致方法、步骤如下： （1）收集一组包含因变量和自变量的数据； （2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准 则计算模型中的系数； （3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型； （4）判断得到的模型是否适合于这组数据； （5）利用模型对因变量作出预测或解释． 回归分析所建立的模型如果是线性的就称为线性回归分析．按变量个数的多少，回归 分析有一元回归分析与多元回归分析之分，而多元回归分析的原理与一元回归分析的原理 类似，因此本节仅研究一个随机变量（因变量）与一个普通变量（人工可控变量，自变量） 之间一元线性回归问题． 1 实验目的 学习利用 Mathematica 进行一元线性回归模型分析 设两个相关变量 x 及 y 之间存在如下关系：    = + + ~ (0 , ) 2    N y a bx .(1) 其中 2 a , b , 是未知参数， x 是普通变量，称为回归变量或自变量， y 称为响应变量 或因变量，  为随机误差或随机干扰．由于  是随机变量，故 y 也是随机变量．且 ~ ( , ) 2 y N a + bx  称（1）式为一元线性回归模型． 对于模型（1）我们要解决如下问题：

（1）估计a，b，α2，得到确定的回归模型，这是第五章的参数估计问题，（2）检验模型对实际问题的拟合程度，这是第六章的假设检验问题（3）对给定的x的值，预测随机变量y的值，对希望的输出值y控制输入值x，这也是统计中的估计问题因此，回归分析的主要内容包括：（1）根据样本观察值对参数进行估计，求得回归方程：（2）对回归方程、参数估计值进行检验；（3）利用回归方程进行分析、评价及预测为了确定未知参数a和b的值，可以取一个容量为n的样本（,J），（x2,2），.，（x，y,），一般情况下，无法获得a和b的真值，回归分析就是要根据样本找出α和b的估计值a,b，用经验回归函数j=a+bx近似地描述y与x的关系.这个函数所表示的直线叫回归直线，也称为y关于x的回归方程，a,b叫回归系数，这里有一个前提，即x与的关系必须大体上是线性的。为了确定这一点，可以把诸样本点描在一个直角坐标平面上，得到的图称为散点图如果这些点大体上散布在某条直线附近，则可以认为回归函数是直线型的，变量x与y之间存在一定的线性关系2基本语句(1) Fit[data, funs, vars]功能：求一个数据列表的最小二乘拟合，这个拟合是作为一个以vars为自变量的函数funs 的线性组合(2)Regress[data,funs,vars]功能：表示由数据data，求由基函数表funs中的函数的线性组合构成的回归方程，funs中的函数的自变量有表vars给出。3典型例题例1已知某种商品的价格与日销售量的数据价格（元）1.02.02.02.32.52.62.83.03.33.5销量（kg）5.03.53.02.72.42.52.01.51.21.2求回归方程，再求价格为4时的日销售量。解（1）求回归方程，绘制散点图和回归直线输入命令data=((1.0,5.0),(2.0,3.5),(2.0,3.0),(2.3,2.7),(2.5,2.4),(2.6,2.5),(2.8,2.0),(3.0,1.5),(3.3,1.2)(3.5,1.2));

（1）估计 2 a , b , ，得到确定的回归模型，这是第五章的参数估计问题． （2）检验模型对实际问题的拟合程度，这是第六章的假设检验问题． （3）对给定的 x 的值，预测随机变量 y 的值，对希望的输出值 y 控制输入值 x ，这也 是统计中的估计问题． 因此，回归分析的主要内容包括： （1）根据样本观察值对参数进行估计，求得回归方程； （2）对回归方程、参数估计值进行检验； （3）利用回归方程进行分析、评价及预测. 为了确定未知参数 a 和 b 的值，可以取一个容量为 n 的样本( 1 1 x , y )，( 2 2 x , y )，.， ( n n x , y )，一般情况下，无法获得 a 和 b 的真值，回归分析就是要根据样本找出 a 和 b 的估 计值 a b ˆ ˆ , ，用经验回归函数 y a bx ˆ ˆ = ˆ + 近似地描述 y 与 x 的关系．这个函数所表示的直线叫回归直线，也称为 y 关于 x 的回归方 程， a b ˆ ˆ , 叫回归系数． 这里有一个前提，即 x 与 y 的关系必须大体上是线性的．为了确定这一点，可以把诸 样本点描在一个直角坐标平面上，得到的图称为散点图．如果这些点大体上散布在某条直 线附近，则可以认为回归函数是直线型的，变量 x 与 y 之间存在一定的线性关系． 2 基本语句 （1）Fit[data, funs, vars] 功能：求一个数据列表的最小二乘拟合，这个拟合是作为一个以 vars 为自变量的函 数 funs 的线性组合. （2）Regress[data,funs,vars] 功能：表示由数据 data，求由基函数表 funs 中的函数的线性组合构成的回归方程，funs 中的函数的自变量有表 vars 给出。 3 典型例题 例 1 己知某种商品的价格与日销售量的数据: 价格（元） 1.0 2.0 2.0 2.3 2.5 2.6 2.8 3.0 3.3 3.5 销量（kg） 5.0 3.5 3.0 2.7 2.4 2.5 2.0 1.5 1.2 1.2 求回归方程，再求价格为 4 时的日销售量。 解（1）求回归方程，绘制散点图和回归直线 输入命令 data={{1.0,5.0},{2.0,3.5},{2.0,3.0},{2.3,2.7},{2.5,2.4},{2.6,2.5},{2.8,2.0},{3.0,1.5},{3.3,1.2}, {3.5,1.2}};

f=Fit[data, (1,x) x]运行结果6.43828-1.57531x输入命令pd=ListPlot[data,DisplayFunction->Identity] ;fd=Plot[f,(x,-0.3,5),DisplayFunction->Identity],Show[pd,fd, DisplayFunction->SDisplayFunction]运行结果GraphicsOut[]运行回归方程，右图是散点图和回归直线。5 t4.5下L4E3.5LL3E2.5FLL1.522.53.51.5图1散点图和回归直线（2）预测价格为4时的日销售量输入命令%2/.x4运行结果0.137029即价格为4元时，销量为0.137029千克。（3）应用函数进行分析先调用函数，之后使用Regress求解。(BestFit,ParameterCITable,SummaryReport)]运行结果(BestFit→6.43828-1.57531x,SECIEstimateParameterCITable→16.438280.236494(5.89293,6.98364)-1.575310.0911754(-1.78556,-1.36506),xSEEstimateTStatPValueParameterTable-16.438280.23649427.22393.57135x10-9-1.575310.0911754-17.27781.28217×10-7XRSquared0.973901,AdjustedRSquared-→0.970639,EstimatedVariance-0.0397359,DFSumOfSqMeanSqFratioPValue111.862111.8621298.5241.28217x10-7ANOVATable→Model8Error0.03178870.03973599Total12.181以上生成回归分析报告表，现对上述回归分析报告说明如下：

f=Fit[data,{l,x},x] 运行结果 6.43828-1.57531 x 输入命令 pd=ListPlot[data,DisplayFunction->Identity] ; fd=Plot[f，{x,-0.3,5}，DisplayFunction->Identity]; Show[pd,fd，DisplayFunction->$DisplayFunction] 运行结果 Graphics Out[l]运行回归方程，右图是散点图和回归直线。 图 1 散点图和回归直线 （2）预测价格为 4 时的日销售量 输入命令 %2/.x 4 运行结果 0.137029 即价格为 4 元时，销量为 0. 137029 千克。 （3）应用函数进行分析 先调用函数，之后使用 Regress 求解。 {BestFit,ParameterCITable,SummaryReport}] 运行结果 { BestFit→ 6.43828-1.57531x, Estimate SE CI ParameterCITable→1 6.43828 0.236494 {5.89293，6.98364} x -1.57531 0.0911754 {-1.78556，-1.36506}, Estimate SE TStat P Value ParameterTable→1 6.43828 0.236494 27.2239 3.57135×10-9 x -1.57531 0.0911754 -17.2778 1.28217×10-7 RSquared→0.973901,AdjustedRSquared→0.970639,EstimatedVariance→0.0397359, DF SumOfSq MeanSq Fratio PValue ANOVATable→Model 1 11.8621 11.8621 298.524 1.28217×10-7 Error 8 0.0317887 0.0397359 Total 9 12.18 } 以上生成回归分析报告表，现对上述回归分析报告说明如下: 1.5 2 2.5 3 3.5 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 5

BestFit(最优拟合->6.43828-1.57531x表示一元回归方程为y=6.43828-1.57531x;ParameterCITable(参数置信区间表)中：Estimate这一列表示回归函数中参数a，b的点估计为a=6.43828(第一行)，b=-1.57531(第二行);SE这一列的第一行表示估计量a的标准差为0.236494，第二行表示估计量b的标准差为0.0911754；CI这一列分别表示a的置信水平为0.95的置信区间是（5.89293,6.98364），b的置信水平为0.95的置信区间是(-1.78556,-1.36506)。ParameterTable(参数表)中前两列的意义同参数置信区间表，Tstat与Pvalue这两列的第一行表示作假设检验(t检验):H。：a=0；H,:α￥0时，T统计量的观察值为27.2239，检验统计量的P值为3.57135x10-9，这个P值非常小，检验结果强烈地拒绝H。：a=0，接受H:a+0第二行表示作假设检验(t检验）：H。:b=0；H:b+0时T统计量的观察值为-17.2778，检验统计量的P值为1.28217x10-7，这个P值也非常小，检验结果强烈地拒绝H:b=0，接受H,:b+0。Rsquared->0.973901,，表小 R=SSR(回归平方和)=0.973901，它说明的变化有SST（总平方和)97.39%来自x的变化，AdjustedRSquared->0.970639，表示修正后的R2=-0.9706390.EstimatedVariance->0.0397359，表示线性模型y=a+bx+，~N(0,）中方差2的估计为0.03973590ANOVATable（回归方差分析表）中的DF这一列为自由度：Model(一元线性回归模型）的自由度为1，Error(残差)的自由度为n-2=8，Total(总的)自由度为n-1=9.SumOfSq这一列为平方和：回归平方和SSR=11.8621，残差平方和SSE=0.317887，总的平方和SST=SSR+SSE==12.18；MeanSq这一列是平方和的平均值，由SumOfSq这一列除以对应的DF得到，即SSEMRSSSR=11.8621,MSE==0.0397359n-2MS的值，即F=298.524.最后一列表示统计量F的P值常FRatio这一列为统计量F=4MSE接近于0因此在作模型参数β(=b)的假设检验(F检验)：H。:β=0；H,:β±0时，强烈地拒绝H。：β=0，即模型的参数向量。因此回归效果非常显著。例2今有某种型号的电池三批，它们分别是A，B，C三个工厂所生产的。为评比起质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验得其寿命（单位：h)如表1表 1A4042 484538B2628343230C39504050431试在显著性水平α=0.05下检验电池的平均寿命有无显著的差异。若差异是显著的，试求均值差μA-μB，μA-Hc及μB-μc的置信水平为95%的置信区间。解用回归分析作单因素方差分析完成对模型的假设检验和对模型参数的区间估计任务。输入设计矩阵和数据X1=/(1.000),(100100),100),100)1,10)11,110)(1,1,0),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,1,10,1),1,0,1),(1,0,1

BestFit(最优拟合-> 6.43828-1.57531 x 表示一元回归方程为 y = 6.43828−1.57531x ; ParameterCITable(参数置信区间表)中:Estimate 这一列表示回归函数中参数 a ，b 的 点估计为 a ˆ = 6.43828(第一行)，b = ˆ -1.57531(第二行);SE 这一列的第一行表示估计量 a ˆ 的 标准差为 0.236494，第二行表示估计量 b ˆ 的标准差为 0.0911754; CI 这一列分别表示 a ˆ 的置 信水平为 0.95 的置信区间是(5.89293,6.983 64} , b ˆ 的置信水平为 0.95 的置信区间是 (-1.78556，-1.36506)。 ParameterTable(参数表)中前两列的意义同参数置信区间表，Tstat 与 Pvalue 这两列的 第一行表示作假设检验(t 检验): H0 : a = 0 ; H1 : a  0 时，T 统计量的观察值为 27.2239，检 验统计量的 P 值为 3.57135 x 10-9，这个 P 值非常小，检验结果强烈地拒绝 H0 : a = 0 ，接 受 H1 : a  0 ；第二行表示作假设检验(t 检验): H0 : b = 0 ; H1 : b  0 时 T 统计量的观察值为 -17.2778，检验统计量的 P 值为 1.28217x10-7，这个 P 值也非常小，检验结果强烈地拒绝 H0 : b = 0 ，接受 H1 : b  0。 Rsquared->0.973901，表小 0.973901 ( ) ( ) 2 = = 总平方和 回归平方和 SST SSR R ，它说明 y 的变化有 97.39% 来 自 x 的变化 ;AdjustedRSquared->0.970 639 ，表示修正后的 ~2 R =-0.9706390.EstimatedVariance->0.0397359，表示线性模型 , ~ (0, ) 2 y = a + bx +  N  中 方差 2  的估计为 0.0 3973590. ANOVATable(回归方差分析表)中的 DF 这一列为自由度：Model(一元线性回归模型) 的自由度为 1，Error(残差)的自由度为 n-2=8，Total(总的)自由度为 n-1=9.SumOfSq 这一列 为平方和:回归平方和 SSR =11.8 621，残差平方和 SSE = 0.317887，总的平方和 SST = SSR + SSE= =12.18；MeanSq 这一列是平方和的平均值，由 SumOfSq 这一列除以对应的 DF 得 到，即 0.0397359 2 11.8621, 1 = − = = = n SSE MSE SSR MRS FRatio 这一列为统计量 MSE MSR F = 的值，即 F=298.524.最后一列表示统计量 F 的 P 值常 接近于 0. 因此在作模型参数 (= b) 的假设检验(F 检验)：H0 :  = 0 ; H1 :   0 时，强烈地拒绝 H0 :  = 0 ，即模型的参数向量。因此回归效果非常显著。 例 2 今有某种型号的电池三批，它们分别是 A，B，C 三个工厂所生产的。 为评比起 质量，各随机抽取 5 只电池为样品，经试验得其寿命(单位：h)如表 1 表 1 A 40 42 48 45 38 B 26 28 34 32 30 C 39 50 40 50 43 试在显著性水平  = 0.05 下检验电池的平均寿命有无显著的差异。 若差异是显著的，试求 均值差 ,  A − B  A −C 及  B −C 的置信水平为 95%的置信区间。 解 用回归分析作单因素方差分析 完成对模型的假设检验和对模型参数的区间估计任务。输入设计矩阵和数据 X1={{1.0,0,0},{1,0,0},{1,0,0},{1,0,0},{1,0,0},{1,1,0},{1,1,0},{1,1,0}, {1,1,0},{1,1,0},{1,0,1},{1,0,1},{1,0,1},{1,0,1},{1,0,1}};

Y1={40,42,48,45,38,26,28,34,32,30,39,50,40,50,43);再输入设计回归命令DesignedRegress[X1,Y1,Regression Report->(ParameterCITable,MeanPredictionCITable,SummaryReport)]（*回归报告运行参数的置信区间，均值的置信区间和总结报告*）执行后得到运行CISEEstimate142.61.89912{38.4622,46.7378ParameterCITable->22-12.62.68576(-18.4518,-6.74822)31.82.68576-4.05178,7.65178)MeanPredictionCITable->SECIObservedPredicted40.42.61.8991238.4622.46.737842.42.61.89912(38.4622,46.7378)48.42.61.89912(38.4622,46.7378)45.42.61.89912(38.4622,46.7378)38.42.61.89912(38.4622,46.7378)30.26.1.89912(25.8622.34.137828.30.1.89912(25.8622,34.1378)34.30.1.89912(25.8622.34.1378)32.30.1.89912(25.8622,34.1378)30.30.1.89912(25.8622,34.1378)39.44.41.89912(40.2622,48.5378)50.44.41.89912(40.2622,48.5378)40.44.41.89912(40.2622,48.5378)50.44.41.89912{40.2622,48.5378)43.44.41.89912(40.2622,48.5378)EstimateSETStatPValue122.43143.63987×10-1142.61.89912-12.62.68576-4.69140.00052196(ParameterCITable->231.82.68576 0.67020.515421Rsquared->0.739904,AdjustedRSquared->0.696554,EstimatedVariance->18.0333,ANOVATable->DFFratioSumOfsqMeanSqPvalue2Model615.6307.817.06840.00030960212 Error216.418.0333Total14832.从参数置信区间表(ParameterCITable)可知：μA的点估计是42.6，估计量的标准差为1.89912，μ，的置信水平为0.95的置信区间是(38.4622,46.7378)。μB-μA的点估计是12.6,标准差为2.68576，μB-μA的置信水平为0.95的置信区间是（-18.4518,-6.74822)Hc-μA的点估计是1.8，标准差为2.68576，μc-μ的置信水平为0.95的置信区间是(4.05178,7.65178)从均值置信区间表(MeanPredictionCITable)知：μ的点估计，μ的置信区间同参数置信区间表，μ的点估计为30.0，置信度为0.95的置信区间是（25.8622,34.1378），μc的点估计为44.4，置信度为0.95的置信区间是（40.2622.48.5378）从参数表(ParameterTable)知：关于μB一μA是否等于零的假设检验结果是否定的，即B一μ不等于零。关于μc一μ是否等于零的假设检验结果是不否定原假设，即不否

Y1={40,42,48,45,38,26,28,34,32,30,39,50,40,50,43}; 再输入设计回归命令 DesignedRegress[X1,Y1,RegressionReport-> {ParameterCITable,MeanPredictionCITable,SummaryReport}] (*回归报告运行参数的置信区间,均值的置信区间和总结报告*) 执行后得到运行 Estimate SE CI 1 42.6 1.89912 {38.4622,46.7378} {ParameterCITable->2 -12.6 2.68576 {-18.4518,-6.74822} 3 1.8 2.68576 {-4.05178,7.65178} MeanPredictionCITable-> Observed Predicted SE CI 40. 42.6 1.89912 {38.4622,46.7378} 42. 42.6 1.89912 {38.4622,46.7378} 48. 42.6 1.89912 {38.4622,46.7378} 45. 42.6 1.89912 {38.4622,46.7378} 38. 42.6 1.89912 {38.4622,46.7378} 26. 30. 1.89912 {25.8622,34.1378} 28. 30. 1.89912 {25.8622,34.1378} 34. 30. 1.89912 {25.8622,34.1378} 32. 30. 1.89912 {25.8622,34.1378} 30. 30. 1.89912 {25.8622,34.1378} 39. 44.4 1.89912 {40.2622,48.5378} 50. 44.4 1.89912 {40.2622,48.5378} 40. 44.4 1.89912 {40.2622,48.5378} 50. 44.4 1.89912 {40.2622,48.5378} 43. 44.4 1.89912 {40.2622,48.5378} Estimate SE TStat PValue 1 42.6 1.89912 22.4314 3.63987×10-11 {ParameterCITable->2 -12.6 2.68576 -4.6914 0.00052196 3 1.8 2.68576 0.6702 0.515421 Rsquared->0.739904,AdjustedRSquared->0.696554, EstimatedVariance->18.0333,ANOVATable-> DF SumOfsq MeanSq Fratio Pvalue Model 2 615.6 307.8 17.0684 0.000309602 Error 12 216.4 18.0333 Total 14 832. 从参数置信区间表(ParameterCITable)可知:  A 的点估计是 42.6，估计量的标准差为 1.89912， A 的置信水平为0.95的置信区间是(38.4622,46.7378)。 B − A 的点估计是 12.6, 标准差为 2.68576，  B − A 的置信水平为 0.95 的置信区间是 (−18.4518,−6.74822 ). C − A 的点估计是 1.8，标准差为 2.68576，  C −  A 的置信水平为 0.95 的置信区间是 (−4.05178 ,7.65178 ). 从均值置信区间表(MeanPredictionCITable)知:  A 的点估计，  A 的置信区间同参数置 信区间表，  B 的点估计为 30.0，置信度为 0.95 的置信区间是 (25.8622,34.1378),  C 的点估 计为 44.4，置信度为 0.95 的置信区间是 (40.2622,48.5378). 从参数表(ParameterTable)知: 关于  B − A 是否等于零的假设检验结果是否定的，即  B − A 不等于零。 关于 C − A 是否等于零的假设检验结果是不否定原假设，即不否

uc一μA等于零的假设。从Rsquared->0.739904知Y的变化中的74%是由模型引起的,26%是由误差引起的。从EstimatedVariance->18.0333知模型中的误差项的方差的估计是最后从方差分析表知平方和的分解结果是：总的平方和=832.0.模型引起的平方和（效应平方和）=615.6。误差平方和=216.4。作假设检验H-=c-=OC-不全等于零时统计量F的观察值为17.0684，F的P值为0.000309602，检验结果显然否定原假设即三个工厂生产的电池的平均寿命有显著差异。总结起来：三个工厂生产的电池的平均寿命有显著差异。μA一μ的置信水平为0.95的置信区间是(6.74822,18.4518)。μA一μc的置信水平为0.95的置信区间是(7.65178,4.05178).看来只有μB一μc的置信区间未能求得。只要改变设计矩阵X，再作一次设计回归。输入数据2=((1.0,0,1),(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1),10,1),(0,1,1),0,1,1),(0,1,)0,1,1),0,1,1,00,1),00,1),(00,1),(00,1,00,1)输入命令DesignedRegress[X2,Y1,RegressionReport->(ParameterCITable,MeanPredictionCITable,SummaryReport)]就能得到类似于对x，的设计回归结果（运行结果省略了），从参数置信区间表可以得到μB-μc的置信水平为0.95的置信区间是（-20.2518,-8.54822）习题1.为研究某一化学反应过程中温度x(℃）对产品得率（%）的影响，测得数据如附表2所示表2温度×x℃14019010011012013015016017018045515466707478856189得率%)这里自变量x是普通变量，y是随机变量，求y关于x的线性回归方程

定 C − A 等于零的假设。 从 Rsquared->0.739904 知 Y 的变化中的 74%是由模型引起的,26%是由误差引起的。 从 EstimatedVariance->18.0333 知模型中的误差项 的方差的估计是 最后从方差分析表知平方和的分解结果是:总的平方和=832.0,模型引起的平方和（效应 平方和）=615.6。 误差平方和=216.4。作假设检验 H  B −  A = C −  A = H  B −  A C −  A : 0; : , 0 1 不全等于零 时 统计量 F 的观察值为 17.0684，F 的 P 值为 0.000309602，检验结果显然否定原假设, 即三个工厂生产的电池的平均寿命有显著差异。 总结起来: 三个工厂生产的电池的平均寿命有显著差异。  A − B 的置信水平为 0.95 的置信区间是(6.74822,18.4518)。  A −C 的置信水平为 0.95 的置信区间是 (−7.65178 ,4.05178 ). 看来只有  B −C 的置信区间未能求得。只要改变设计矩阵 X，再作一次设 计回归。 输入数据 X2={{1.0,0,1},{1,0,1},{1,0,1},{1,0,1},{1,0,1},{0,1,1},{0,1,1},{0,1,1}, {0,1,1},{0,1,1},{0,0,1},{0,0,1},{0,0,1},{0,0,1},{0,0,1}}; 输入命令 DesignedRegress[X2,Y1,RegressionReport-> {ParameterCITable,MeanPredictionCITable,SummaryReport}] 就能得到类似于对 1 1 x , y 的设计回归结果(运行结果省略了),从参数置信区间表可以得 到  B −C 的置信水平为 0.95 的置信区间是 (−20.2518,−8.54822 ). 习题 1.为研究某一化学反应过程中温度 x(℃)对产品得率y(％)的影响，测得数据如附表2所示 表2 温度 x/ 0C 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率 y(%) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 这里自变量x是普通变量，y是随机变量，求y关于x的线性回归方程。