中国科学技术大学：《数学分析》课程教学资源（讲义）7 列紧和紧致（覆紧）

Lec8 Note of Mathematical Analysis B3Xuxuayame日期：2022年9月23日这一节依然参考讲义与Munkres87列紧和紧致（覆紧）7.1列紧和紧致（覆紧）定义7.1.设（X，）为拓扑空间，如果X的每一无限子集至少有一个聚点（不必属于此无限子集），则称（X，了）（或拓扑空间X）是列紧的（Sequentiallycompact)。拓扑空间（X,の）的一个子集Y称为列紧的，如果Y作为子拓扑空间（Y,Jy）是列紧的（即Y的每一无限子集有一聚点属于Y）。定义7.2.设（X,J）为拓扑空间，如果对于X的每一个开覆盖n必有一个有限的（开）子覆盖n，则称（X，J）（或拓扑空间X）为紧致的（Compact)或覆紧的。定理7.1.拓扑空间(X,J)是紧致的一→(X,J)是列紧的。反之不成立（见例7.1)。证明若X不列紧，即存在X的无限子集A，使A'=の。于是A=AUA'=A是闭集，X-A是开集。此外，由于任何aEA，a±A'=の，故存在a的邻域U(a)，使得U(a)n(A-[a))=の。于是[X-A,U(a)IaEA)是X的一个开覆盖，但显然无有限口的自费该，这与X是紧致的矛盾。例7.1.列紧书紧致。设X = n | n = 1,2,3,..], B =[Bn =[2n -1,2n] | n = 1,2,3, .]。容易验证B是一个拓扑基，由B诱导出拓扑空间(X,J)。X是列紧的。事实上，对每个自然数n，点2n是独点集[2n一1]的聚点，而点2n一1是独点集{2n}的聚点。因而X的每个非空子集至少有一个聚点。但X不是紧致的。因为B是X的一个可数无限开覆盖，而它不包含有限的子覆盖。定理7.2.紧致（或列紧）拓扑空间（X，了）的任一闭子集Y是紧致的（或列紧的）。1

Lec8 Note of Mathematical Analysis B3 Xuxuayame 日期：2022 年 9 月 23 日 这一节依然参考讲义与 Munkres。 §7 列紧和紧致（覆紧） 7.1 列紧和紧致（覆紧） 定义 7.1. 设 (X, T) 为拓扑空间，如果 X 的每一无限子集至少有一个聚点（不必属于此 无限子集），则称 (X, T)（或拓扑空间 X）是列紧的 (Sequentially compact)。 拓扑空间 (X, T) 的一个子集 Y 称为列紧的，如果 Y 作为子拓扑空间 (Y, TY ) 是列 紧的（即 Y 的每一无限子集有一聚点属于 Y ）。 定义 7.2. 设 (X, T) 为拓扑空间，如果对于 X 的每一个开覆盖 η 必有一个有限的（开） 子覆盖 η ′，则称 (X, T)（或拓扑空间 X）为紧致的 (Compact) 或覆紧的。 定理 7.1. 拓扑空间 (X, T) 是紧致的 ⇒ (X, T) 是列紧的。反之不成立（见例 7.1）。 证明. 若 X 不列紧，即存在 X 的无限子集 A，使 A′ = ∅。于是 A¯ = A ∪ A′ = A 是闭 集，X − A 是开集。此外，由于任何 a ∈ A, a /∈ A′ = ∅，故存在 a 的邻域 U(a)，使得 U(a) ∩ (A − {a}) = ∅。于是 {X − A, U(a) | a ∈ A} 是 X 的一个开覆盖，但显然无有限 的自费该，这与 X 是紧致的矛盾。 例 7.1. 列紧 ̸⇒ 紧致。 设 X = {n | n = 1, 2, 3, · · · }, B = {Bn = {2n − 1, 2n} | n = 1, 2, 3, · · · }。容易验证 B 是一个拓扑基，由 B 诱导出拓扑空间 (X, T)。 X 是列紧的。事实上，对每个自然数 n，点 2n 是独点集 {2n − 1} 的聚点，而点 2n − 1 是独点集 {2n} 的聚点。因而 X 的每个非空子集至少有一个聚点。 但 X 不是紧致的。因为 B 是 X 的一个可数无限开覆盖，而它不包含有限的子覆 盖。 定理 7.2. 紧致（或列紧）拓扑空间 (X, T) 的任一闭子集 Y 是紧致的（或列紧的）。 1

证明.设ny={GanYEJyIGaET)是Y的任一开覆盖。因为Y是X的闭子集，X-Y是开集，所以n={Ga,X-Y}是X的一个开覆盖。由于X紧致，必有一个有限的子覆盖n={Gi，.·，G]。于是ny={GnYIGEn是ny的有限子覆盖。这就证明了Y也是紧致的。考虑任一无限子集ACYCX。由X列紧，存在aEACX，则aEACY=Y口（在X中的闭包，且Y是X的闭集）。这就证明了Y是列紧的。评论.拓扑空间（X,T）的子集Y称为紧致的，如果Y作为子拓扑空间（Y,Jy）是紧致的。容易证明Y是紧致的台对于Y的在X中的每个开覆盖n(Cの)必有一个有限的子覆盖。（留作习题）用此结论重新证明定理7.2的前半部分（留作习题）。7.2度量空间（X,p）中的列紧和紧致设(X,J)为(X,p)所诱导的拓扑空间。定理7.3.X（或(X,P)）是列紧的台X中的每个点列必有收敛的子列。证明.（→)：设{αn是X中的任一点列。如果它有一个子点列Cnk=（k=1,2,)，则显然lim。En=T。如果它无完全相同的点组成的子点列，则（rn)有完全不同的点所组成的一个子点列(yn)。由于X列紧，无限子集U(yn)有一个聚点a，再从Lec4的定理3.6，{yn}有一个子点列收敛于a，当然，它也是【an的收敛于α的子点列。（一)：设ACX是任一无限子集，作A的由完全不同的点所组成的一个点列【n)。由已知，{rn)有一个子点列(yn)收敛于点αEX。根据定理3.6，子集U(yn)以a为n=1口聚点，于是A也以a为聚点。定理7.4.设(X,p)是列紧度量空间，n=[Ga)是X的一个开覆盖，则存在一个正数=入(n）（称为覆盖n的Lebesgue数）具有性质：如果ACX，且当直径[o,A=0, 0。2

证明. 设 ηY = {Ga ∩ Y ∈ TY | Ga ∈ T} 是 Y 的任一开覆盖。因为 Y 是 X 的闭子集， X − Y 是开集，所以 η = {Ga, X − Y } 是 X 的一个开覆盖。由于 X 紧致，必有一个有 限的子覆盖 η ′ = {G1, · · · , Gk}。于是 η ′ Y = {Gi ∩ Y | Gi ∈ η ′} 是 ηY 的有限子覆盖。这 就证明了 Y 也是紧致的。 考虑任一无限子集 A ⊂ Y ⊂ X。由 X 列紧，存在 a ∈ A′ ⊂ X，则 a ∈ A¯ ⊂ Y¯ = Y （在 X 中的闭包，且 Y 是 X 的闭集）。这就证明了 Y 是列紧的。 评论. 拓扑空间 (X, T) 的子集 Y 称为紧致的，如果 Y 作为子拓扑空间 (Y, TY ) 是紧致 的。容易证明 Y 是紧致的 ⇔ 对于 Y 的在 X 中的每个开覆盖 η(⊂ T) 必有一个有限的子覆 盖 η ′。（留作习题） 用此结论重新证明定理 7.2 的前半部分（留作习题）。 7.2 度量空间 (X, ρ) 中的列紧和紧致 设 (X, T) 为 (X, ρ) 所诱导的拓扑空间。 定理 7.3. X（或 (X, ρ)）是列紧的 ⇔ X 中的每个点列必有收敛的子列。 证明. (⇒)：设 {xn} 是 X 中的任一点列。如果它有一个子点列 xnk = x (k = 1, 2, · · ·)， 则显然 lim k→+∞ xnk = x。如果它无完全相同的点组成的子点列，则 {xn} 有完全不同的点 所组成的一个子点列 {yn}。由于 X 列紧，无限子集 ∪∞ n=1 {yn} 有一个聚点 a，再从 Lec4 的定理 3.6，{yn} 有一个子点列收敛于 a，当然，它也是 {xn} 的收敛于 a 的子点列。 (⇐)：设 A ⊂ X 是任一无限子集，作 A 的由完全不同的点所组成的一个点列 {xn}。 由已知，{xn} 有一个子点列 {yn} 收敛于点 a ∈ X。根据定理 3.6，子集 ∪∞ n=1 {yn} 以 a 为 聚点，于是 A 也以 a 为聚点。 定理 7.4. 设 (X, ρ) 是列紧度量空间，η = {Ga} 是 X 的一个开覆盖，则存在一个正数 λ = λ(η)（称为覆盖 η 的 Lebesgue 数）具有性质：如果 A ⊂ X，且当直径 d(A) =    0, A = ∅, sup{ρ(x, y) | x, y ∈ A}, A ̸= ∅ 0。 2

我们取自然数m>2，且amE[an]，p(a,am）0，X必有ε网A（即A是X的有限集，并且对任何EX，有p(α,A)0，X无0网。任取a1EX。因为a1]不是X的o网，则有a2X,使p(a1,a2)≥E0。设(ai1,,an/n>1)已取定,其中p(ai,aj)≥o(1≤i1。由例3.6，B'=の，这与A列紧相矛盾。再证A是闭集。只需证ACA。若aEA（A=OCA显然），从定理3.6.A-(a)中存在一个由完全不同的点所组成的点列(rn)，limn=a。于是A的无限口子集n)以α为唯一的聚点。由A列紧，aEA。n=1例7.2.R中子度量空间A=（0,1)，它作为一个度量空间，A自身是一个有界闭集，但不列紧。7.3紧致拓扑空间的连续映射定理7.8.设（X，J）为紧致拓扑空间，（YJ2）为拓扑空间，f：X一→Y是连续映射。则f（X）是Y的紧致子集（紧致性是连续映射下的不变性质，当然也是拓扑性质）。3

我们取自然数 m > 2 d，且 am ∈ {ank }, ρ(a, am) 0，X 必有 ε 网 A（即 A 是 X 的有限 集，并且对任何 x ∈ X，有 ρ(x, A) 0，X 无 ε0 网。任取 a1 ∈ X。因为 {a1} 不是 X 的 ε0 网，则有 a2 ∈ X，使 ρ(a1, a2) ≥ ε0。设 {a1, · · · , an | n > 1} 已取定，其中 ρ(ai , aj ) ≥ ε0 (1 ≤ i 1。 由例 3.6，B′ = ∅，这与 A 列紧相矛盾。 再证 A 是闭集。只需证 A′ ⊂ A。若 a ∈ A′（A′ = ∅ ⊂ A 显然），从定理 3.6， A − {a} 中存在一个由完全不同的点所组成的点列 {xn}， lim n→+∞ xn = a。于是 A 的无限 子集 ∪∞ n=1 {xn} 以 a 为唯一的聚点。由 A 列紧，a ∈ A。 例 7.2. R 中子度量空间 A = (0, 1)，它作为一个度量空间，A 自身是一个有界闭集，但 不列紧。 7.3 紧致拓扑空间的连续映射 定理 7.8. 设 (X, T1) 为紧致拓扑空间，(Y, T2) 为拓扑空间，f : X → Y 是连续映射。则 f(X) 是 Y 的紧致子集（紧致性是连续映射下的不变性质，当然也是拓扑性质）。 3

证明.f(X)视作(Y,J2)的子拓扑空间，显然f：X→f(X)也是连续映射。设n=(Va)是f(X)的任一开覆盖。由定理4.1，f-1(Va)是X的开集。显然，(f-1(Va))是X的-个开覆盖。因为X紧致，{f-1(Va))有一个有限的子覆盖(f-(Vax) / k = 1,..,n]由于ff-1(Va)=Va，所以{Vak|k=1,...,n]是f(X）的一个有限开覆盖，它是n的有限子覆盖。这就证明了f(X）是Y的紧致子集。口例7.3.容易证明列紧性是拓扑性质。但是，列紧性不是连续映射下的不变性质。举反例如下：设(X,J1)为例7.1中的列紧拓扑空间，(Y,J2)为R的子拓扑空间，这里Y=(n|n=1.2...l。令f：X→Yf(2n-1)=f(2n)=n。则f是连续映射，但f(X)=Y不列紧。引理7.9.1. 设(X,J)为T2空间。则A是X的紧致子集→A是X的闭集。2. 设(X,)是紧致的T2空间。则A是X的紧致子集台A是X的闭集。证明．1.对任何pEX-A。因为X是T2空间，所以对任何EA，存在p的邻域U(p,)和的邻域V()，使得U(p,)nV()=。显然，(V()IEA)是A的在X中的一个开覆盖。由A紧致，它有一个有限的子覆盖{V(ck)k=1,,n]。令U(p) =nU(p, r)k=1易见，U(p)是p的邻域，且U(p)nV(k)=，所以U(p)nAc U(p)n (Uv(rk)) = U(U(p)nV(ck)= 0于是PEU(p)CX-A，即X-A是开集，A是X的闭集2. (→): 由1。（)：由定理7.2，紧致拓扑空间X是闭子集A是紧致的。口定理7.10.设（X,）为紧致拓扑空间，f：X→R是任一连续函数，则f有界。而且存在a1,2EX，使得f(ci)=inf(f(r)aEX)（因而达到最小值),f(r2)=sup(f(r)/EX)（因而达到最大值)。4

证明. f(X) 视作 (Y, T2) 的子拓扑空间，显然 f : X → f(X) 也是连续映射。设 η = {Va} 是 f(X) 的任一开覆盖。由定理 4.1，f −1 (Va) 是 X 的开集。显然，{f −1 (Va)} 是 X 的一 个开覆盖。因为 X 紧致，{f −1 (Va)} 有一个有限的子覆盖 {f −1 (Vak ) | k = 1, · · · , n}. 由于 ff −1 (Va) = Va，所以 {Vak | k = 1, · · · , n} 是 f(X) 的一个有限开覆盖，它是 η 的有限子覆盖。这就证明了 f(X) 是 Y 的紧致子 集。 例 7.3. 容易证明列紧性是拓扑性质。但是，列紧性不是连续映射下的不变性质。举反例 如下： 设 (X, T1) 为例 7.1 中的列紧拓扑空间，(Y, T2) 为 R 的子拓扑空间，这里 Y = {n | n = 1, 2, · · · }。令 f : X → Y, f(2n − 1) = f(2n) = n。则 f 是连续映射，但 f(X) = Y 不列紧。 引理 7.9. 1. 设 (X, T) 为 T2 空间。则 A是X的紧致子集 ⇒ A是X的闭集。 2. 设 (X, T) 是紧致的 T2 空间。则 A是X的紧致子集 ⇔ A是X的闭集。 证明. 1. 对任何 p ∈ X − A。因为 X 是 T2 空间，所以对任何 x ∈ A，存在 p 的邻域 U(p, x) 和 x 的邻域 V (x)，使得 U(p, x)∩V (x) = ∅。显然，{V (x) | x ∈ A} 是 A 的 在 X 中的一个开覆盖。由 A 紧致，它有一个有限的子覆盖 {V (xk) | k = 1, · · · , n}。 令 U(p) = ∩n k=1 U(p, xk) 易见，U(p) 是 p 的邻域，且 U(p) ∩ V (xk) = ∅，所以 U(p) ∩ A ⊂ U(p) ∩ (∪n k=1 V (xk) ) = ∪n k=1 (U(p) ∩ V (xk)) = ∅. 于是 p ∈ U(p) ⊂ X − A，即 X − A 是开集，A 是 X 的闭集。 2. (⇒)：由 1。 (⇐)：由定理 7.2，紧致拓扑空间 X 是闭子集 A 是紧致的。 定理 7.10. 设 (X, T) 为紧致拓扑空间，f : X → R 是任一连续函数，则 f 有界。而且存 在 x1, x2 ∈ X，使得 f(x1) = inf{f(x) | x ∈ X} （因而达到最小值）， f(x2) = sup{f(x) | x ∈ X} （因而达到最大值）。 4

证明.由定理7.8，f(X）是R上的紧致子集，再由定理7.6和7.7，f(X）是R上的有界闭集，所以f有界。而且存在1,2EX，使得f(ri) =inf(f(r) [rEX) =min(f(r) [rE X),f(r2)=supf(r) / EX) =max(f(r) EX)口定理7.11.设（X,J）为紧致拓扑空间，（Y,J2）是T2空间，f：X→Y是连续映射，则f是闭映射(Closedmap）（即如果ACX是闭集，则f(A)CY也是闭集）。证明.设ACX是任何闭集，由定理7.2，A是X的紧致子集。由定理7.8，f(A)是Y口的紧致子集。再根据引理7.9，f(A)是Y的闭子集。例7.4.定理7.10和7.11中的“紧致”改为“列紧”，结论不成立。设(X,の)为例7.1中的列紧拓扑空间。1. Y=R。令n，兰当n为偶数，f(2n - 1) = f(2n) =一n，当n为奇数，容易看出连续。但无上界和下界，当然达不到最大值，也达不到最小值。2. Y =[0,1]。令f(2n -1) = (2n) =1-1n显然，f连续。但f(X)不是Y=[0,1]的闭子集。定理7.12.设（X,J）为紧致拓扑空间，（Y,J2）是T2空间，f：X→Y是连续的双射，则f是同胚映射。证明.由于f是双射，则f(X)=Y，且有逆映射f-1：Y→X。设ACX为任一闭集，由定理7.11，（f-1)-1(A)=f(A)CY为闭集，所以f-1是连续映射，从而f是同胚映射。口定理7.13.设(X,p1)为列紧（也是紧致）的度量空间，(Y,p2)为度量空间。f：X→Y是连续映射，则f是一致连续映射（Uniformlycontinuousmap）（即对任何>O，存在入>0,当 pi(r",a")0，当rEU(a,8(α))时，p2(f(),f(a))<号。由定理7.4，X的开覆盖{U(,o(r))IEX)有一个Lebesgue数入。如果pi(r,a")<入，则存在EX，使得,r"EU(r,o(a))。于是() ()≤() ()+ (),()<+ =.5

证明. 由定理 7.8，f(X) 是 R 上的紧致子集，再由定理 7.6 和 7.7，f(X) 是 R 上的有界 闭集，所以 f 有界。而且存在 x1, x2 ∈ X，使得 f(x1) = inf{f(x) | x ∈ X} = min{f(x) | x ∈ X}, f(x2) = sup{f(x) | x ∈ X} = max{f(x) | x ∈ X}. 定理 7.11. 设 (X, T1) 为紧致拓扑空间，(Y, T2) 是 T2 空间，f : X → Y 是连续映射，则 f 是闭映射 (Closed map)（即如果 A ⊂ X 是闭集，则 f(A) ⊂ Y 也是闭集）。 证明. 设 A ⊂ X 是任何闭集，由定理 7.2，A 是 X 的紧致子集。由定理 7.8，f(A) 是 Y 的紧致子集。再根据引理 7.9，f(A) 是 Y 的闭子集。 例 7.4. 定理 7.10 和 7.11 中的“紧致”改为“列紧”，结论不成立。 设 (X, T) 为例 7.1 中的列紧拓扑空间。 1. Y = R。令 f(2n − 1) = f(2n) =    n, 当n为偶数， −n, 当n为奇数， 容易看出 f 连续。但无上界和下界，当然达不到最大值，也达不到最小值。 2. Y = [0, 1]。令 f(2n − 1) = f(2n) = 1 − 1 n 显然，f 连续。但 f(X) 不是 Y = [0, 1] 的闭子集。 定理 7.12. 设 (X, T1) 为紧致拓扑空间，(Y, T2) 是 T2 空间，f : X → Y 是连续的双射， 则 f 是同胚映射。 证明. 由于 f 是双射，则 f(X) = Y ，且有逆映射 f −1 : Y → X。设 A ⊂ X 为任一闭集， 由定理 7.11，(f −1 ) −1 (A) = f(A) ⊂ Y 为闭集，所以 f −1 是连续映射，从而 f 是同胚映 射。 定理 7.13. 设 (X, ρ1) 为列紧（也是紧致）的度量空间，(Y, ρ2) 为度量空间。f : X → Y 是连续映射，则 f 是一致连续映射 (Uniformly continuous map)（即对任何 ε > 0，存在 λ > 0，当 ρ1(x ′ , x′′) 0，因为 f 是连续映射，对任何 x ∈ X，存在 δ(x) > 0，当 x ′ ∈ U(x, δ(x)) 时，ρ2(f(x ′ ), f(x)) < ε 2。由定理 7.4，X 的开覆盖 {U(x, δ(x)) | x ∈ X} 有一个 Lebesgue 数 λ。如果 ρ1(x ′ , x′′) < λ，则存在 x ∈ X，使得 x ′ , x′′ ∈ U(x, δ(x))。于 是 ρ2(f(x ′ ), f(x ′′)) ≤ ρ2(f(x ′ ), f(x)) + ρ2(f(x), f(x ′′)) < ε 2 + ε 2 = ε. 5

证法2：若f非一致连续，则有ε0>0，相应的入不存在。特别当入n=1时，必有n,EX,pi(cn,)N,有E0+E0Eo ≤p2(f(rn), f(r"))≤p2(f(rn), f(ro) +p(f(rn), f(ro)<=E02+2口这就推出了矛盾。6

证法 2：若 f 非一致连续，则有 ε0 > 0，相应的 λ 不存在。特别当 λn = 1 n 时，必 有 x ′ n , x′′ n ∈ X, ρ1(x ′ n , x′′ n ) N，有 ε0 ≤ ρ2(f(x ′ n ), f(x ′′ n )) ≤ ρ2(f(x ′ n ), f(x0)) + ρ(f(x ′′ n ), f(x0)) < ε0 2 + ε0 2 = ε0, 这就推出了矛盾。 6