中国科学技术大学：《数学分析》课程教学资源（讲义）5 可数性和分离性

Lec6 Note of Mathematical Analysis B3Xuxuayame日期：2022年9月16日这一节依然参考讲义与Munkres。85可数性和分离性5.1可数性定义5.1.设（X,の）为拓扑空间，如果对每一点EX，存在处的一个可数拓扑基（即点处的一个可数的开集族B()={G)，它对的任何邻域G，都有GEB(α)，使得EGαCG)，则称(X,)为A（拓扑）空间。定义5.2.如果拓扑空间（X，J）存在一个可数拓扑基，则称（X，J）为A2（拓扑）空间。定理5.1.A2空间必为A1空间，反之不成立（参看例5.1)。证明.设B是A2空间(X,J)的可数拓扑基。对任何EX，令B()=GEG,GE口B)，容易验证B(α)满足定义5.1中的条件，因此(X,J)是A1空间。例5.1.设X=IR，取离散拓扑空间（X,Jdiscrete），X的任何子集既是开集又是闭集。因为（X，Jdiscrete）的任一拓扑基必须包含所有的单点集，所以不可数，这就证明了它不是A2空间。此外，单点集【r显然形成点处的一个可数拓扑基，因而（X,Jdiscrete）是Ai空间。例5.2.Lec4例3.9中的(X,）不是A1空间。（反证）设EX，[X-CnCn是至多可数集，n=1,2,.}是处的一个可数拓扑基。因为X不可数，存在aEX,a≠,aUCn。X-{a是的一个邻域，但X-CnX-{a)(n=1,2,·.)，这与{X-Cn)是处的拓扑基相矛盾。于是，(X,)不是A1空间。定理5.2.拓扑空间（X,）为A2空间→（X,J)有可数稠密子集。反之不成立（参看例5.3)。1

Lec6 Note of Mathematical Analysis B3 Xuxuayame 日期：2022 年 9 月 16 日 这一节依然参考讲义与 Munkres。 §5 可数性和分离性 5.1 可数性 定义 5.1. 设 (X, T) 为拓扑空间，如果对每一点 x ∈ X，存在 x 处的一个可数拓扑基（即 点 x 处的一个可数的开集族 B(x) = {Gα}，它对 x 的任何邻域 G，都有 Gα ∈ B(x)，使 得 x ∈ Gα ⊂ G），则称 (X, T) 为A1（拓扑）空间。 定义 5.2. 如果拓扑空间 (X, T) 存在一个可数拓扑基，则称 (X, T) 为A2（拓扑）空间。 定理 5.1. A2 空间必为 A1 空间，反之不成立（参看例 5.1）。 证明. 设 B 是 A2 空间 (X, T) 的可数拓扑基。对任何 x ∈ X，令 B(x) = {G | x ∈ G, G ∈ B}，容易验证 B(x) 满足定义 5.1 中的条件，因此 (X, T) 是 A1 空间。 例 5.1. 设 X = R，取离散拓扑空间 (X, Tdiscrete)，X 的任何子集既是开集又是闭集。因 为 (X, Tdiscrete) 的任一拓扑基必须包含所有的单点集，所以不可数，这就证明了它不是 A2 空间。此外，单点集 {x} 显然形成点 x 处的一个可数拓扑基，因而 (X, Tdiscrete) 是 A1 空间。 例 5.2. Lec4 例 3.9 中的 (X, T) 不是 A1 空间。 （反证）设 x ∈ X, {X − Cn | Cn是至多可数集, n = 1, 2, · · · } 是 x 处的一个可数拓 扑基。因为 X 不可数，存在 a ∈ X, a ̸= x, a /∈ ∪∞ n=1 Cn。X − {a} 是 x 的一个邻域，但 X −Cn ̸⊂ X − {a} (n = 1, 2, · · ·)，这与 {X −Cn} 是 x 处的拓扑基相矛盾。于是，(X, T) 不是 A1 空间。 定理 5.2. 拓扑空间 (X, T) 为 A2 空间 ⇒ (X, T) 有可数稠密子集。反之不成立（参看例 5.3）。 1

证明.设{Gn|n=1,2，}是X的可数拓扑基。令Y={yn|ynEGn]，容易证明Y是X的可数稠密子集。事实上，对任何rEX和的邻域G，存在Gn，使得rEGnCG，口于是ynEG,则EY,Y=X。例5.3.设Y是异于的不可数集，X=UY.J=①UAACY，容易验证(X,T）是拓扑空间，且（r)=X，所以X具有可数稠密子集。但由于（X,T）的任何拓扑基必包含开集族{(r)U{y)yEY)，而它是不可数的。因此，（X,の)无可数拓扑基，即不是A2空间。定义5.3.如果度量空间（X,p）有一个可数稠密子集，则称(X,p)为可分度量空间(Separable metric space)。定理5.3.设（X，J）为由度量空间（X，P）诱导的拓扑空间。则以下三个条件：1.(X,J)是A2空间;2.（X,P)有一个可数球形邻域族为（X,)的拓扑基；3.(X,P)是可分度量空间。是彼此等价的。证明.(2→1)：由A2空间的定义。(1→3)：由定理5.2。(3→2)：设Y是可分度量空间(XP)的稠密子集，则B={U(y,r)|yEY,rEQ是（X,P)的可数球形邻域族，它是一个拓扑基。因为BCJ，所以只需验证X的任一开集G和任何rEG，存在U(y,r)EB使得rEUy,r)CG。当G=X时，任取一点yEY和有理数r>p(r,y)，则aEU(y,r)CX=G。当G≠X时，因为±X-G（闭集)，所以d=p(,X-G)>01。则存在yEY口使p(r,y)<。再取有理数r满足<r<号。于是U(y,r) G。定义5.4.设（X,)为拓扑空间，YCX，如果n={G}是X的一族子集，使得YcUGa则称n为Y的在X中的一个覆盖（Cover)。如果n中元素的个数是有限的或可数的，n分别称为有限覆盖（Finitecover）或可数覆盖（Countablecover)。如果nCn也是Y的在X中的一个覆盖，则称㎡为n的子覆盖(Subcover)。如果Y=X，我们简称n为X的覆盖。特别当所有的G。为开（闭）集是，称n为Y的在X中的开（闭）覆盖(Open(closed)cover)。定理5.4.(Lindelof)设（X,の）为A2空间（即具有可数拓扑基B），则它的任意开覆盖n有一个可数的子覆盖。1需证明2

证明. 设 {Gn | n = 1, 2, · · · } 是 X 的可数拓扑基。令 Y = {yn | yn ∈ Gn}，容易证明 Y 是 X 的可数稠密子集。事实上，对任何 x ∈ X 和 x 的邻域 G，存在 Gn，使得 x ∈ Gn ⊂ G， 于是 yn ∈ G，则 x ∈ Y¯，Y¯ = X。 例 5.3. 设 Y 是异于 x 的不可数集，X = {x} ∪ Y, T = {∅, {x} ∪ A | A ⊂ Y }，容易验证 (X, T) 是拓扑空间，且 {x} = X，所以 X 具有可数稠密子集。但由于 (X, T) 的任何拓 扑基必包含开集族 {{x} ∪ {y} | y ∈ Y }，而它是不可数的。因此，(X, T) 无可数拓扑基， 即不是 A2 空间。 定义 5.3. 如果度量空间 (X, ρ) 有一个可数稠密子集，则称 (X, ρ) 为可分度量空间 (Sep￾arable metric space)。 定理 5.3. 设 (X, T) 为由度量空间 (X, ρ) 诱导的拓扑空间。则以下三个条件： 1. (X, T) 是 A2 空间； 2. (X, ρ) 有一个可数球形邻域族为 (X, T) 的拓扑基； 3. (X, ρ) 是可分度量空间。 是彼此等价的。 证明. (2 ⇒ 1)：由 A2 空间的定义。 (1 ⇒ 3)：由定理 5.2。 (3 ⇒ 2)：设 Y 是可分度量空间 (X, ρ) 的稠密子集，则 B = {U(y, r) | y ∈ Y, r ∈ Q} 是 (X, ρ) 的可数球形邻域族，它是一个拓扑基。因为 B ⊂ T，所以只需验证 X 的任一 开集 G 和任何 x ∈ G，存在 U(y, r) ∈ B 使得 x ∈ U(y, r) ⊂ G。 当 G = X 时，任取一点 y ∈ Y 和有理数 r > ρ(x, y)，则 x ∈ U(y, r) ⊂ X = G。 当 G ̸= X 时，因为 x /∈ X − G（闭集），所以 d = ρ(x, X − G) > 01。则存在 y ∈ Y ， 使 ρ(x, y) < d 3。再取有理数 r 满足 d 3 < r < 2d 3 。于是 x ∈ U(y, r) ⊂ G。 定义 5.4. 设 (X, T) 为拓扑空间，Y ⊂ X，如果 η = {Gα} 是 X 的一族子集，使得 Y ⊂ ∪ α Gα 则称 η 为 Y 的在 X 中的一个覆盖 (Cover)。如果 η 中元素的个数是有限的或可数的，η 分别称为有限覆盖 (Finite cover) 或可数覆盖 (Countable cover)。如果 η ′ ⊂ η 也是 Y 的 在 X 中的一个覆盖，则称 η ′ 为 η 的子覆盖 (Subcover)。如果 Y = X，我们简称 η 为 X 的覆盖。特别当所有的 Gα 为开（闭）集是，称 η 为 Y 的在 X 中的开（闭）覆盖 (Open(closed)cover)。 定理 5.4. (Lindelöf) 设 (X, T) 为 A2 空间（即具有可数拓扑基 B），则它的任意开覆盖 η 有一个可数的子覆盖。 1需证明 2

证明. 设 B' =[BI B E B, B C G, G E n) C B。对于每个 B' E B',取定一个G(B)E，使得BCG(B)。我们令n= [G(B') /B EB"})由于B可数，是n的可数子族。余下的只需证明㎡是n的子覆盖。事实上，对任何TEX，必有GEn,EG。于是存在BEB，使EBEG。从B的定义可知BEB'这就证明了TEG(B)En口5.2分离性当我们考虑更一般的拓扑空间中的开集，闭集与极限点时，我们对实直线与实平面的认识可能是具有误导性的。举个例子，在R和R2中，每个单点集ol都是闭的。这当然很容易，每个异于o的点都有一个与【o}不交的邻域，所以o是它自己已的闭包。但这件事对任意拓扑空间而言并不都是对的。考虑一个三元集a，b,上的拓扑T=[X,の,b,{a,b],{b,c]]。在这个拓扑空间中，单点集{b]不是闭的，因为它的补集不是开的。类似地，当我们处理更一般的拓扑空间中的收敛序列时，我们所熟知的R和R2所具有的性质可能是十分误导人的。在任意拓扑空间中，我们称X中的一个序列1，22，·收敛到&EX，指的是对每个r的邻域U，存在正整数N使得anEU对所有n>N成立。在R和R2中，一个序列不可能收敛到多个点，但在任意拓扑空间中，它可以。还是刚才的例子，取常序列n=b,VnEN+，那么该序列不仅收敛到b，还收敛到a和c。数学家们认为那些单点集不闭，或是序列收敛到多个点的拓扑，多少有点怪。它们实在没啥意思，因为它们很少出现在数学的其他分支中。而且如果我们承认这样的例子，那么我们能证明的拓扑空间的定理将十分有限。因此，我们经常附加额外的条件来排除这样的例子，使得我们考虑的一类空间更加贴近我们的几何直观。下面的条件是数学家FelixHausdorff提出的，所以数学家们用他的名字来命名之。定义5.5.如果拓扑空间（X,J）的任意两个不同的点有不相交的邻域，则称（X,）为T空间或豪斯多夫空间(Hausdorfspace)。定理5.5.Hausdorff空间X中的任意有限点集为闭集。证明.只需证任意单点集【co}为闭集。若aEX异于co，那么和o分别有不交邻域U和V。因为U和【co}不交，不在集合(ro}的闭包中。于是co}的闭包是{co}自口已，所以它是闭集。3

证明. 设 B′ = {B | B ∈ B, B ⊂ G, G ∈ η} ⊂ B。对于每个 B′ ∈ B′，取定一个 G(B′ ) ∈ η，使得 B′ ⊂ G(B′ )。我们令 η ′ = {G(B ′ ) | B ′ ∈ B ′ } 由于 B′ 可数，η ′ 是 η 的可数子族。余下的只需证明 η ′ 是 η 的子覆盖。事实上，对任何 x ∈ X，必有 G ∈ η, x ∈ G。于是存在 B ∈ B，使 x ∈ B ∈ G。从 B′ 的定义可知 B ∈ B′， 这就证明了 x ∈ G(B) ∈ η ′ 5.2 分离性 当我们考虑更一般的拓扑空间中的开集、闭集与极限点时，我们对实直线与实平 面的认识可能是具有误导性的。举个例子，在 R 和 R 2 中，每个单点集 {x0} 都是闭的。 这当然很容易，每个异于 x0 的点都有一个与 {x0} 不交的邻域，所以 {x0} 是它自己的 闭包。但这件事对任意拓扑空间而言并不都是对的。考虑一个三元集 {a, b, c} 上的拓扑 T = {X, ∅, b, {a, b}, {b, c}}。在这个拓扑空间中，单点集 {b} 不是闭的，因为它的补集 不是开的。 类似地，当我们处理更一般的拓扑空间中的收敛序列时，我们所熟知的 R 和 R 2 所 具有的性质可能是十分误导人的。在任意拓扑空间中，我们称 X 中的一个序列 x1, x2, · · · 收敛到 x ∈ X，指的是对每个 x 的邻域 U，存在正整数 N 使得 xn ∈ U 对所有 n > N 成 立。在 R 和 R 2 中，一个序列不可能收敛到多个点，但在任意拓扑空间中，它可以。还 是刚才的例子，取常序列 xn = b, ∀ n ∈ N+，那么该序列不仅收敛到 b，还收敛到 a 和 c。 数学家们认为那些单点集不闭，或是序列收敛到多个点的拓扑，多少有点怪。它们 实在没啥意思，因为它们很少出现在数学的其他分支中。而且如果我们承认这样的例 子，那么我们能证明的拓扑空间的定理将十分有限。因此，我们经常附加额外的条件来 排除这样的例子，使得我们考虑的一类空间更加贴近我们的几何直观。下面的条件是数 学家 Felix Hausdorff 提出的，所以数学家们用他的名字来命名之。 定义 5.5. 如果拓扑空间 (X, T) 的任意两个不同的点有不相交的邻域，则称 (X, T) 为T2 空间或豪斯多夫空间 (Hausdorff space)。 定理 5.5. Hausdorff 空间 X 中的任意有限点集为闭集。 证明. 只需证任意单点集 {x0} 为闭集。若 x ∈ X 异于 x0，那么 x 和 x0 分别有不交邻域 U 和 V 。因为 U 和 {x0} 不交，x 不在集合 {x0} 的闭包中。于是 {x0} 的闭包是 {x0} 自 己，所以它是闭集。 3

不过有限点集为闭集的条件事实上是弱于Hausdorff条件的。比如说，实直线R配备余有限拓扑不是Hausdorff空间，但有限点集是闭集。而有限点集为闭集的条件也有一个名字：Ti公理(Tiaxiom)。不过我们只在下面的定理中提到它：定理5.6.设X为满足Ti公理的空间，ACX。那么为A的极限点当且仅当的每个邻域都包含A的无穷多点。证明.若的每个邻域都交A于无穷多点，则邻域必然交A于以外的点，故为A的极限点。反过来，假设为A的极限点，且的某些邻域U仅交A于有限多点。那么U也交A-{a)于有限多点。设i,，m)=Un(A-{a))。则X-{a1,.，m)为X的开集，因为有限点集{1，，m】为闭集。于是Un(X-{ri,".,am)口为r的与A一[c}不交的邻域。这与r为A的极限点矛盾。我们对T公理不感兴趣的原因之一是，很多拓扑中有趣的定理不只是需要这个公理，还需要T2公理。更进一步，绝大多数对数学家重要的空间是Hausdorff空间。下面两个定理一定程度上支撑了这个说法。定理5.7.若X为Hausdorff空间，则X中的序列收敛到X中至多一点。证明.假设X中序列(cn}收敛到。若y≠c，分别取r和y的不交邻域U和V。因为至多有有限多项n不在U中，所以V只能包含有限多项an。因此an不收敛到y。口定理5.8.1.设（X,の）为T2空间，则它的子拓扑空间Y也是T2空间。2.设（X1,J1）和（X2，J2）为T2空间，则它们的积拓扑空间也是T2空间。证明.1.设,yEYCX，≠y。由(X,J)是T2空间，存在和y的不相交的邻域U(r)和U(y)，则U(r)nY和U(y)nY是a和y关于Y的不相交的邻域，于是子空间Y也是T2空间。2.设（1,2)，（y1,y2）EXi×X2，（a1,2）≠（y1,y2)，则至少有一个分量不同，不妨设2≠y2。由于（X2,）是T2空间，所以存在2和92关于（X2,）的不相交邻域V(c2）和V(y2)，而Xi×V(r2)和Xi×V(y2)就是（r1,2)和(yi,2)关于积拓扑空间不相交的邻域，这证明了积拓扑空间也是T2空间。口定义5.6.如果拓扑空间（X,の）的任意一点与不包含此点的一个闭集有不相交的邻域，则称(X,了）为正则空间(Regularspace)。如果拓扑空间（X,の）的任意两个不相交的闭集有不相交的邻域，则称（X,）为正规空间(Normalspace)。4

不过有限点集为闭集的条件事实上是弱于 Hausdorff 条件的。比如说，实直线 R 配 备余有限拓扑不是 Hausdorff 空间，但有限点集是闭集。而有限点集为闭集的条件也有 一个名字：T1 公理 (T1axiom)。不过我们只在下面的定理中提到它： 定理 5.6. 设 X 为满足 T1 公理的空间，A ⊂ X。那么 x 为 A 的极限点当且仅当 x 的每 个邻域都包含 A 的无穷多点。 证明. 若 x 的每个邻域都交 A 于无穷多点，则邻域必然交 A 于 x 以外的点，故 x 为 A 的极限点。 反过来，假设 x 为 A 的极限点，且 x 的某些邻域 U 仅交 A 于有限多点。那么 U 也 交 A − {x} 于有限多点。设 {x1, · · · , xm} = U ∩ (A − {x})。则 X − {x1, · · · , xm} 为 X 的开集，因为有限点集 {x1, · · · , xm} 为闭集。于是 U ∩ (X − {x1, · · · , xm}) 为 x 的与 A − {x} 不交的邻域。这与 x 为 A 的极限点矛盾。 我们对 T1 公理不感兴趣的原因之一是，很多拓扑中有趣的定理不只是需要这个公 理，还需要 T2 公理。更进一步，绝大多数对数学家重要的空间是 Hausdorff 空间。下面 两个定理一定程度上支撑了这个说法。 定理 5.7. 若 X 为 Hausdorff 空间，则 X 中的序列收敛到 X 中至多一点。 证明. 假设 X 中序列 {xn} 收敛到 x。若 y ̸= x，分别取 x 和 y 的不交邻域 U 和 V 。因为 至多有有限多项 xn 不在 U 中，所以 V 只能包含有限多项 xn。因此 xn 不收敛到 y。 定理 5.8. 1. 设 (X, T) 为 T2 空间，则它的子拓扑空间 Y 也是 T2 空间。 2. 设 (X1, T1) 和 (X2, T2) 为 T2 空间，则它们的积拓扑空间也是 T2 空间。 证明. 1. 设 x, y ∈ Y ⊂ X, x ̸= y。由 (X, T) 是 T2 空间，存在 x 和 y 的不相交的邻域 U(x) 和 U(y)，则 U(x) ∩ Y 和 U(y) ∩ Y 是 x 和 y 关于 Y 的不相交的邻域，于是 子空间 Y 也是 T2 空间。 2. 设 (x1, x2),(y1, y2) ∈ X1 × X2, (x1, x2) ̸= (y1, y2)，则至少有一个分量不同，不妨 设 x2 ̸= y2。由于 (X2, T) 是 T2 空间，所以存在 x2 和 y2 关于 (X2, T) 的不相交邻 域 V (x2) 和 V (y2)，而 X1 × V (x2) 和 X1 × V (y2) 就是 (x1, x2) 和 (y1, y2) 关于积拓 扑空间不相交的邻域，这证明了积拓扑空间也是 T2 空间。 定义 5.6. 如果拓扑空间 (X, T) 的任意一点与不包含此点的一个闭集有不相交的邻域， 则称 (X, T) 为正则空间 (Regular space)。 如果拓扑空间 (X, T) 的任意两个不相交的闭集有不相交的邻域，则称 (X, T) 为正 规空间 (Normal space)。 4

定理5.9.设（X,）为拓扑空间，则1.(X,)为正则空间台拓扑空间(X,J)的任一点的每个邻域U(r)，必存在的邻域V(r)，使得V(r)CU(a)。2.（X.J）为正规空间台拓扑空间（X.J）的任一闭集F的每个邻域U(F）（即包含F的开集)，必存在F的邻域V(F)，使得V(F)CU(F)。证明。1.(→)因为(X,)是正则的，所以α与闭集F=X-U(α)各有一个邻域V(c)和V(F),使得V(α)nV(F)=の,即V(r)CX-V(F)。于是V() CX -V(F) =X-V(F) C X-F=U(r)(←)设EXF是(X,)的闭集，且F。显然U()=X-F是α的一个邻域。由题设，存在的邻域V(r)，使得V()CU()。因为U(α)nF=(X-F)nF=の，V(e)nF=0,所以X -V(r)是F的一个邻域，且V(c)n(X-V(r))=。2.（→)因为(X,J)是正规空间，则两个不相交的闭集F与F*=X-U(F)各有一个邻域V(F)与V(F*)，使得V(F)nV(F*)=O，于是V(F) CX-V(F*),V(F) CX -V(F*) =X -V(F*) CX -F*=U(F)（一）设F1和F2是（X,J)的任意两个不相交的闭集。容易看出，U(F）=X－F2是F的一个邻域。根据题设，存在Fi的邻域V(F)，使得V(F）CU(F)。因为U(F)nF2=(X-F2)F=0,V(F)nF2=0,所以X-V(F)是F2的-个邻域，且V(F)n(X - V(Fi) = 0口定理5.10.设（X,p）为度量空间，则由它诱导的拓扑空间（X,）是T,空间、正则空间和正规空间。证明．1.对任何1,2X,2。U(,e）和U(2,e)分别是和2的不相交的邻域。因此，(X,J)是T22空间。2.设F是(X,)的闭集，F,则p(a,F)>0,于是U(α,F)与X-U(r,e)分别是和F的不相交的邻域。因此，（X,T）是正则空间。3.设Fi和F2是（X,）的任意两个不相交的闭集。对于1EFi1，2EF2，由i(1)=p(1,F2)>0和=2(2)=p(2,Fi)>0得到U(Fi)=UU(1,Ei(1))rIEFi和U(F2)=U)U(r2,E2(c2))分别是Fi和F2的邻域、2EF25

定理 5.9. 设 (X, T) 为拓扑空间，则 1. (X, T) 为正则空间 ⇔ 拓扑空间 (X, T) 的任一点 x 的每个邻域 U(x)，必存在 x 的 邻域 V (x)，使得 V (x) ⊂ U(x)。 2. (X, T) 为正规空间 ⇔ 拓扑空间 (X, T) 的任一闭集 F 的每个邻域 U(F)（即包含 F 的开集），必存在 F 的邻域 V (F)，使得 V (F) ⊂ U(F)。 证明. 1. (⇒) 因为 (X, T) 是正则的，所以 x 与闭集 F = X −U(x) 各有一个邻域 V (x) 和 V (F)，使得 V (x) ∩ V (F) = ∅，即 V (x) ⊂ X − V (F)。于是 V (x) ⊂ X − V (F) = X − V (F) ⊂ X − F = U(x) (⇐) 设 x ∈ X，F 是 (X, T) 的闭集，且 x /∈ F。显然 U(x) = X −F 是 x 的一个邻域。 由题设，存在 x 的邻域 V (x)，使得 V (x) ⊂ U(x)。因为 U(x)∩F = (X −F)∩F = ∅， V (x) ∩ F = ∅，所以 X − V (x) 是 F 的一个邻域，且 V (x) ∩ (X − V (x)) = ∅。 2. (⇒) 因为 (X, T) 是正规空间，则两个不相交的闭集 F 与 F ∗ = X − U(F) 各有一 个邻域 V (F) 与 V (F ∗ )，使得 V (F) ∩ V (F ∗ ) = ∅，于是 V (F) ⊂ X − V (F ∗ )， V (F) ⊂ X − V (F∗ ) = X − V (F ∗ ) ⊂ X − F ∗ = U(F) (⇐) 设 F1 和 F2 是 (X, T) 的任意两个不相交的闭集。容易看出，U(F1) = X − F2 是 F1 的一个邻域。根据题设，存在 F1 的邻域 V (F1)，使得 V (F1) ⊂ U(F1)。因为 U(F1) ∩ F2 = (X − F2) ∩ F2 = ∅，V (F1) ∩ F2 = ∅，所以 X − V (F1) 是 F2 的一个 邻域，且 V (F1) ∩ (X − V (F1)) = ∅ 定理 5.10. 设 (X, ρ) 为度量空间，则由它诱导的拓扑空间 (X, T) 是 T2 空间、正则空间 和正规空间。 证明. 1. 对任何 x1, x2 ∈ X, x1 ̸= x2。U(x1, ρ(x1,x2) 2 ) 和 U(x2, ρ(x1,x2) 2 ) 分别是 x1 和 x2 的不相交的邻域。因此，(X, T) 是 T2 空间。 2. 设 F 是 (X, T) 的闭集，x /∈ F，则 ρ(x, F) > 0，于是 U(x, ρ(x,F) 2 ) 与 X −U(x, ρ(x,F) 2 ) 分别是 x 和 F 的不相交的邻域。因此，(X, T) 是正则空间。 3. 设 F1 和 F2 是 (X, T) 的任意两个不相交的闭集。对于 x1 ∈ F1, x2 ∈ F2，由 ε1(x1) = 1 2 ρ(x1, F2) > 0 和 ε2(x2) = 1 2 ρ(x2, F1) > 0 得到 U(F1) = ∪ x1∈F1 U(x1, ε1(x1)) 和 U(F2) = ∪ x2∈F2 U(x2, ε2(x2)) 分别是 F1 和 F2 的邻域、 5

假设U(F)nU(F2)+0，即存在EU(F)nU(F2)。于是有iEFi,2EF2使得TEU(1,E1(C1))nU(2,E2(2))我们不妨设=1(1)≥2(2)。则p(1, F2) ≤p(1, 2)≤p(i, ) +p(, 2)0，定义[U(p,e)nX,当pEX-RV(p,=) =([U(p,)n(X - R)] U (p), 当pE R容易验证B=（V(pe))是X的一个拓扑基，因而诱导出一个拓扑空间（X，)。设，且，则=>0于是pe V(p,e),q E V(q,e), V(p,e)nV(q,e) = 0即(X,J)是T2空间。此外，点a=(0,0)与R-{a)=X-UV(a,ε)都是闭集。易证它们无不相交的邻域。因此，（X,の）既非正则空间又非正规空间。6

假设 U(F1) ∩ U(F2) ̸= ∅，即存在 x ∈ U(F1) ∩ U(F2)。于是有 x1 ∈ F1, x2 ∈ F2， 使得 x ∈ U(x1, ε1(x1)) ∩ U(x2, ε2(x2)) 我们不妨设 ε1(x1) ≥ ε2(x2)。则 ρ(x1, F2) ≤ ρ(x1, x2) ≤ ρ(x1, x) + ρ(x, x2) 0，定义 V (p, ε) =    U(p, ε) ∩ X, 当p ∈ X − R [U(p, ε) ∩ (X − R)] ∪ {p}, 当p ∈ R 容易验证 B = {V (p, ε)} 是 X 的一个拓扑基，因而诱导出一个拓扑空间 (X, T)。 设 p, q ∈ X，且 p ̸= q，则 ε = ρ(p,q) 2 > 0，于是 p ∈ V (p, ε), q ∈ V (q, ε), V (p, ε) ∩ V (q, ε) = ∅ 即 (X, T) 是 T2 空间。 此外，点 a = (0, 0) 与 R − {a} = X − ∪ ε>0 V (a, ε) 都是闭集。易证它们无不相交的 邻域。因此，(X, T) 既非正则空间又非正规空间。 6