《线性代数》课程教学课件（讲稿）矩阵初等变换、矩阵的等价

矩阵的初等变换在解线0101消元法性方程组、求逆矩阵及矩阵理论研究中都有重矩阵的初等变换0102初等变换要作用0103我们借助消元法求解线等价关系性方程组引出矩阵的初等变换矩阵的重要运算内容简介福

矩阵的初等变换 内容简介 0101 消元法 0102 初等变换 0103 等价关系 矩阵 的初等变换在解线 性方程组、求逆矩阵及 矩阵理论研究中都有重 要作用 矩阵的重 要运算 我们借助消元法求解线 性方程组引出矩阵的初 等变换

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解将消元法解方程组的三种同解变换移植到矩阵上，即得到了矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换(i)对调两行(对调i,j两行，记作r;r,);(ii)以数k≠0乘某一行中的所有元素(第i行乘k，记作r×k);初等变换大

矩 阵 的 初 等 变 换 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri  rj ); (ii) 以数 k  0 乘某一行中的所有元素 (第 i 行乘 k , 记作 ri  k ); 定义1 将消元法解方程组的三种同解变换移植到矩阵上，即得 到了矩阵的初等变换

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解(iii)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去(第j行的k倍加到第i行上,记作r,+kr)矩阵的初等变换分析r;r，的逆变换是rrr;x()r,×k的逆变换是Kr;+kr,的逆变换是r;+(-k)rj说明初等变换

矩 阵 的 初 等 变 换 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 初等变换 (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj ). i j r  r 的逆变换是 r k i  的逆变换是 ) 1 ( k ri  i j r  kr 的逆变换是 i j r  (k)r i j 分析 r  r 说明

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换把定义中的行换成列，即得矩阵的初等列变换。初等矩阵的初等变换行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换矩阵A经若干次初等变换化为B，记为A→B此时称A与B等价，记为AB等价关系满足：自反性对称性传递性AA~AB 则 BB: BI~ C 则 A ~ C初等变换P

矩 阵 的 初 等 变 换 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 初等变换  三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换  把定义中的行换成列，即得矩阵的初等列变换。初等 行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换  矩阵A经若干次初等变换化为B，记为 此时称A与B等价，记为  等价关系满足： A B A ~ B 自反性 对称性 传递性 AA~~AB则A ~BB~,BA~ C 则 A ~ C

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解Y矩阵A经若干次初等行变换化为B，称A与B行等价记为AB矩阵的初等变换矩阵A经若干次初等列变换化为B，称A与B列等价记为A-B例 126934利用初等行变换将A=-3-17化为阶梯形矩阵-143-7初等变换M

矩 阵 的 初 等 变 换 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 初等变换 A B r  A B c   矩阵A经若干次初等行变换化为B，称A与B行等价 记为 矩阵A经若干次初等列变换化为B，称A与B列等价 记为 例1                1 4 3 7 1 3 17 4 3 2 6 9 利用初等行变换将 A 化为阶梯形矩阵

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解V3-7142+ri解r3-3riri13A-174-1-3?29(36矩阵的初等变换-7-731344101-14-301= B-14-313+10r2000-143030-10-3初等变换大

矩 阵 的 初 等 变 换 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 初等变换 A r 1  r3    3 1 2 1 r 3r r r                0 10 3 30 0 1 14 3 1 4 3 7 r 3 10 r2                0 0 143 0 0 1 14 3 1 4 3 7               3 2 6 9 1 3 17 4 1 4 3 7 解  B

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解I73即为行阶梯形矩阵B=1-14X矩阵的初等变换143X一特点可划出一条阶梯线，线的下方全为零每个台阶只有一行，阶梯数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的非零首元初等变换

矩 阵 的 初 等 变 换 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 初等变换                0 0 143 0 0 1 14 3 1 4 3 7 B 即为行阶梯形矩阵 特点  可划出一条阶梯线，线的下方全为零  每个台阶只有一行，阶梯数即是非零行的行数，阶梯 线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的非 零首元

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解Y对矩阵B继续做初等行变换：3-7)14ri-4r25059-301-14B=1-3-14矩阵的初等变换1430000-1430001特点05①012+14r3在具备行阶梯形矩ri-59r30D-3=C阵特点的同时，非零行的?00非零首元为1，且其所在列称为行最简形矩阵的其他元素全为0初等变换

矩 阵 的 初 等 变 换 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 初等变换 对矩阵 B 继续做初等行变换：    3 1 2 143 1 4 r r r             0 0 1 0 0 1 14 3 1 0 59 5 C r r r r                0 0 1 0 0 1 0 3 1 0 0 5 1 3 2 3 5 9 1 4                0 0 143 0 0 1 14 3 1 4 3 7 B 称为行最简形矩阵 在具备行阶梯形矩 阵特点的同时，非零行的 非零首元为1，且其所在列 的其他元素全为0 特点

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解I对矩阵C继续做初等列变换：0000510C4-5c1C4+3c20-3100=F001矩阵的初等变换-000000定理1对于任何非零矩阵总可以经过有限次的初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简行矩阵惟一不惟一初等变换

矩 阵 的 初 等 变 换 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 初等变换             0 0 1 0 0 1 0 3 1 0 0 5 C    4 2 4 1 3 5 c c c c 对矩阵 C 继续做初等列变换： 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 F        对于任何非零矩阵总可以经过有限次的初等行变 换化为行阶梯形矩阵和行最简行矩阵 定理1 不惟一 惟一

矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解I定义20007对行最简形矩阵再施以000矩阵的初等变换初等列变换，可变成一00F=0种形如0000E.0的矩阵，即F..00mxn0000则称F为原矩阵的等价标准形等价标准形M

矩 阵 的 初 等 变 换 22 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 等价标准形 则称F为原矩阵的等价标准形 的矩阵，即 m n r O O E O F                                  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0                       F 定义2 对行最简形矩阵再施以 初等列变换，可变成一 种形如