《数值计算》课程教学资源（试卷习题，0903220310）第8章 常微分方程的数值解法（习题）

第8章常微分方程的数值解法习题81.用欧拉公式、向后欧拉公式、梯形公式求解下列初值问题（取h=0.1)：(1) y'=l-y, y(0)=0, 0≤x≤l;(2) y'=xy2, y(0)=1, 0≤x≤l;2.用欧拉公式计算积分edt在x=0.5，1，1.5，2的近似值y'+y=03.用梯形公式求解初值问题并证明h证明：其近似解为y(J(0) =1趋近于0时，它收敛于原初值问题的准确解y=e""[y'=x +x-y,0<x<14．用改进的欧拉公式求解初值问题，取步长h=0.1计算(y(0)= 0y(0.5)，并与准确解y=-e-*+x2-x+1相比较.5.利用改进的欧拉公式（7.2.7）求解第1题6.利用四阶经典龙格一库塔公式求解第1题7.求改进的欧拉公式（7.2.7）的绝对稳定区域8.利用待定系数法确定如下求解公式的系数，使其阶数尽可能高，并导出局部截断误差的简单表达式：(1) yi+=aoy, +ayi-, +βhft:(2)yi+t=y,+h(βof,+βf-)(3) Ji+1 = yi-3 +h(βof, + βf-I + β,fi-2)9.分别用三阶显式阿达姆斯方法和三阶隐式阿达姆斯方法解下列初值问题y'=1-y取h=0.2,%=0,y=0.181，计算(1.0)并与准确解y=1-e-*相比较1

1 第 8 章 常微分方程的数值解法 习题 8 1．用欧拉公式、向后欧拉公式、梯形公式求解下列初值问题（取 h=0.1）： （1） y y y x       1 , (0) 0, 0 1； （2） 2 y xy y x      , (0) 1, 0 1； 2．用欧拉公式计算积分 2 0 x t e dt   在 x  0.5 ，1，1.5，2 的近似值. 3．用梯形公式求解初值问题 0 (0) 1 y y y        ，证明：其近似解为 2 2 n n h y h          ，并证明 h 趋近于 0 时，它收敛于原初值问题的准确解 x y e  . 4．用改进的欧拉公式求解初值问题 2 , 0 1 (0) 0 y x x y x y           ，取步长 h  0.1计算 y(0.5) ，并与准确解 2 1 x y e x x       相比较. 5．利用改进的欧拉公式（7.2.7）求解第 1 题. 6．利用四阶经典龙格－库塔公式求解第 1 题. 7．求改进的欧拉公式（7.2.7）的绝对稳定区域： 8．利用待定系数法确定如下求解公式的系数，使其阶数尽可能高，并导出局部截断误 差的简单表达式： （1） i i i i 1 0 1 1 1 y a y a y hf        ； （2） y y h f f i i i i   1 0 1 1       . （3） y y h f f f i i i i i     1 3 0 1 1 2 2         . 9．分别用三阶显式阿达姆斯方法和三阶隐式阿达姆斯方法解下列初值问题 y y   1 ， 取 0 1 h y y    0.2, 0, 0.181，计算(1.0) 并与准确解 1 x y e   相比较

x(t)= y(t)-sinty'(t)= x(t)+ cost10用二阶龙格一库塔法解常微分方程组x(0) =1(y(0) =0[y"+y=011取h=0.25用差分法解边值问题(J(0) = 0, y(1) =1.682

2 10 用二阶龙格－库塔法解常微分方程组 ( ) ( ) sin ( ) ( ) cos (0) 1 (0) 0 x t y t t y t x t t x y              11．取 h  0.25 用差分法解边值问题 0 (0) 0, (1) 1.68 y y y y        