《概率论与数理统计》课程教学资源（实验指导）2、随机变量的分布特征

实验2随机变量的分布特征随机事件和实数之间存在着某种客观的联系。为了全面揭示随机试验结果的统计规律性，我们将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果同实数对应起来，从而引入随机变量。对试验结果的统计规律性的研究就转化为对随机变量取值的统计规律性的研究。一般情况下，随机变量可以简单地分为离散型和联系型两种。离散型和连续型随机变量的所有特征分别可以通过概率分布律和分布函数来刻画。了解各种分布的曲线图形是掌握随机变量知识的重要手段与工具。1实验目的（1）熟练掌握离散型随机变量的分布图形及性质：常见的离散型随机变量有0-1分布、二项分布和泊松分布等。分布类型分布律参数记号k=0,1X~B(I,p)P(X =k) = p*(l- p)-k0-1分布k=0,1,2,",nX~B(n,p)二项分布P(X =k)=Ckp'q"-2k-)k=0,1,2....X~ 元(2)P(X =k) =泊松分布k!（2）热练掌握连续型随机变量的分布图形及性质。常见的连续性随机变量有均匀分布、指数分布和正态分布等。参数记号分布类型概率密度1a≤x≤bX~U(a,b)均匀分布a,bf(x)=-其它0[ae-ix≥0元指数分布f(x)=0x<0(t-u)2H,o?X~ N(u,α)20正态分布f(x) =00<x<+00V2元起

实验 2 随机变量的分布特征 随机事件和实数之间存在着某种客观的联系。为了全面揭示随机试验结果的统计规律 性，我们将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果同实数对应起来，从而引入随机 变量。对试验结果的统计规律性的研究就转化为对随机变量取值的统计规律性的研究。 一般情况下，随机变量可以简单地分为离散型和联系型两种。离散型和连续型随机变 量的所有特征分别可以通过概率分布律和分布函数来刻画。了解各种分布的曲线图形是掌 握随机变量知识的重要手段与工具。 1 实验目的 （1）熟练掌握离散型随机变量的分布图形及性质； 常见的离散型随机变量有 0-1 分布、二项分布和泊松分布等。 分布类型 分布律 参数 记号 0-1 分布 k k P X k p p − = = − 1 { } (1 ) k = 0,1 X ~ B(1, p) 二项分布 k k n k P X k Cn p q − { = }= k = 0,1,2,  ,n X ~ B(n, p) 泊松分布  − = = e k P X k k ! { } k = 0,1,2,  X ~  () （2）熟练掌握连续型随机变量的分布图形及性质。 常见的连续性随机变量有均匀分布、指数分布和正态分布等。 分布类型 概率密度 参数 记号 均匀分布       = − 0 其它 1 ( ) a x b f x b a a,b X ~ U(a,b) 指数分布      = − 0 0 0 ( ) x e x f x x   正态分布 −    +    = − − f x e x x 2 2 2 ( ) 2 1 ( )    2 , X ~ ( , ) 2 N  

2基本语句(1)BernoulliDistribution[p]功能：伯努利分布（0-1分布）(2)BinomiaDistribution[n,p]功能：二项分布(3）PoissonDistribution[]功能：泊松分布(4）NormalDistribution[μ,]功能：正态分布(5)UniformDistribution[min,max]功能：均匀分布（6）ExponentialDistribution[]功能：指数分布(7) Domain[dist]功能：求离散型随机变量的所有可能的取值(8) PDF[dist,x]功能：计算分布dist在点x处的概率密度函数(9) CDF[dist,x]功能：计算x处的分布函数（10)Quantile[dist,q]功能：求x使CDF[dist,x]=q，即2分位数（11）True]功能：用线段连接绘制的点，list为数据点3典型实验例1（二项分布）利用Mathematica绘出二项分布B(n,p)的分布律与分布函数的图形通过观察图形，进一步理解二项分布的分布律与分布函数的性质。解设n=20，p=0.2,0输入命令n=20;p=0.2;dist=BinomialDistribution[n,p];t=Table[(PDF[dist,x+1],x),(x,0,20)];g1=BarChart[t, PlotRange->AI];g2=Plot[Evaluate[CDF[dist,x], (x,0,20],PlotStyle->[Thickness[0.008],RGBColor[0,0,1]]]t=Table[(x,PDF[dist,x]),(x,0,20)]:gg]=ListPlot[t,PlotStyle->PointSize[0.03],DisplayFunction->Identity];gg2=ListPlot[t,Joined->True,DisplayFunction->Identity];pl=Show[ggl,gg2,g1,DisplayFunction->$DisplayFunction,PlotRange->All]则分别输出二项分布的分布律图（图4.1）与分布函数图（图4.2）

2 基本语句 （1）BernoulliDistribution[p] 功能：伯努利分布（0-1 分布） （2）BinomiaDistribution[n,p] 功能：二项分布 （3）PoissonDistribution[ ] 功能：泊松分布 （4）NormalDistribution[ , ] 功能：正态分布 （5）UniformDistribution[min,max] 功能：均匀分布 （6）ExponentialDistribution[  ] 功能：指数分布 （7）Domain[dist] 功能：求离散型随机变量的所有可能的取值 （8）PDF[dist,x] 功能：计算分布 dist 在点 x 处的概率密度函数 （9）CDF[dist,x] 功能：计算 x 处的分布函数 （10）Quantile[dist,q] 功能：求 x 使 CDF[dist,x]=q，即 2 分位数 （11） True] 功能：用线段连接绘制的点，list 为数据点 3 典型实验 例 1（二项分布）利用 Mathematica 绘出二项分布 B(n, p) 的分布律与分布函数的图形， 通过观察图形，进一步理解二项分布的分布律与分布函数的性质。 解 设 n = 20， p = 0.2, 0 输入命令 n=20;p=0.2;dist=BinomialDistribution[n,p]; t=Table[{PDF[dist,x+1],x},{x,0,20}];g1=BarChart[t,PlotRange->All]; g2=Plot[Evaluate[CDF[dist,x]],{x,0,20},PlotStyle->{Thickness[0.008], RGBColor[0,0,1]}] t=Table[{x,PDF[dist,x]},{x,0,20}]; gg1=ListPlot[t,PlotStyle->PointSize[0.03],DisplayFunction->Identity]; gg2=ListPlot[t,Joined->True,DisplayFunction->Identity]; p1=Show[gg1,gg2,g1,DisplayFunction->$DisplayFunction,PlotRange->All] 则分别输出二项分布的分布律图（图 4.1）与分布函数图（图 4.2）

0.20.150.10.05101520图1.0.8.61430015图2从图1可见，概率PX=k)随着k的增加，先是随之增加，直到k=4达到最大值，随后单调减少。而从图2可见，分布函数F(x）的值实际上是X≤x的累积概率值。通过改变n与p的值，读者可以利用上述程序观察二项分布的分布律与分布函数随着与p而变化的各种情况，从而进一步加深对二项分布及其性质的理解。例2泊松分布的分布律散点图及其在点处的概率的计算解输入命令DiscretePlot[Evaluate[Table[PDF[PoissonDistribution[],k],,(5,10,20)], (k,0,30]],PlotRange->All,PlotMarkers->Automatic]运行结果0.150.100.0510P15253120图3输入命令PDF[PoissonDistribution[],k]le-"u,k≥0运行结果0,True例3泊松分布计算的具体例子

5 10 15 20 0.05 0.1 0.15 0.2 图 1 5 10 15 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 图 2 从图 1 可见，概率 P{X = k} 随着 k 的增加,先是随之增加，直到 k = 4 达到最大值，随 后单调减少。 而从图 2 可见，分布函数 F(x) 的值实际上是 X  x 的累积概率值。 通过改变 n 与 p 的值，读者可以利用上述程序观察二项分布的分布律与分布函数随 着 n 与 p 而变化的各种情况，从而进一步加深对二项分布及其性质的理解。 例 2 泊松分布的分布律散点图及其在点 x 处的概率的计算 解 输入命令 DiscretePlot[Evaluate[Table[PDF[PoissonDistribution[ ],k],{ ,{5,10,20}}],{k,0,30}],PlotRan ge->All,PlotMarkers->Automatic] 运行结果 图 3 输入命令 PDF[PoissonDistribution[ ],k] 运行结果      − True e u k k 0, , 0  例 3 泊松分布计算的具体例子

解输入命令dist=PoissonDistribution[5];Domain[dist]运行结果Range[0,0]输入命令PDF[dist,x][5*x≥0运行结果xles10True输入命令PDF[dist,2]25运行结果2es输入命令N[%]运行结果0.0842243输入命令CDFdist,3]//N运行结果0.265026输入命令CDF[dist,x][GammaRerul arized[1 +Floor[x],5]x≥0运行结果0True输入命令 Plot[CDF[dist,x],{x,0,24},PlotStyle->[Thickness[0.005],RGBColor[1,0,1]]]运行结果1.00.80.60.40.2输入命令Quantile[dist,0.265026]运行结果4输入命令BarChart[%,PlotRange->AI]RandomReal[dist,5]运行结果13,10,14,11,12)例4研究泊松分布某立交桥多年的统计表明，此处的交通事故发生率为0.0003，设某天有20000辆汽车通过此桥，求至少发生两次交通事故的概率。解输入命令dist=BinomialDistribution[20000,0.0003];1-CDF[dist,1]运行结果0.98266此题也可借助泊松分布来近似计算这里np=20000×0.0003=6输入命令dist=PoissonDistribution[6];1-CDF[dist,1]/N运行结果0.982649

解 输入命令 dist=PoissonDistribution[5]; Domain[dist] 运行结果 Range[0,  ] 输入命令 PDF[dist,x] 运行结果      True x x e x 0 0 ! 5 5 输入命令 PDF[dist,2] 运行结果 5 2 25 e 输入命令 N[%] 运行结果 0.0842243 输入命令 CDF[dist,3]//N 运行结果 0.265026 输入命令 CDF[dist,x] 运行结果    +  True x 0 GammaRerul arized[1 Floor[x],5 ] 0 输入命令 Plot[CDF[dist,x],{x,0,24},PlotStyle->{Thickness[0.005],RGBColor[1,0,1]}] 运行结果 5 10 15 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 输入命令 Quantile[dist,0.265026] 运行结果 4 输入命令 BarChart[%,PlotRange->All] RandomReal[dist,5] 运行结果 {13,10,14,11,12} 例 4 研究泊松分布 某立交桥多年的统计表明，此处的交通事故发生率为 0.0003，设某天有 20000 辆汽车 通过此桥，求至少发生两次交通事故的概率。 解 输入命令 dist= BinomialDistribution [20000,0.0003]; 1-CDF[dist,1] 运行结果 0.98266 此题也可借助泊松分布来近似计算 这里 np = 20000 0.0003 = 6 输入命令 dist=PoissonDistribution[6]; 1-CDF[dist,1]//N 运行结果 0.982649

例5正态分布的计算设X～N(-1.2")，试计算下列概率。(1) P(X2.8)解输入命令dist=NormalDistribution[-1,2];PDF[dist,x]_(x+1)21&运行结果se2/2元输入命令CDF[dist,2.44]运行结果0.957284输入命令1-(CDF[dist,2.8]-CDF[dist,-2.8]运行结果0.212777例6某地区18岁女青年的血压（收缩压，以mm-Hg计）服从N(110,122)。在该地区任选一个18岁的女青年，测量她的血压X。求P(XAxis]运行结果

例 5 正态分布的计算 设 ~ ( 1,2 ) 2 X N − ，试计算下列概率。 （1） P{X  2.44} （2） P{ X  2.8} 解 输入命令 dist=NormalDistribution[-1,2]; PDF[dist,x] 运行结果 8 ( 1) 2 2 2 1 + − x e  输入命令 CDF[dist,2.44] 运行结果 0.957284 输入命令 1-(CDF[dist,2.8]-CDF[dist,-2.8]) 运行结果 0.212777 例 6 某地区 18 岁女青年的血压（收缩压，以 mm-Hg 计）服从 N(110,122 )。在该地 区任选一个 18 岁的女青年，测量她的血压 X。求 P(X≤105)和 P(100Axis] 运行结果

7.0.20.1-22-4图5习题1.已知X ~N(8,0.5),求P(7<X<9)。2.设随机变量服从正态分布N(0,33)（1）求出对应的概率密度函数并画出对应的概率密度函数图形：（3）求随机变量<2的概率。3.某重点大学招收新生800人，按高考成绩从高分到低分依次录取，设报考该大学的考生共3000人，且考试成绩服从正态分布。已知这些考生中成绩在600分以上的有200人，在500分以下的有2075人，问该大学的录取最低分是多少？4.利用Mathematica绘出正态分布N(u,α）的概率密度曲线以及分布函数曲线，通过观察图形，进一步理解正态分布的概率密度与分布函数的性质。（1）固定α=1，取μ=-2,μ=0,μ=2，观察参数μ对图形的影响，（2）固定μ=0，取α=0.5,1,1.5,观察参数。对图形的影响

图 5 习题 1.已知 X ~ N(8,0.5) ，求 P{7  X  9}。 2.设随机变量  服从正态分布 N(0,32 )， （1）求出对应的概率密度函数,并画出对应的概率密度函数图形； （3）求随机变量 <2 的概率。 3.某重点大学招收新生 800 人，按高考成绩从高分到低分依次录取，设报考该大学的 考生共 3000 人，且考试成绩服从正态分布。已知这些考生中成绩在 600 分以上的有 200 人，在 500 分以下的有 2075 人，问该大学的录取最低分是多少？ 4.利用 Mathematica 绘出正态分布 ( , ) 2 N   的概率密度曲线以及分布函数曲线，通过观 察图形，进一步理解正态分布的概率密度与分布函数的性质。 （1）固定  = 1, 取  = −2, = 0, = 2, 观察参数  对图形的影响， （2）固定  = 0 ，取  = 0.5,1,1.5, 观察参数  对图形的影响，