《数值计算》课程教学资源（试卷习题，0903220310）第4章 数值积分与数值微分（习题）

第4章数值积分与数值微分习题41确定下列求积公式中的待定系数，使其具有尽可能高的代数精度，并确定其代数精度：(1) LJ(x)dx=AJ(-)+AJ(O)+AJC(2) f2" f(x)dx ~ AoF(0)+ Af(h)+ A (2h);(3) [" f(x)dx ~ A,f(a)+ Af(b)+ Af(a)(4) J" f(x)dx = Aof(O)+ BoJ(O)+ Af(h)+ B,f(h);2.确定下列求积公式中的待定系数，使其具有3阶代数精度：[ f(x)dx = A,f(O)+ Af(h)+ A (2h)+ A.f(3h)3.确定下列求积公式中的待定系数，使其具有4阶代数精度：" (x)dx= Af(-1)+ A,f(O)+ A(I)+ A.f'(-1)+ Asf'(I)4．计算积分e*dx，若用复化梯形公式，问区间应分为多少等份，才能保证计算结果有5位有效数字？5．利用9节点复化梯形公式、复化辛普森公式，取6位以上小数计算下列积分：n(1+) dx:号sinxdx(2)+xdx1n(1+ x)dx(3)(4)Jo1+x6．将区间[0,1]10等分，用复化梯形、复化辛普森公式计算积分：(1-e-r)dx7.用复化辛普森公式计算[f(x)dx的近拟值.f（x）的数据如下表所示：00. 1 0. 20. 30. 4 0. 50. 60. 70.84

1 第 4 章 数值积分与数值微分 习题 4 1．确定下列求积公式中的待定系数，使其具有尽可能高的代数精度，并确定其代数精 度： （1） 1 1 2 3 1 1 1 ( ) ( ) (0) ( ) 2 2 f x dx A f A f A f       ； （2） 2 0 1 2 0 ( ) (0) ( ) (2 ) h f x dx A f A f h A f h     ； （3） 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) b a f x dx A f a A f b A f a      （4） 0 0 1 1 0 ( ) (0) (0) ( ) ( ) h f x dx A f B f A f h B f h        ； 2.确定下列求积公式中的待定系数，使其具有 3 阶代数精度： 3 1 2 3 4 0 ( ) (0) ( ) (2 ) (3 ) h f x dx A f A f h A f h A f h      3.确定下列求积公式中的待定系数，使其具有 4 阶代数精度： 1 1 2 3 4 5 1 f x dx A f A f A f A f A f ( ) ( 1) (0) (1) ( 1) (1)            4. 计算积分 1 0 x e dx  ，若用复化梯形公式，问区间应分为多少等份，才能保证计算结 果有 5 位有效数字？ 5．利用 9 节点复化梯形公式、复化辛普森公式，取 6 位以上小数计算下列积分： （1） 2 0 sin x dx x  ； （2） 1 2 0 1 (1 ) 1 n x dx x    ； （3） 1 0 1 1 (1 ) n x dx x   （4） 1 0 1 dx  x  . 6. 将区间[0,1] 10 等分，用复化梯形、复化辛普森公式计算积分： 1 1 2 0 (1 )x I e dx     7.用复化辛普森公式计算 0.8 0 f x dx ( )  的近拟值.f（x）的数据如下表所示： x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.120.390.320.260.18f (x)0.250.270.350.158.取n=6，用复化梯形公式计算下列函数在区间[0,0.6]的弧长（弧长=/1+(f(x)°dx ):(1) f(x)=x2 -x3(2) (x)=xsinx9.取n=6，在区间[0,0.6]上，用复化辛普森公式计算下列曲线绕x轴旋转所得曲面的面积（面积="f(x)/1+(f(x))dx）：(1) f(x)=sinx(2) f(x)=1+x2(3) f(x)= x2-x3(4) f(x)=xsinx10.用复化梯形公式的递推公式求解第5题，并估计误差11.用龙贝格积分法求解第5题12.用近似公式T(h)计算，有如下误差估计公式I = T(h)+2h f"(x)+6ht f(4)(x)+12h° f(6)(5)试用理查森外推原理对该公式进行加速13.利用4节点（n=3）的高斯型求积公式求解第5题14．确定下列求积公式的系数，使其具有尽可能高的代数精度：[ x f(x)dxAof(x)或 Af(x)+ Af(x);(1)(2)(Vxf(x)dxAof(xo)或 Af(x)+Af(x2).2

2 f（x） 0.12 0.39 0.25 0.27 0.35 0.32 0.26 0.18 0.15 8. 取 n  6 ，用复化梯形公式计算下列函数在区间[0, 0.6] 的弧长 （弧长 2 1 ( ( )) b a   f x dx   ）： （1） 2 3 f x x x ( )   （2） f x x x ( ) sin  9. 取 n  6 ，在区间[0,0.6]上，用复化辛普森公式计算下列曲线绕 x 轴旋转所得曲 面的面积（面积 2 ( ) 1 ( ( )) b a   f x f x dx   ）： （1） f x x ( ) sin  （2） 2 f x x ( ) 1   （3） 2 3 f x x x ( )   （4） 2 f x x x ( ) sin  10．用复化梯形公式的递推公式求解第 5 题，并估计误差. 11．用龙贝格积分法求解第 5 题. 12.用近似公式T h( ) 计算 I ，有如下误差估计公式 2 4 (4) 6 (6) 0 0 I T h h f x h f x h f     ( ) 2 ( ) 6 ( ) 12 ( )   试用理查森外推原理对该公式进行加速. 13．利用 4 节点（n＝3）的高斯型求积公式求解第 5 题. 14．确定下列求积公式的系数，使其具有尽可能高的代数精度： （1） 1 2 0 0 1 x f x dx A f x ( ) ( )    或 1 1 2 2 A f x A f x ( ) ( )  ； （2） 1 0 0 0 x f x dx A f x ( ) ( )   或 1 1 2 2 A f x A f x ( ) ( ) 

15.三次勒让德多项式的根=-V3/5，=0，=V3/5，确定常数,a2,，使得以下近似积分公式的代数精度尽可能的高" f(x)dx=af(x)+af(x)+asf(x)16.求三个互异节点xo,x，x使求积公式 f(x)dx~c[f(x)+ f(x)+ f(x,)具有3阶代数精度17.给定下列数据：x0.010. 020.030.04f(x)0.0210.0240.0160. 012分别用向前差商公式、向后差商公式和中心差商公式计算(0.02)的近似值18.设f(x)=x3，对h=0.1和h=0.01，用中心差商公式计算f(2)的近似值3

3 15. 三次勒让德多项式的根 1 x   3 / 5 ， 2 x  0 ， 3 x  3 / 5 ，确定常数 1 2 3 a a a , , ， 使得以下近似积分公式的代数精度尽可能的高. 1 1 1 2 2 3 3 1 f x dx a f x a f x a f x ( ) ( ) ( ) ( )      16. 求三个互异节点 0 1 2 x x x , , 使求积公式 1 0 1 2 1 f x dx c f x f x f x ( ) [ ( ) ( ) ( )]      具有 3 阶代数精度. 17. 给定下列数据： x 0.01 0.02 0.03 0.04 f x( ) 0.021 0.024 0.016 0.012 分别用向前差商公式、向后差商公式和中心差商公式计算 f (0.02) 的近似值. 18．设 3 f x x ( )  ，对h  0.1和h  0.01，用中心差商公式计算 f (2) 的近似值