《数值计算》课程教学课件（讲稿）第8章 常微分方程的数值解法（1/2）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返圆

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第八章常微分方程的数值解法第一节问题的提出第二节欧拉法第三节龙格-库塔法第四节单步法的收敛性与稳定性第五节线性多步法第六节一阶方程组和高阶方程第七节边值问题的数值解法上页下页返圆

上页 下页 返回 第八章 常微分方程的数值解法 第一节 问题的提出 第二节 欧拉法 第三节 龙格-库塔法 第四节 单步法的收敛性与稳定性 第五节 线性多步法 第六节 一阶方程组和高阶方程 第七节 边值问题的数值解法

81问题的提出蹦极运动是一种挑战身体极限的运动，蹦极运动是否安全就显得很重要。下面我们来看看蹦极运动的仿真问题由于蹦极者在下落的过程中，几乎处于失重状态。按照牛顿运动规律，自由下落的物体由下式确定mx"(t) = mg - 2,x'(t) - 22 |x(t)|x'(t)如果人体系在一根弹性常数为k的弹性绳索上，定义绳索下端的初始位置为0，则其对落体位置的影响为-kx,x ≥0μ(x)=0,x<0因此，整个蹦极系统的数学模型为mx(t) = mg + μu(x(t))- a x'(t) - 2 x'(t)x'(t)上页这是一个典型的具有连续状态的非线性系统。下页返圆

上页 下页 返回 §1 问题的提出 蹦极运动是一种挑战身体极限的运动， 蹦极运动是否安全 就显得很重要。 下面我们来看看蹦极运动的仿真问题。 由于蹦极者在下落的过程中，几乎处于失重状态。 按照牛顿运动规律，自由下落的物体由下式确定 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 mx  t  mg   x  t   x  t x  t 如果人体系在一根弹性常数为k的弹性绳索上， 定义绳索下端的初始位置为0， 则其对落体位置的影响为 , 0 ( ) 0 , 0 kx x x x        因此，整个蹦极系统的数学模型为 ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 1 2 mx  t  mg   x t   x  t   x  t x  t 这是一个典型的具有连续状态的非线性系统

设桥梁距离地面为60m，蹦极者起始速度为0，蹦极者的起始位置为绳索的长度30m，其余的参数k=30, ==1m=70kg,g=9.8m/s2;初始条件：x(0) =-30, x'(0)= 0x(t)求运动规律问：系统有无问题？这是一个二阶非线性常微分方程，可转化为一阶方程组求解设 i=x(t)、2=x(t)，问题转化为求解一阶方程组yi= y2=(mg + (1)-2 -v2l2)m上页下页返回

上页 下页 返回 设桥梁距离地面为60m， 蹦极者起始速度为0， 蹦极者的起始位置为绳索的长度30m， 其余的参数： 1 1  2  m=70kg, 初始条件： x(0)  30, x (0)  0 求运动规律 x(t) 问：系统有无问题？ 这是一个二阶非线性常微分方程，可转化为一阶方程组求解。 设 ( ) 、 ， 1 y  x t ( ) 2 y  x  t 问题转化为求解一阶方程组            ( ( ) ) 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 mg y y y y m y y y    k=30, g=9.8m/s2；

许多象这样的实际问题，其数学模型都是微分方程在工程和科学问题中，经常需要求解微分方程。只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解而在实际问题中的微分方程，往往无法求出解析解。在高等数学中，我们见过以下常微分方程：a≤x≤by'=f(x,y)y(a)= yoa≤x<≤bJ"=f(x,y,y')y(a) = yo , y'(a) =α称为初值问题。上页下页返圆

上页 下页 返回 在工程和科学问题中，经常需要求解微分方程。 只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解。 而在实际问题中的微分方程，往往无法求出解析解。 在高等数学中，我们见过以下常微分方程：         0 ( ) ( , ) y a y y f x y a x b            ( ) , ( )  ( , , ) y a y0 y a y f x y y a x b 称为初值问题。 许多象这样的实际问题， 其数学模型都是微分方程

a≤x≤by" = f(x,y,y')y(a)= yo, y(b) = yn称为边值问题。另外，在实际应用中还经常需要求解常微分方程组：y' = fi(x,Ji, 2)yi(xo) = y1oy2 = f(x,J1, 2) yz(xo) = y20这里主要研究一阶常微分方程初值问题的数值解法。对高阶常微分方程初值问题、常微分方程组问题、边值问题，这里只作简单介绍。我们首先介绍一阶常微分方程初值问题的解的上页存在条件。下页返圆

上页 下页 返回           n y a y y b y y f x y y a x b ( ) , ( ) ( , , ) 0 称为边值问题。          2 2 1 2 2 0 20 1 1 1 2 1 0 10 ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) y f x y y y x y y f x y y y x y 另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组: 这里主要研究一阶常微分方程初值问题的数值解法。 我们首先介绍一阶常微分方程初值问题的解的 存在条件。 对高阶常微分方程初值问题、常微分方程组问题、 边值问题，这里只作简单介绍

考虑一阶常微分方程的初值问题：dy= f(x,y) xe[a,b]dxy(a) = yo只要f(x,y)在[a,b]×Rl上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使I f(x,y)-f(x,y2)/≤LIy -y2 I对任意定义在[a,b]上的yi(x)和y2(x)都成立,则上述初值问题存在唯一解。要计算出解函数y(x)在一系列节点a=xo<xi<...<x=b处的近似值y; ~ y(x,)(i=l,...,n)上页下页而y(i=1,2,,n)就是一阶初值问题的数值解。返圆

上页 下页 返回  考虑一阶常微分方程的初值问题 :        0 ( ) ( , ) [ , ] y a y f x y x a b dx dy 只要 f (x, y) 在[a, b]  R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件， | ( , ) ( , )| | | 1 2 1 2 f x y  f x y  L y  y 要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<.< xn= b 处的近似值 y y(x ) (i 1, . ,n) i  i  对任意定义在 [a, b] 上的 y1 (x) 和 y2 (x) 都成立， 则上述初值问题存在唯一解。 而yi (i  1,2,  ,n)就是一阶初值问题的数值解。 即存在与 x, y 无关的常数L 使

S2 欧拉法一．欧拉法和向后欧拉法为了讨论方便，假设以下节点为等距节点a=x<xi<x,<..<x,=bb-ah=，Xk=a+khn对于一阶常微分方程初值问题a≤x≤by'= f(x,y)(a) = yo在下列子区间上分别应用两点数值微分公式hy(xo)={[y(x;)- (x0)]-y"()-2h-2-h(x)=()-(0)+上页y"()h下页返圆

上页 下页 返回 §2 欧拉法 一 . 欧拉法和向后欧拉法         0 ( ) ( , ) y a y y f x y a x b 对于一阶常微分方程初值问题 在下列子区间上分别应用两点数值微分公式 a  x0  x1  x2  xn  b 为了讨论方便,假设以下节点为等距节点 x a kh n b a h k     , ( ) 2 [ ( ) ( )] 1 ( ) 0 1 0 y  h y x y x h y x     ( ) 2 [ ( ) ( )] 1 ( ) 1 1 0 y  h y x y x h y x    

y(a)=-[v(xi)-(x0)[a,x,]-y"(5.)hy(x)==[v(x)-(x0) ++(5)T[,x1 (x)=(x)-(x)] -(5)hy(x)==[(x2)-(x)y"(s5)+[x,x1 (x)=→[v(x+)-(x)]-(5)()=b()-(x)+(5)上页下页返回

上页 下页 返回  ( ) ( ) 1 ( ) 1 x0 y x y h y a   ( ) 2  0 y h [ , ]   a x1  ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 x0 y x y h y x   ( ) 2  0 y h    ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 x1 y x y h y x   ( ) 2  1 y h   [ , ] x1 x2  ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 x1 y x y h y x   ( ) 2  1 y h    ( ) ( ) 1 ( ) i i 1 xi y x y h y x    ( ) 2 i y h [ , ]    xi xi1  ( ) ( ) 1 ( ) i 1 i 1 xi y x y h y x     ( ) 2 i y h   

由每组的前一半可得h2y"(30)y(x) = y(x) +hy'(a) +-2hy"()y(x2)=y(x)+hy(x)+12h-2i=0,1,...,n-1y"(5.)y(xi+1) = y(x,)+hy'(x,十记i=0,1,...,n-1Yi+ = y; +hf(x,, y.)称为求解一阶常微分方程初值问题的欧拉公式。y'(x )= f(x;,yi)y(Xi+l) ~ yi+1其中y; = y(x,)h?h?记y"(5.)ei+i(h)y"(x,)222上页称为欧拉公式的误差项。下页返回

上页 下页 返回 由每组的前一半可得 ( ) ( ) ( ) y x1  y x0  hy a ( ) 2 0 2 y  h   ( ) ( ) ( ) 2 1 x1 y x  y x  hy ( ) 2 1 2 y  h   ( ) ( ) ( ) i 1 i xi y x  y x  hy  ( ) 2 2 i y h     i  0,1,  ,n1 ( , ) i 1 i i i y  y  hf x y 记  ( ) i xi y  y i  0,1,  ,n1 其中 1 1 ( ) i  i y x y ( ) ( , ) i i i y x  f x y 称为求解一阶常微分方程初值问题的欧拉公式。 ( ) 2 ( ) 2 i 1 i y h e  h    ( ) 2 2 xi y h   称为欧拉公式的误差项。 记