《数值计算》课程教学课件（讲稿）第2章 插值法（3/5）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返园

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第二章插值法第一节问题的提出第二节拉格朗日插值第三节牛顿插值第四节埃尔米特插值第五节分段低次插值第六节三次样条插值上页下页返园

上页 下页 返回 第二章 插值法 第一节 问题的提出 第二节 拉格朗日插值 第三节 牛顿插值 第四节 埃尔米特插值 第五节 分段低次插值 第六节 三次样条插值

复习：3线性插值x-Xix-xoL,(x) = yo+yiXo -XiXi-Xo线性插值基函数x-Xix-xol.(x) =l(x) =o-XiXi-xo在节点满足：l(x)=1, l,(x)=0; l(x)=0, l(x)=1.上页下页返园

上页 下页 返回 复习： ， 0 1 1 0 ( ) x x x x l x    1 0 0 1 0 1 1 1 0 ( ) x x x x y x x x x L x y         在节点满足： 1 0 0 1 ( ) x x x x l x    ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1. l 0 x0  ，l 0 x1  ；l 1 x0  ，l 1 x1  线性插值基函数: 线性插值

84埃尔米特插值在实际应用中不仅要求在插值节点上函数值等，而且还要求节点上导数值，有的甚至要求高得数值相等，满足这种要求的插值多颂式称为埃尔米特（Hermite）插值多项式。一、两点三次埃尔米特插值先考虑只有两个节点的插值问题设f(x)在节点xo,x,处的函数值为yo,Ji在节点x,x,处的的一阶导数值为mo,m因有4个独立条件，所以可构造不超过三插值多项式。上页下页返园

上页 下页 返回 §4 埃尔米特插值 多项式。 满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（ ）插值 还要求节点上导数值相等，有的甚至要求高阶导数值相等， 在实际应用中不仅要求在插值节点上函数值相等 而 且 Hermite , 先考虑只有两个节点的插值问题 0 1 0 1 设f (x)在节点x , x 处的函数值为y , y 0 1 0 1 在节点x , x 处的的一阶导数值为m ,m 一、两点三次埃尔米特插值 因有4个独立条件，所以可构造不超过三次的插值多项式

所以两个节点最高可以构造3次Hermite插值多项式H(x）H(x)应满足插值条件H,(x) = yoH,(x)= y1H'(x.)= moH'(x)=m确定两点三次Hermite多项式H(x）的方法：(1)设H,(x)=a+a,x+a,x2+agx,在由插值条件确定;(2)按Lagrange插值函数的方法先找出相应的插值基函数，再由所给数据作线组合。上页下页返回

上页 下页 返回 确定两点三次Hermite多项式H3 (x)的方法： H3 (x)应满足插值条件 3 0 0 H (x )  y 3 1 1 H (x )  y 3 0 0 H(x )  m 3 1 1 H(x )  m (1)设H3 (x)  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3 ,在由插值条件确定aj ； 数，再由所给数据作线性组合。 (2)按Lagrange插值函数的方法先找出相应的插值基函 , 3 ( ) 所以 两个节点最高可以构造 次Hermite插值多项式H3 x

H,(x)应用四个插值基函数表示设H,(x)的插值基函数为h,(x),i=0,1,2,3H,(x)=a.h,(x)+a,h(x)+a,h(x)+a,h(x)希望插值系数与Lagrange插值一样简单重新假设H(x) = yoαo(x)+ Jiα,(x)+ moβ,(x)+mβ(x)其中α(x)、α(x)、β(x)、β,(x)为插值基函数。H'(x)= yoα(x) + yiα'(x)+moβ(x)+ m,β'(x)上页下页返圆

上页 下页 返回 H3 (x)应用四个插值基函数表示 设H3 (x)的插值基函数为hi (x),i  0,1,2,3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H3 x  a0 h0 x  a1 h1 x  a2 h2 x  a3 h3 x 希望插值系数与Lagrange插值一样简单 重新假设 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H3 x  y0  0 x  y1 1 x  m0  0 x  m1 1 x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H3  x  y0  0  x  y1 1  x  m0  0  x  m1 1  x 其 中 0 (x)、1 (x)、 0 (x)、1 (x)为插值基函数

插值基函数α(x)α(x)、β.(x)、β,(x)满足条件：α(x)= 00α(x)= (1a(x)=α(x)=(α'(x) = 0α;(x) = 0α(x)=1α,(x)= 0β(x)=1 β(x)=0β,(x)= 0β(xo)= 0β(x)=0β(x)= 0B(x)=1β(x)= 0可假设可知x是α(x）的二重零点，α,(x) =(x-x)(ax+b)由α(x)=1α(x)= 022xo1上页b=可得a=十2(x-x)下页(xo -x)(xo -x)返圆

上页 下页 返回  0 ( x 0 )  1  0 ( x 0 )  0  0 ( x 0 )  1  0 ( x 1 )  0 1 ( x 0 )  0 1 ( x 1 )  1  0 ( x 1 )  0  1 ( x 0 )  0 1 ( x 1 )  0  0 ( x 0 )  0  0 ( x 1 )  0 1 ( x 0 )  0 1 ( x 1 )  0  0 ( x 1 )  0  1 ( x 0 )  0 1 ( x 1 )  1 可知 x 1 是  0 ( x )的二重零点，可假设 ( ) ( ) ( ) 2 0 x  x  x 1 ax  b 由  0 ( x 0 )  1  0 ( x 0 )  0 插值基函数 0 (x)、1 (x)、 0 (x)、1 (x)满足条件： 可得 3 0 1 ( ) 2 x x a    3 0 1 0 2 0 1 ( ) 2 ( ) 1 x xx x x b    

α(x)=(x-x)(ax+b)2x2xo=(x-x)(x -x,)3(x -x)3(x-x)2xo(x-x)2xLagrange1+插值基函(x-x)Xo-XiXo-Xi数X-Xix-x1+2=(1+2l (x))·l(x)(Xo-x)Xi-xoX-Xix-xo即αo(x)=(1+2l,(x)·(x) =| 1+2X.-xx,-x上页下页返园

上页 下页 返回 ( ) ( ) ( ) 2 0 x  x  x 1 ax  b 2 1  ( x  x )    3 0 1 ( ) 2 x xx      3 0 1 0 2 0 1 ( ) 2 ( ) 1 x xx x x 2 0 1 2 1 ( ) ( ) x x x x     0 1 2 x xx    0 1 2 0 1 x x x      1 00 1 2 x x x x 2 0 11    x x x x (1 2 ( )) ( ) 2   l1 x l0 x Lagrange 插值基函 数 ( )  0 x      1 00 1 2 x x x x 2 0 11    x x x x (1 2 ( )) ( ) 2 即   l1 x  l 0 x

类似可得x-x1+2αi(x) =(1+21,(x)).l(x)=1x, -x.x-xx-xiβ(x)=(x-x)l(x)=(x-xo)x-xoβ(x)=(x-xi)l(x)=(x-x,)x, -xo将以上结果代入H,(x)= yoαo(x)+ yiαi(x)+moβ(x)+ mβ(x)上页下页返圆

上页 下页 返回 ( ) 1 x (1 2 ( )) ( ) 2   l 0 x l 1 x 类似可得 ( )  0 x ( ) ( ) 2  x  x0 l 0 x ( ) 1 x ( ) ( ) 2  x  x1  l 1 x             0 1 1 1 2 x x x x 2 1 0 0           x x x x    x  x0 2 0 1 1           x x x x 2 1 0 0           x x x x    x  x1 将以上结果代入 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H3 x  y0  0 x  y1 1 x  m0  0 x  m1 1 x

得两个节点的三次Hermite插值公式H(x)= yoαo(x)+ yiα,(x)+moβ,(x)+mβ,(x)= yo(1+21,(x)).l(x) + yi(1+2l.(x)).l(x)+m(x-x).l,(x+m(x-x).l(x)(+)()(2)1+2儿+yi=yoX,-xx,-x.x-xox-XI+ m(x - xo)+m(x-x.)x, -xoXo-x上页下页返圆

上页 下页 返回 得两个节点的三次Hermite插值公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H3 x  y0  0 x  y1 1 x  m0  0 x  m1 1 x (1 2 ( )) ( ) 2  y1  l 0 x l 1 x ( ) ( ) 2  m0 x  x0 l 0 x ( ) ( ) 2  m1 x  x1 l 1 x (1 2 ( )) ( ) 2  y0  l 1 x l 0 x             0 1 1 1 1 2 x x x x y 2 1 0 0           x x x x    m0 x  x0 2 0 1 1           x x x x 2 1 0 0           x x x x    m1 x  x1             1 0 0 0 1 2 x x x x y 2 0 1 1           x x x x