《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第六章 定积分的应用 第四节 平面曲线的弧长

第四节平面曲线的弧长一、平面曲线弧长的概念二、直角坐标情形三、参数方程情形四、极坐标情形思考题五、小结

一、平面曲线弧长的概念 二、直角坐标情形 三、参数方程情形 四、极坐标情形 五、小结 思考题 第四节 平面曲线的弧长

高等数学一、平面曲线弧长的概念(arclength of a curve)设A、B是曲线弧上的两MMn-l个端点，在弧上插入分点B=M,MA= Mo,M.,..M;A=M...",Mn-1,M, = B并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时上页n此折线的长IMi-,M|的极限存在，则称此极限为下页返回i=1曲线弧AB的弧长

下页 返回 上页 o x y A = M0 M1 B = Mn M2 Mn−1 设A、B是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点 M M B A M M M n n i = = − , , , , , 1 0 1   并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长 | | 1  1 = − n i Mi Mi 的极限存在，则称此极限为 曲线弧AB的弧长. 一、平面曲线弧长的概念 (arc length of a curve)

高等数学二、直角坐标情形设曲线弧为y=f(x)V(a≤x≤b)，其中f(x)在[a,bl上有一阶连续导数dy取积分变量为x，在[a,b]上任取小区间[x,x+dx]axx+dxb以对应小切线段的长代替小弧段的长上页小切线段的长/(dx)+(dy)=/1+y"dx下页弧长元素ds=1+ydx 弧长 s={"V1+ydx

下页 返回 上页 设曲线弧为y = f (x) (a  x  b)，其中 f (x) 在[a,b]上有一阶连续导数 o x y a x x + dx b 取积分变量为x ，在[a,b] 上任取小区间[x, x + dx]， 以对应小切线段的长代替小弧段的长  dy 小切线段的长 2 2 (dx) + (dy) y dx 2 = 1+  弧长元素 ds y dx 2 = 1+  弧长 1 . 2 s y dx b a = +  二、直角坐标情形

高等数学23e例1计算曲线y2上相应于x从a到b的一-3x=段弧的长度解 y'=x,.. ds = 1+(x)dx= ~1+ xdx,所求弧长为上页2下页= ["~/1+ xdx =[(1+b) -(1+a))]2返回

下页 返回 上页 例 1 计算曲线 23 32 y = x 上相应于x从a 到 b的一 段弧的长度. 解 , 21  y = x ds x dx 2 1 ( )21  = + = 1 + xdx, 所求弧长为 s xdx b a = 1 + [(1 ) (1 ) ]. 32 23 23 = + b − + a a b

高等数学例2计算曲线y=/sinde的弧长(0≤x≤n元)nvx解y=nsinsinnns=f'1+y"dx =1+sin=dxnx=ntV1+sint.ndt1t元[ cos=+2sin+dsincOs上页221下页返回n+cosdtsin=4n.J022

下页 返回 上页 例 2 计算曲线y n  d nx  = 0 sin 的弧长(0  x  n). 解 n n x y n 1  = sin  sin , nx = s y dx b a = + 2 1 dx n n x   = + 0 1 sin x = nt + t  ndt  0 1 sin dt t t t t n   +    +   = 0 2 2 2 cos 2 2sin 2 cos 2 sin dt t t n    = + 0 2 cos 2 sin = 4 n

高等数学三、参数方程情形(parametricequations)x =p(t)曲线弧为(α≤t≤β)(y=y(t)"其中β(t),y(t)在[α,β]上具有连续导数ds = /(dx) +(dy) = /[p"(t)+ y"(t)](dt)= /β" (t) + y2 (t)dt上页下页返回弧长 s =["p"(t)+y"(t)dt

下页 返回 上页 曲线弧为 , ( ) ( )    = = y t x t   (  t   ) 其中(t), (t)在[,  ]上具有连续导数. 2 2 ds = (dx) + (dy) 2 2 2 = [ (t) + (t)](dt) (t) (t)dt 2 2 =  + 弧长 ( ) ( ) . 2 2 s t t dt  =  +      三、参数方程情形 (parametric equations)

高等数学221例3求星形线x3+3=α3(a>0)的全长(theastroid)x=acos't(0≤t≤2元)解星形线的参数方程为y=asin3t根据对称性 s=4s第一象限部分的弧长=4f, (x) +(y)'dt =4f,:3asin tcos tdt上页下页= 6a.返回

下页 返回 上页 例 3 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a  0)的全长. 解 星形线的参数方程为    = = y a t x a t 3 3 sin cos (0  t  2) 根据对称性 4 1 s = s (x ) ( y ) dt   =  +  2 0 2 2 4 a t tdt   = 2 0 4 3 sin cos = 6a. 第一象限部分的弧长 (the astroid)

高等数学例4证明正弦线y=asinx（0≤x≤2元）的弧长x =cost等于椭圆（0≤t≤2元）的周长y=V1+a?sint证设正弦线的弧长等于s1+ y"dx=[2ST =[2元V1+a’cos*xdx上页V1+ a’ cos? xdx,:2下页返回设椭圆的周长为S

下页 返回 上页 例 4 证明正弦线y = a sin x (0  x  2)的弧长 等于椭圆 = + = y a t x t 1 sin cos 2 (0  t  2)的周长. 证 设正弦线的弧长等于 1s s y dx   = +  20 2 1 1 a xdx   = + 20 2 2 1 cos 设椭圆的周长为 2 s 2 1 cos , 0 2 2 a xdx   = +

高等数学S =f* /(x) +(y)dt,根据椭圆的对称性知S2 = 2/" /(sin t) +(1 + acos t)"dt=2]"/1+a' cos’ tdt= 2]" /1+a’ cos’ xdx = S1,上页下页故原结论成立返回

下页 返回 上页 ( ) ( ) , 2 0 2 2 2 s x y dt   =  +  根据椭圆的对称性知 s ( t) ( a )( t) dt   = + + 0 2 2 2 2 2 sin 1 cos a xdx   = + 0 2 2 2 1 cos , 1 = s 故原结论成立. a tdt   = + 0 2 2 2 1 cos

高等数学四、极坐标情形曲线弧为r=r(①)(α≤≤β)其中β(の)在[α,β]上具有连续导数x = r(0)cos0(α≤≤β)y =r(0)sin:. ds = /(dx)2 + (dy)2 = /r2(0)+ r"2(0)d0,上页下页返回弧长 s=[r(0)+r"(0)d0

下页 返回 上页 曲线弧为 r = r( ) (    ) 其中( )在[,  ]上具有连续导数.    = =     ( )sin ( )cos y r x r  (    ) 2 2 ds = (dx) + (dy) ( ) ( ) , 2 2 = r  + r  d 弧长 ( ) ( ) . 2 2      s r r d  = +  四、极坐标情形