《高等数学》课程教学实验指导（上）

第一章1.当复合函数(fog)(x)=flg(x)的中间函数g(x)发生变化时，复合函数的图形也随之变形，试用计算机作出下列图形，并与y=sinx的图形比较之：(1)y=sinVx，显示区域为[0,400]×[-1.5,1.5];(2) y=sin x2,Ja(x)=sin x,f(x)=sin x在区间[0，400]比较sinx,sin，在区间[0，15]比较sinx,sinx2；在区间[-5，5]比较sin x, sin x?.程序如下：Clear["f*"]f1[x ]:=Sin[x]f2[x ]:=Sin[Sqrt[x]f3[x ]:=Sin[x^2]Plot[(f1[x],f2[x]),(x,0,400),PlotRange->(-1.5,1.5)]Plot[(f2[x],f3[x)),(x,0,15),PlotRange->(-1.5,1.5]]Plot[(f1[x],f3[x]),(x,-5,5),PlotRange->(-1.5,1.5)]运动结果如图1-1、1-1、1-3所示：1.5r0.5-0.51-1.5图 1-11.510.50.511.5图 1-2

第一章 1.当复合函数 ( fog)(x) = f lg( x) 的中间函数 g(x) 发生变化时，复合函数的图形也随之 变形，试用计算机作出下列图形，并与 y = sin x 的图形比较之： （1） y = sin x ，显示区域为 [0,400][−1.5,1.5] ； （2） 2 y = sin x ， f (x) sin x 2 = ， 2 3 f (x) = sin x 在区间[0，400]比较 sin x,sin x ，在区间[0，15]比较 2 sin x,sin x ；在区间[-5，5]比较 2 sin x,sin x 。 程序如下： Clear["f*"] f1[x_]:=Sin[x] f2[x_]:=Sin[Sqrt[x]] f3[x_]:=Sin[x^2] Plot[{f1[x],f2[x]},{x,0,400},PlotRange->{-1.5,1.5}] Plot[{f2[x],f3[x]},{x,0,15},PlotRange->{-1.5,1.5}] Plot[{f1[x],f3[x]},{x,-5,5},PlotRange->{-1.5,1.5}] 运动结果如图 1-1、1-1、1-3 所示： 图 1-1 图 1-2

-1.5图 1-3其中：图1-1为sinx,sinx比较图，sinx比sinx振荡快图1-2为sinxsinx比较图，sinx?比sinx振荡快图1-3为sinx，sinx?比较图，sinx比sinx振荡快读者可以选择其它显示区域，运行之。2.利用计算机作函数的图形时必须注意选择好图形的显示区域，若选得不好，则显示的图形不能充分表示出所求作的图形的特点，甚至可能因机器误差产生变形，得出错误的图形，试用Mathematica在计算机上作下列图形：（1）y=x3-49x，显示区域分别取作：（1)[-10，10]×[-10，10]（II)[-10，10]×[-100，100]：（IⅡI）[-10，10]×[-200，200]，试对显示图形进行比较，哪一个能充分地反映所求的图形的特点？（2）y=sin50x，显示区域分别取作：（1）[-12，12]×[-1.5，1.5]（I）[-9，9]×[-1.5，1.5]：（IⅢI）[-0.25，0.25]×[-1.5，1.5]，试对显示图形进行比较，哪一个显示了真实的函数图形？解按题要求程序如上：Clear["f*"]f1[x ]:=x^3-49 xf2[x_:=Sin[50 x]Plot[f1[x], (x,-10,10],PlotRange->{-10,10]]Plot[f1[x], (x,-10,10),PlotRange->(-100,100)]Plot[f1[x], (x,-10,10],PlotRange->{-200,200]]Plot[f2[x], (x,-12,12),PlotRange->(-1.5,1.5)]Plot[f2[x], (x,-9,9),PlotRange->(-1.5,1.5)]Plot[f2[x], (x,-0.25,0.25),PlotRange->(-1.5,1.5)]运行结果如图1-4~1-9共6个图形所示

图 1-3 其中： 图 1-1 为 sin x,sin x 比较图， sin x 比 sin x 振荡快 图 1-2 为 2 sin x,sin x 比较图， 2 sin x 比 sin x 振荡快 图 1-3 为 sin x ， 2 sin x 比较图， 2 sin x 比 sin x 振荡快 读者可以选择其它显示区域，运行之。 2.利用计算机作函数的图形时必须注意选择好图形的显示区域，若选得不好，则显示 的图形不能充分表示出所求作的图形的特点，甚至可能因机器误差产生变形，得出错误的 图形，试用 Mathematica 在计算机上作下列图形： （Ⅰ） y x 49x 3 = − ，显示区域分别取作：（1）[-10，10]×[-10，10] （Ⅱ）[-10，10]×[-100， 100]；（Ⅲ）[-10，10]×[-200，200]，试对显示图形进行比较，哪一个能充分地反映所求的 图形的特点？ （2） y = sin 50x ，显示区域分别取作：（Ⅰ）[-12，12]×[-1.5，1.5]；（Ⅱ）[-9，9]×[-1.5， 1.5]；（Ⅲ）[-0.25，0.25]×[-1.5，1.5]，试对显示图形进行比较，哪一个显示了真实的函数 图形？ 解 按题要求程序如上： Clear[“f*”] f1[x_]:=x^3-49 x f2[x_]:=Sin[50 x] Plot[f1[x],{x,-10,10},PlotRange->{-10,10}] Plot[f1[x],{x,-10,10},PlotRange->{-100,100}] Plot[f1[x],{x,-10,10},PlotRange->{-200,200}] Plot[f2[x],{x,-12,12},PlotRange->{-1.5,1.5}] Plot[f2[x],{x,-9,9},PlotRange->{-1.5,1.5}] Plot[f2[x],{x,-0.25,0.25},PlotRange->{-1.5,1.5}] 运行结果如图 1-4~1-9 共 6 个图形所示

1017.52.5510-1052.5-5-7.5-10100755025-10-5510-25-50-75-10020015010050-10-551050-100-150-2001.5-10

1.11.51.5所以y=x3-49x，显示区域[-10，10]×[-200，200]最好；对于y=sin50x，显示区域[-0.25，0.25]×[-1.5，1.5]最好。3.利用Mathematica作出函数y=(1+1/x)*+1（1≤x≤100）的图形，观察当x→+0时y的变化趋势，并求出极限lim(1+1/x)*。解：程序如下：Clear["f*"]f[x 1:=(1+1/x)(1+x)Plot[f[x], (x,1,100]]Limit[f[x],x->Infinity]此程序运行后输出两个结果：4h3.83.63.43.2402060801002.8一个图形如图1-10所示，。二个结果为大写E，即数学常量e。tan4x4.（1）利用Mathematica作函数f(x)=的图形，并对图形与y轴的交点处作局x

所以 y x 49x 3 = − ，显示区域[-10，10]×[-200，200]最好； 对于 y = sin 50x ，显示区域[-0.25，0.25]×[-1.5，1.5]最好。 3.利用 Mathematica 作出函数 1 (1 1/ ) + = + x y x （1≤x≤100）的图形，观察当 x → + 时 y 的变化趋势，并求出极限 1 lim (1 1/ ) + →+ + x x x 。 解：程序如下： Clear[“f*”] f[x_]:=(1+1/x)^(1+x) Plot[f[x],{x,1,100}] Limit[f[x],x->Infinity] 此程序运行后输出两个结果： 一个图形如图 1-10 所示，一个结果为大写 E，即数学常量 e。 4.（1）利用 Mathematica 作函数 x x f x tan 4 ( ) = 的图形，并对图形与 y 轴的交点处作局

部放大，估计limf(x）。（2）利用Mathematica作函数g(x）=sin(元/x）的图形，选显示区域[-1，1]X[-1，1]，对坐标原点处作局部放大，观察x→0时，g(x)的变化情况。tan4x（1）分别让x在区间[-2，2]和（-0.1，0.1）作函数f(x)=的图形，程序如下：解xClear["*""g*"]f[x_]:=Tan[4 x]/xPlot[f[x], (x,-2,2)]Plot[f[x], (x,-0.1,0.1)]运行结果如图1-11和图1-12所示，即limf(x）=4。x-→a13020门1-10-204.24.154.14.050.10.050.050.1“的图形，程序如下：（2）分别让x在区间（-1，1）和（-0.1，0.1）作函数g(x)=sinxClear["f*", “"g*"]g[x ]:=S in[Pi/x]Plot[g[x], (x,-1,1),PlotRange->{-1,1)]Plot[g[x], (x,-0.1,0.1),PlotRange->(-1,1)]运行结果如图1-13和图1-14所示

部放大，估计 lim f (x) x→ 。 （2）利用 Mathematica 作函数 g(x) = sin( / x) 的图形，选显示区域[-1，1]×[-1，1]，对坐 标原点处作局部放大，观察 x →0 时， g(x) 的变化情况。 解 （1）分别让 x 在区间[-2，2]和（-0.1，0.1）作函数 x x f x tan 4 ( ) = 的图形，程序如下： Clear[“f*”,”g*”] f[x_]:=Tan[4 x]/x Plot[f[x],{x,-2,2}] Plot[f[x],{x,-0.1,0.1}] 运行结果如图 1-11 和图 1-12 所示，即 lim ( ) = 4 → f x x 。 （2）分别让 x 在区间（-1，1）和（-0.1，0.1）作函数 x g x  ( ) = sin 的图形，程序如下： Clear[“f*”, “g*”] g[x_]:=Sin[Pi/x] Plot[g[x],{x,-1,1},PlotRange->{-1,1}] Plot[g[x],{x,-0.1,0.1},PlotRange->{-1,1}] 运行结果如图 1-13 和图 1-14 所示

观察上图知，x→0时，g(x）振荡。5.函数y=xcosx在（-o0,+o）内是否有界？又问当x→+oo时这个函数是否为无穷大？为什么？用Mathematica作出图形并验证你的结论。解分别作函数y=xc0Sx在（-100，+100）和（0，10000）的图形，其程序为：Clear["f*"]f[x ]:=x Cos[x]Plot[f[x], (x,-100,100]]Plot[f[x], (x,0,1000)]7550

观察上图知， x →0 时， g(x) 振荡。 5.函数 y = xcos x 在 (−,+) 内是否有界？又问当 x → + 时这个函数是否为无穷 大？为什么？用 Mathematica 作出图形并验证你的结论。 解 分别作函数 y = xcos x 在（-100，+100）和（0，10000）的图形，其程序为： Clear[“f*”] f[x_]:=x Cos[x] Plot[f[x],{x,-100,100}] Plot[f[x],{x,0,1000}]

1000500-500-1000观察上图知，随着x的增大，函数不停地振荡且振幅越来越大。所以，函数y=xcosx在（-c0+oo）内无有界，当x→+oo时函数不是无穷大。6.（1)在计算机屏幕上作出函数f(x)=x0.1和g(x)=lnx的图形，何时开始f>g？(2）再作出函数h(x)=g(x)/f(x)的图形，选用适当的显示区域，展示x一→>+oo时，h(x)的变化趋势。g(x)2X时，f(x)In x解h(x) = g(x)/ f(x) =4.1.(1)由于Mathematica在x轴上等距离取点，一张图无法完全描述f(x）=x01和g(x)=lnx的特点，分别取x的区间为[0.01.1001和[100，10201作图，由图知这两个区间分别有一点使f(x)=h(x)，解其值的具体程序如下：Clear["f*" “g*",“"h*"]f[x ]:=x^0.1g[x_ ]:=Log[x]Plot[(f[x],g[x]),(x,0.01,100]]Plot[(f[x],g[x]),(x,100,10^20]]FindRoot[f[x]--g[x], (x,0.01,100]]FindRoot[f[x]==g[x], (x,100,10^20]]4220406080100-2

观察上图知，随着 x 的增大，函数不停地振荡且振幅越来越大。 所以，函数 y = xcos x 在 (−,+) 内无有界，当 x → + 时函数不是无穷大。 6.（1）在计算机屏幕上作出函数 0.1 f (x) = x 和 g(x) = ln x 的图形，何时开始 f  g ？ （2）再作出函数 h(x) = g(x)/ f (x) 的图形，选用适当的显示区域，展示 x → + 时， h(x) 的变化趋势。 （3）确定正数 X，使 x  X 时， 0.1 ( ) ( )  f x g x 。 解 0.1 ln ( ) ( )/ ( ) x x h x = g x f x = 。 （1）由于 Mathematica 在 x 轴上等距离取点，一张图无法完全描述 0.1 f (x) = x 和 g(x) = ln x 的特点，分别取 x 的区间为[0.01,100]和[100，1020]作图，由图知这两个区间分别有一点使 f (x) = h(x) ，解其值的具体程序如下： Clear[“f*”, “g*”, “h*”] f[x_]:=x^0.1 g[x_]:=Log[x] Plot[{f[x],g[x]},{x,0.01,100}] Plot[{f[x],g[x]},{x,100,10^20}] FindRoot[f[x]==g[x],{x,0.01,100}] FindRoot[f[x]==g[x],{x,100,10^20}]

1008060402019191919202.104.106.108.101.10运行后结果如图1-15和图1-16所示。f(x）=g(x）的解为3.05973和3.43063×1015,还可证明只有这两解。所以从3.43063×1015开始f(x)>g(x)。（2）运行如下程序：Clear["f*","g*","h*"]f[x_]:=x^0.1g[x_ :=Log[x]h[x ]:=g[x]/f[x]Plot[[x],(x,0.1,10^50),PlotRange->(0,0.02)]0.020.01750.0150.01250.010.00750.0050.0025049494949502.104.106.108.101.10由图1-17知x→+o0，h(x)→0。（3）通过反复试验知，方程f(x)=10g(x)在区间[1020，1030]有一根，其求解程序如下：Clear["f*" “g*",“"h*"]f[x_]:=x^0.1g[x ]:=Log[x]FindRoot[f[x]=10 g[x],(x,10^20,10^30]运行结果：X=1.29094×1028。g(x) <0.1。所以当x=1.29094×1028时，f(x)对于本题，若想在一张图上表示函数，则可运行如下程序：Clear["*",“"g*",“h*"]

运行后结果如图 1-15 和图 1-16 所示。 f (x) = g(x) 的解为 3.05973 和 3.43063×1015 ,还可证明只有这两解。所以从 3.43063×1015 开始 f (x)  g(x)。 （2）运行如下程序： Clear["f*", "g*", "h*"] f[x_]:=x^0.1 g[x_]:=Log[x] h[x_]:=g[x]/f[x] Plot[h[x],{x,0.1,10^50},PlotRange->{0,0.02}] 由图 1-17 知 x → +， h(x) → 0。 （3）通过反复试验知，方程 f (x) = 10g(x) 在区间[1020，1030]有一根，其求解程序如下： Clear[“f*”, “g*”, “h*”] f[x_]:=x^0.1 g[x_]:=Log[x] FindRoot[f[x]=10 g[x],{x,10^20,10^30}] 运行结果： 28 X = 1.2909410 。 所以当 28 x = 1.2909410 时， 0.1 ( ) ( )  f x g x 。 对于本题，若想在一张图上表示函数，则可运行如下程序： Clear[“f*”, “g*”, “h*”]

f[x ]:=x^0.1g[x ]:=Log[x]h[x_]:=g[x]/f[x]Plot[(f[10^t],g[10^t]), (t,0,16]]Plot[h[10^t], (t,0,40]]结果如图1-18和图1-19所示。403020102.557.51012.5153.532.521.510.510203040第二章1.试用Mathematica求出下列函数的导数(1) y= sin(x3);(2) y= arctan(ln x);(3)(4) y=2xf(x)。17X解Mathematica程序为：Clear[f]D[Sin[x^3],D[ArcTan[Log[x],x],D[(1+1/x)x,x]D[2xf[x^2],x]运行结果略。12.利用Mathematica作出函数f(x）=(-5≤x≤4)的图形，c分别取-1，0，x2+2x+c1，2，3等5个值，试比较作出5个图，并从图上观察极值点、驻点、单调增加、单调减少区间，上凸、下凸区间以及渐近线

f[x_]:=x^0.1 g[x_]:=Log[x] h[x_]:=g[x]/f[x] Plot[{f[10^t],g[10^t]},{t,0,16}] Plot[h[10^t],{t,0,40}] 结果如图 1-18 和图 1-19 所示。 第二章 1.试用 Mathematica 求出下列函数的导数 （1） sin( ) 3 y = x ； （2） y = arctan(ln x) ； （3） x x y       = + 1 1 ； （4） 2 ( ) 2 y = xf x 。 解 Mathematica 程序为： Clear[f] D[Sin[x^3],D[ArcTan[Log[x]],x],D[(1+1/x)^x,x] D[2xf[x^2],x] 运行结果略。 2.利用 Mathematica 作出函数 ( 5 4) 2 1 ( ) 2 −   + + = x x x c f x 的图形，c 分别取-1，0， 1，2，3 等 5 个值，试比较作出 5 个图，并从图上观察极值点、驻点、单调增加、单调减少 区间，上凸、下凸区间以及渐近线

解Mathematica程序为：Clear[f]f[x_,c_ ]:=1/(x^2+2 x+c)Plot[f[x,-1], (x,-5,5]]Plot[f[x,0], (x,-5,5]]Plot[f[x, 1],(x,-5,5]]Plot[f[x,2], (x,-5,5]]Plot[f[x,3], (x,-5,5]]运行结果如图2-1~2-5所示，其它读者自行完成。16422-4724-21-467.552.5-424-2/-2.5--7.5175150425100755025224-4

解 Mathematica 程序为： Clear[f] f[x_,c_]:=1/(x^2+2 x+c) Plot[f[x,-1],{x,-5,5}] Plot[f[x,0],{x,-5,5}] Plot[f[x,1],{x,-5,5}] Plot[f[x,2],{x,-5,5}] Plot[f[x,3],{x,-5,5}] 运行结果如图 2-1~2-5 所示，其它读者自行完成