《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第六章 定积分的应用 第六节 平均值

第六节平均值函数的平均值二、均方根思考题三、小结

一、函数的平均值 二、均方根 三、小结 思考题 第六节 平 均 值

高等数学一、函数的平均值实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述这个班的成绩的概貌算术平均值公式Ji + y2 +..y',V=只适用于有限个数值n问题：求气温在一昼夜间的平均温度上页入手点：连续函数f(x)在区间a,b上的平均值下页讨论思想：分割、求和、取极限返回

下页 返回 上页 实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均 值来描述这个班的成绩的概貌. n y y y y + + n = 1 2 算术平均值公式 只适用于有限个数值 问题：求气温在一昼夜间的平均温度. 入手点：连续函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的平均值. 讨论思想：分割、求和、取极限. 一、函数的平均值

高等数学（1）分割：把区间[a,b]分成n等分a =xo <x, <x, <...<xn-1 <x,=b,b-a每个小区间的长度x=n（2）求和：设各分点处的函数值为yo，J1,J2，Jn函数f(x)在区间[a,b上的平均值近似为Yo + yi + y2 +. Yn-1,上页n下页（3）取极限：每个小区间的长度趋于零返回

下页 返回 上页 （1）分割： 把区间[a,b]分成n 等分 , a = x0  x1  x2  xn−1  xn = b 每个小区间的长度 ; n b a x −  = 设各分点处的函数值为 n y , y , y , , y 0 1 2  函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的平均值近似为 ; 0 1 2 1 n y y y y + + + n− 每个小区间的长度趋于零. （2）求和： （3）取极限：

高等数学函数f(x)在区间[a.bl上的平均值为Yo + yi + y2 +.yn-1J = limn-→0nb-aYo + y + Y, +...: y=lim=Axb-an→8nnAAlimArlimf(x;-1)Ax,Yi-b-b-a Ar-0aAr-→0i=1i11上页bf(x)dx一几何平均值公式V下页b-a返回→=(b-a)y =(b-a)f()区间长度

下页 返回 上页 lim , 0 1 2 1 n y y y y y n n − → + + + =  函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的平均值为 n b a b a y y y y y n n −  − + + + = − → 0 1 2 1 lim   = x  = −  →  − = n i i x y x b a 1 1 0 lim 1 lim ( ) , 1 1 1 0= −  →  − = n i i x f x x b a  − = b a f x dx b a y ( ) 1 几何平均值公式 区间长度 = (b − a) y = (b − a) f ( )

高等数学例1计算纯电阻电路中正弦交流电i=Isinのt在一个周期上的功率的平均值（简称平均功率）。解设电阻为R，则电路中的电压为u = iR = I.Rsin ot,功率p=ui= ImRsinot2元一个周期区间[0,上页a22元下页0平均功率Rsin'otdt1P=返回m2元0-0

下页 返回 上页 例 1 计算纯电阻电路中正弦交流电i I t = m sin 在 一个周期上的功率的平均值（简称平均功率）. 解 设电阻为 R ， 则电路中的电压为 u = iR I Rsin t, = m  功率 p = ui sin , 2 2 I R t = m  一个周期区间 ], 2 [0,   平均功率 p I R tdt m      2 2 2 0 sin 1 2  =

高等数学221R2元12元?@1mRsin?otdtsin'otd(ot)p一=m2元1002元021R2元m0(1 - cos 2ot)d(wt)4元2元22R10sin 2otRI..’RLmmwt-2元m24元4元2oI.Umm(Um = ImR)上页2下页结论：纟纯电阻电路中正弦交流电的平均功率返回等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一

下页 返回 上页 p I R tdt m      2 2 2 0 sin 1 2  = sin ( ) 2 2 0 2 2 td t Im R       = (1 cos 2 ) ( ) 4 2 0 2 t d t Im R       = −      2 0 2 2 sin2 4       = − t t Im R   2 4 2 =  Im R 2 2 Im R = . 2 mUm I = (U I R) m = m 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率 等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一．

高等数学二、均方根通常交流电器上标明的功率就是平均功率：交流电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯上称为有效值周期性非恒定电流i（如正弦交流电）的有效值规定如下：当(t)在它的一个周期T内在负载电阻R上消耗的平均功率，上页等于取固定值I的恒定电流在R上消耗的功下页率时，称这个值I为i(t)的有效值返回

下页 返回 上页 通常交流电器上标明的功率就是平均 功率．交流电器上标明的电流值都是一种 特定的平均值，习惯上称为有效值． 周期性非恒定电流i （如正弦交流电） 的有效值规定如下：当i(t) 在它的一个周 期T 内在负载电阻R上消耗的平均功率， 等于取固定值I 的恒定电流在R 上消耗的功 率时，称这个值I 为i(t) 的有效值. 二、均方根

高等数学有效值计算公式的推导固定值为I的恒定电流在R上消耗的功率为IR，电流i(t)在R上消耗的功率为i(t)Rr(oRd,它在[0,T1上的平均功率为' i(t)Rdt,按定义有 IR=上页下页:. IP=()dt 即 I=H'r(oa.返回TJo

下页 返回 上页 固定值为I 的恒定电流在R 上消耗的功率为I R 2 , 电流i(t)在R上消耗的功率为i (t)R 2 , 它在[0,T]上的平均功率为 ( ) , 1 0 2  T i t Rdt T ( ) , 1 0 2 2  = T i t Rdt T 按定义有 I R   = T i t dt T I 0 2 2 ( ) 1 ( ) . 1 0 2  = T i t dt T I 有效值计算公式的推导 即

高等数学正弦交流电it)=Isinのt的有效值12元I. sin"wtdt@msin'wtd(ot)2元Jo2元2元Osin2tImmot224元10结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的2上页下页f(x)dx.函数f(x)在[a,b]上的均方根返回b-

下页 返回 上页 正弦交流电i t I t ( ) = m sin 的有效值 I I tdt m      2 0 2 2 sin 1 2  = ( ) 2 2 0 2 2 sin td t Im       =      2 0 2 2 sin2 4       = − t t Im . 2 m I = 结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 2 1 ( ) . 1 2  − b a f x dx b a 函数 f (x)在[a,b]上的均方根

高等数学三、小结f(x)dx;函数的平均值Vb-aeo函数的有效值f(x)dx.b-a（理解平均功率、电流的有效值等概念）上页下页返回

下页 返回 上页 函数的平均值 函数的有效值 ( ) ; 1  − = b a f x dx b a y ( ) . 1 2  − b a f x dx b a （理解平均功率、电流的有效值等概念） 三、小结