《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质

第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质思考题四、小结

一、原函数与不定积分的概念 三、不定积分的性质 二、基本积分表 四、小结 思考题 第一节 不定积分的概念与性质

高等数学原函数与不定积分的概念一定义：如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为f(x),即VxEI，都有F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x）或f（x）dx在区间I内原函数.（primitivefunction）例 (sinx)= cosxsinx是cosx的原函数(lnx) = =上页(x>0)X下页返回Inx是二在区间(0,+80)内的原函数7x

下页 返回 上页 例 (sin x) = cos x  sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln =   x x x ln x是 x 1 在区间(0,+)内的原函数. 定义： 如果在区间I 内，可导函数F(x)的 即x  I，都有F(x) = f (x) 或dF(x) = f (x)dx，那么函数F(x)就称为f (x) 导函数为 f (x)， 或 f (x)dx在区间I 内原函数. 一、原函数与不定积分的概念 ( primitive function )

高等数学原函数存在定理如果函数f(x)在区间I内连续那么在区间I内存在可导函数F（x)使VxEI，都有F'(x)=f(x)简言之：连续函数一定有原函数问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系上页例(sinx)=cosx(sinx+C) = cosx下页返回（C为任意常数）

下页 返回 上页 原函数存在定理： 如果函数 f (x)在区间I 内连续， 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 (sin x) = cos x  (sin x C) = cos x  + （ C 为任意常数） 那么在区间I 内存在可导函数F(x)， 使x  I，都有F(x) = f (x). (2) 若不唯一它们之间有什么联系？

高等数学关于原函数的说明：(1）若F(x)=f(x)，则对于任意常数C，F(x)+C都是f(x)的原函数(2）若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则 F(x)-G(x)=C（C为任意常数）证 ： [F(x)-G(x)] =F'(x)-G(x)上页= f(x)- f(x)= 0下页返回（C为任意常数）F(x)-G(x)=C

下页 返回 上页 关于原函数的说明： （1）若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F(x) + C都是 f (x)的原函数. （2）若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x)   − = f (x) − f (x) = 0  F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数）

高等数学不定积分(indefiniteintegral)的定义：在区间I内，函数f(x）的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I内的不定积分，记为』f(x)dxf(x)dx=F(x)+C被积表达式被积函数任意常数积分号积分变量上页下页返回

下页 返回 上页 任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 不定积分(indefinite integral)的定义： 在区间I 内，  f (x)dx = F(x) + C 被 积 表 达 式 积 分 变 量 函数 f (x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f (x)在区间I 内的 不定积分，记为 f (x)dx

高等数学例1 求[x'dx.tx'dx =解=x，[+C.6例2求dx.21+x解：(arctanx)1+x上页下页dx = arctanx + C2返回+北

下页 返回 上页 例 1 求 . 5  x dx 解 , 6 5 6 x x =   . 66 5 C x  x dx = +  解例 2 求 . 1 1 2  + dx x ( ) , 1 1 arctan 2 x x + =  arctan . 1 1  2 = + +  dx x C x

高等数学例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程解设曲线方程为y=f(x)dy根据题意知= 2x,dx即f(x)是2x的一个原函数: [2xdx=x2+C,:. f(x)= x2 +C,上页由曲线通过点（1，2）=C=1,下页返回所求曲线方程为y=x2+1

下页 返回 上页 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y = f (x), 根据题意知 2x, dx dy = 即 f (x)是2x的一个原函数. 2 , 2   xdx = x + C ( ) , 2  f x = x + C 由曲线通过点（1，2）  C = 1, 所求曲线方程为 1. 2 y = x +

高等数学函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线显然，求不定积分得到一积分曲线族由不定积分的定义，可知[ a-dlJ f(x)dx)= f(x)dx,(dF(x) = F(x)+C.(F'(x)dx= F(x)+C,上页下页结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的返回

下页 返回 上页 函数 f (x)的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线. 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知  f (x)dx f (x), dx d =  d[ f (x)dx] = f (x)dx,  ( ) ( ) ,  F x dx = F x + C ( ) ( ) .  dF x = F x + C 结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的

高等数学基本积分表二、tu+1tu+1实例=xux"dx :=一+C.u+iμ+1(μ±-1)启示能否根据求导公式得出积分公式？上页结论既然积分运算和微分运算是互逆的，下页因此可以根据求导公式得出积分公式。返回

下页 返回 上页 实例    x x =        + + 1 1 . 1 1 C x x dx +  +  = +   启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式. (  −1) 二、 基本积分表

高等数学(k是常数);kdx = kx+C(1)基本积分表ru+1(2)x"dx:+CR(μ±-1);μ+1dx(3)= In x + C;xdxInx+C说明：x>0,二Xx<0, [In(-x)}’= --xXdxdx上页 In(-x)+C,= In|x|+C,.:xx下页dx返回= lInx +C.简写为x

下页 返回 上页 基本积分表 (1)  kdx = kx + C (k 是常数); ( 1); 1 (2) 1 +   −  + = +   C x x dx (3) ln ;  = x + C x dx 说明： x  0 ,  ln ,  = x + C x dx x  0, [ln( − x)] = , 1 ( ) 1 x x x −  = − ln( ) ,   = − x + C x dx ln | | ,   = x + C x dx 简写为 ln .  = x + C x dx