《数值计算》课程教学课件（讲稿）第4章 数值积分与数值微分（3/4）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返园

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第四章数值积分与数值微分第一节问题的提出第二节机械求积法和代数精度第三节 牛顿一柯特斯求积公式第四节复化求积公式第五节龙贝格求积公式第六节#高斯求积公式第七节数值微分上页下页返园

上页 下页 返回 第四章 数值积分与数值微分 第一节 问题的提出 第三节 牛顿—柯特斯求积公式 第四节 复化求积公式 第五节 龙贝格求积公式 第六节 高斯求积公式 第七节 数值微分 第二节 机械求积法和代数精度

85龙贝格求积公式一、梯形法的递推化上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的，但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的，实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次分半（即步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止。设将求积区间[a，b分成n等分，则一共有+1个分点，按梯形公式计算积分值T，需要提供+1个函数值上页：如果将求积区间再二分一次，则分点增至2+1个，我下页们将二分前后两个积分值联系起来加以考察返园

上页 下页 返回 一、梯形法的递推化 上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的， 但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太 大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事 先给出一个恰当的步长又往往是困难的． 设将求积区间[a，b]分成n等分，则一共有n+1个分 点，按梯形公式计算积分值Tn，需要提供n+1个函数值 ．如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个，我 们将二分前后两个积分值联系起来加以考察． §5 龙贝格求积公式 实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐 次分半(即步长二分)的过程中，反复利用复化求积公式进 行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止．

注意到每个子区间[xk，x+i]经过二分只增加了一个分点Xk+1/2(x+xk+1)/2，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为≤[f(α)+2f(r+)+f(r++1).6Q代表二分前的步长.将每个子区间上的积分值相加得这里h=nSh-2T, =4Lr(x)+ f(x1)]+f(xk+1/2)k=0k=0T+2f(xk+1/2)k=0h1T.+[a+(2k+1)-2上页下页返园

上页 下页 返回 注意到每个子区间[xk，xk+1 ]经过二分只增加了一个分点 xk+1/2＝( xk+xk+1 )/2，用复化梯形公式求得该子区间上的积分 值为             1 0 1 2 1 0 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) 4 n k k n k n k k f x h f x f x h T       1 0 1 2 ( ) 2 2 1 n k n xk f h T              1 0 2 (2 1) 2 2 1 n k n h f a k h T

sinxdx例7计算积分值sinx先在[0,1]上应用梯形公式，有解 对f(x)=xT, = IF(0) + f()= 0.9207355将区间二等分，求出()=0.9588510代入递推公式，有T,+)=0.9397933进一步二分求积区间，求出新分点上的函数值f()= 0.9896158 f() = 0.9088516上页代入递推公式，有下页T++1=0.9445135返园

上页 下页 返回 . sin 7 1 0 d x x x I 例 计算积分值 ＝ [ (0) (1) ] 0.9207355. 2 1 [0,1] sin ( ) 1     T f f x x 解 对f x 先 在 上应用梯形公式，有 ) 0.9397933. 2 1 ( 2 1 2 1 ) 0.9588510, 2 1 ( 2 1   T T f f ＝ ＋ 将区间二等分，求出 代入递推公式，有 ) ] 0.9445135. 4 3 ) ( 4 1 [ ( 4 1 2 1 ) 0.9088516, 4 3 ) 0.9896158, ( 4 1 ( 4 2     T T f f f f ＝ ＋ 代入递推公式，有 进一步二分求积区间，求出新分点上的函数值

这样不断二分下去，障结果见下表（表代表二分次数，区间等分数n=2）2135k4T,0.93979330.94451350.94569090.94598500.94605969k67810T,0.94607690.94608150.94608270.94608300.9460831它表明，用复化梯形公式计算积分要达到7位有效数字的精度需要二分区间10次.即要提供1025个分点的函数值，计算量很大，收敛速度太慢因此，接下来要研究提高收敛速度、节省计算量的问题上页下页返园

上页 下页 返回 2 ) . k n k 区间等分数  这样不断二分下去，计算结果见下表（表中代表二分次数， 0.9460769 0.9460815 0.9460827 0.9460830 0.9460831 6 7 8 9 1 0 0.9397933 0.9445135 0.9456909 0.9459850 0.9460596 1 2 3 4 5 n n T k T k . . 1 0 . 1025 7 因此，接下来要研究如何提高收敛速度、节省计算量的问题 敛速度太慢 需要二分区间 次即要提供 个分点的函数值，计算量很大，收 它表明，用复化梯形公式计算积分I要达到 位有效数字的精度

二、龙贝格公式根据复化梯形公式的余项表达式b-ah"f"(n)R,()=I-T,ne(a, b);=12b-ah有：I-T2n=f"(n)ne(a, b).212倍则有假定f"(n)～f"(),~1整理后可得：I-T2n(T2n -T,).~3可见，利用两种步长计算的结果能估计截断误差.若将该截断误差加到计算结果中，就可得出“改进梯形求积公式”：上页T = T2n +=(T2n-TO=2n下页2n2133返园

上页 下页 返回 ( ) ( , ). 1 2 2 ( ) ( , ); 1 2 ( ) 2 2 2 f a b b a h I T h f a b b a R f I T n n n                        有 ： 根据复化梯形公式的余项表达式 ( ). 3 1 . 4 1 ( ) ( ) 2 2 2 n n n n n I T T T I T I T f f          整理后可得： 假 定   ，则有 可见，利用两种步长计算的结果能估计截断误差.若将该截断 误差加到计算结果中，就可得出“改进梯形求积公式”： T T n T n Tn T n Tn 3 1 3 4 ( ) 3 1  2  2   2  二、龙贝格公式

改进梯形求积公式的右边实际是(4T2n -T,)3n-l+2 (m) -T, -~[Z(xk+/2)+2h中k=0F(a)+2f(x)+ f(b)|+2hZf(xk+/2)k=1k=0hf(a)+42 f(xk+1/2)+2Zf(x)+ f(b) [= Sn6k=0k=1这就是说用梯形法二分前后的两个积分值T,与T2n的线性组合的结果得到复化辛普森法求积公式上页S,=Tu--T, =(1)下页4-14-1返园

上页 下页 返回 改进梯形求积公式的右边实际是 n n k n k k k n k k n k k n k n n k n k n k n n f a f x f x f b S h f a f x f b h f x h f x T T h f x h T T T                                                                       1 0 1 1 1 2 1 0 1 2 1 1 1 0 1 2 1 0 1 2 2 ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( ) 6 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 3 2 1 2 ( ) 3 1 ( ) 2 2 1 4 3 1 (4 ) 3 1 这就是说用梯形法二分前后的两个积分值Tn与T2n的线性 组合的结果得到复化辛普森法求积公式 (1) 4 1 1 4 1 4 3 1 3 4 Sn T2n Tn T2n Tn      

类似的情况，用辛普森法二分前后的两个积分值S,与S,的线性组合的结果可得到复化柯特斯求积公式1216(2)Cn21142-1重复同样的手续，用柯特斯法二分前后的两个积分值C，与C2n的线性组合的结果可得到龙贝格(Romberg)求积公式4364(3)R.136363我们在变步长的过程中运用加速公式(1)、(2)、(3)，就能将粗糙的梯形值T,逐步加工成精度较高的辛普森值S，、柯特斯值C,和龙贝格值R.上页下页返园

上页 下页 返回 类似的情况，用辛普森法二分前后的两个积分值Sn与S2n的 线性组合的结果可得到复化柯特斯求积公式 (2) 15 1 15 16 4 1 1 4 1 4 2 2 2 2 2 Cn S n Sn  S n  Sn     重复同样的手续，用柯特斯法二分前后的两个积分值Cn与 C2n的线性组合的结果可得到龙贝格(Romberg)求积公式 (3) 63 1 63 64 4 1 1 4 1 4 3 2 3 2 3 Rn C n Cn  C n  Cn     我们在变步长的过程中运用加速公式(1)、(2)、(3)，就能 将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值Sn、柯特斯 值Cn和龙贝格值Rn

b-a[f(a) + f(b)]2将上述结果综合后ZIT.+f(xk+1/2)Tank=04-31-3A2STn6-51-SSC15211164R,CCann6363以上整个过程称为龙贝格求积公式上页龙贝格求积公式可用下表来表示：下页返园

上页 下页 返回 [ ( ) ( )] 2 1 f a f b b a T           以上整个过程称为龙贝格求积公式 将 上 述 结 果 综 合 后       1 0 2 1 2 ( ) 2 2 1 n k n n xk f h T T Sn T n Tn 3 1 3 4  2  Cn S n Sn 15 1 15 16  2  Rn C n Cn 63 1 63 64  2  龙贝格求积公式可用下表来表示：