《数值计算》课程教学资源（试卷习题）研究生试卷1（解答）

武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸课程名称：数值计算任课教师：．简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分）1.设f(x)=2x2+3x-7，试计算f(x)关于点1，2，3，4的三阶差商。解: [1,2,3,4]- "() = 2(5分)3!2.已知f(0)=1，f(1)=2，f(3)=5，利用分段线性插值函数计算f(1.5)的近似值。(x -Xk+1)(x-x)解: ,(x):Jk+(x≤x≤x+1,k=0,l,.,n-1)(xk+1 -x)(x -x+1)(5分)x =1.5 e[1,3] =[x,x2]f(1.5) ~ I,(1.5)= 2.753.试确定f(x)在[0,b]上的定积分的近似公式J=aLf(p)+f(q))的最高代数精度。V3±1,3tlbb解:f(x)=1,x,x2:I=J=ab2p2V32V3f(x)=x3:I=J; f(x)=x:I+J;所以，近似公式J=aLf(p)+f(q))的最高代数精度为3次(5分)(21)4.已知A:试计算Cond,(A)的值。1max_2=3解：因为A对称，所以Cond,(A)=-(5分）min|al15.已知y=x+2y，y(0)=1，h=0.1，试用欧拉法计算y(0.2)的近似值。解：yt=y,+hf(x,y),yi = yo +h(xo +2yo)=1.2,(5分)y(0.2) ~y2 = Ji + h(xi + 2y)=1.456.若x=x?+ax+b的根为2，当迭代收敛阶p=2时，α+b的值是多少？解: Φ(x)=x2 +ax+b,(2)=2,Φ(2)=0,Φ"(2)±0=a=-4,b=6,a+b=2二.计算题，请写出主要计算过程（每小题10分，共50分）1.给出如下离散数据，试对数据作出线性拟合0X-1. 000. 500. 750. 1yi0.30. 20. 05

武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸 课程名称：数值计算 任课教师 ： 一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题 5 分，共 30 分） 1.设 ( ) 2 3 7 3 f x  x  x  ，试计算 f (x) 关于点 1，2，3，4 的三阶差商。 解:   2 3! ( ) 1,2,3,4    f  f -(5 分) 2.已知 f (0) 1， f (1)  2， f (3)  5，利用分段线性插值函数计算 f (1.5)的近似值。 解: 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )             k k k k k k k k h f x x x x f x x x x I x ( , 0,1, , 1) xk  x  xk1 k   n  1.5 [1,3] [ , ] 1 2 x    x x  f (1.5)  I h (1.5)  2.75 -(5 分) 3.试确定 f (x) 在[0,b]上的定积分的近似公式 J  a[ f ( p)  f (q)]的最高代数精度。 解: p b q b b f x x x I J a 2 3 3 1 , 2 3 3 1 , 2 ( ) 1, , : 2         ； f (x)  x : I  J 3 ； f (x)  x : I  J 4 ； 所以，近似公式 J  a[ f ( p)  f (q)]的最高代数精度为 3 次-(5 分) 4. 已知        1 2 2 1 A ，试计算 ( ) Cond2 A 的值。 解: 因为 A对称，所以 3 1 3 min max ( ) 2      Cond A -(5 分) 5.已知 y  x  2y ， y(0)  1，h  0.1，试用欧拉法计算 y(0.2) 的近似值。 解: ( , ) n 1 n n n y  y  hf x y  ， ( 2 ) 1.2 y1  y0  h x0  y0  ， y(0.2)  y2  y1  h(x1  2y1 )  1.45 -(5 分) 6.若 x  x  ax  b 2 的根为 2，当迭代收敛阶 p  2时，a  b的值是多少？ 解: x  x  ax  b 2 ( ) ，(2)  2，(2)  0，(2)  0  a  4,b  6,a  b  2 二.计算题，请写出主要计算过程（每小题 10 分，共 50 分） 1.给出如下离散数据，试对数据作出线性拟合 i x -1.00 -0.50 0 0.75 i y 0.3 0.2 0.1 -0.05

解：P(x)=ao+axma(5分)(Ex,)ao +(Ex)ai =>x,y4a。-0.75a,=0.55-0.75ao+1.8125a,=-0.4375(10分)a =0.1,a, =-0.2, P(x)=0.1-0.2x2.求一个次数不高于3次的多项式H，（x），满足下列插值条件：H,(1)=2,H,(2)= 4 , H,(3)=12 , H(2)=3(x-x)(x-x)(x-xo)(x-x)(x-x)(x-x,)解: ()-)+)+0)=3x27x+6(5分)设H,(x)=L,(x)+A(x-x)(x-x,)(x-x), 由H(2)=3=A=2所以H,(x)=2x3-9x2+15x-6(10分)3.用龙贝格公式计算积分1dx的近似值（要求误差不超过10）+[ = b=~[(a)+ (b)] 2+hZ(xun)-+2Le4T,IT解：由龙贝格求积公式3SS=4(5分)33161CS151564-R.C6363计算，得T2kS2k-1C,k-2R,k-32kk00.750.845590.877450.861730.867110.866420.865670.866980.866970.86698XN160.866650.866980.866980.86698(10分所以~0.86698

解: P x a a x 0 1 ( )                     m i m i i i m i i i m i m i i i x a x a x y ma x a y 1 1 1 1 2 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) -(5 分)         0.75 1.8125 0.4375 4 0.75 0.55 0 1 0 1 a a a a a0  0.1,a1  0.2， P(x)  0.1 0.2x -(10 分) 2.求一个次数不高于 3 次的多项式 ( ) 3 H x ，满足下列插值条件： (1) 2 H3  ， (2) 4 H3  ， (3) 12 H3  ， (2) 3 H3   解: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 2 1 0 1 0 2 1 2 2 0 x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x L x y                3 7 6 2  x  x  -(5 分) 设 ( ) ( ) ( )( )( ) 3 2 0 1 2 H x  L x  A x  x x  x x  x ， 由 H3 (2)  3  A  2 所以 ( ) 2 9 15 6 3 2 H3 x  x  x  x  -(10 分) 3.用龙贝格公式计算积分 dx x I    1 0 4 1 1 的近似值（要求误差不超过 10-4） 解: 由龙贝格求积公式 1 1 2 1 2 0 2 2 2 [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 2 2 4 1 3 3 16 1 15 15 64 1 63 63 n n n i i n n n n n n n n n b a T f a f b h T T f x S T T C S S R C C                     -(5 分) 计算，得 所以 I  0.86698 -(10 分) k 2 k T2 k S2 k-1 C2 k-2 R2 k-3 0 1 2 3 4 1 2 4 8 16 0.75 0.84559 0.86173 0.86567 0.86665 0.87745 0.86711 0.86698 0.86698 0.86642 0.86697 0.86698 0.86698 0.86698

x-5y+z=24.设有方程组x+2y+5z=2，6x+y-z=l试构造收敛的Jacobi选代，并取初值(O,0,0)，计算迭代二次的(x,y,=)的值。 6x+ y-z =1x-5y+z=2解：换行（第三方程换到第一方程位置）[x+2y+5z=2(61-1(5 分)系数矩阵A=-51严格对角占优，所以雅可比迭代收敛25-(*) +1)6v(k+)-(k)-(k) _ 2)雅可比迭代为(x5&+(-x(h) - 2(k) + 2)5送代一次(x()y(),=(）=(0.1667,-0.4,0.4)选代二次(x(2),y(2),=(2))=(0.3,-0.2867,0.5267)(10分)5.若y=0.1y(x+y-2)，y(0)=1：步长h为方程0.11=xe*的根，试用隐式欧拉法计算y(h)的近似值，误差限取0.05.解：设f(x)=xe-0.11,(5分)则f(0.092)0，由零点定理，存在e(0.092,0.1)，使得f()=0取h=0.096，由隐式欧拉公式yn+1=yn+hf(xn+1,Jn+1)yi= yo +h·0.lyi(xi +yi-2) yo= y(0)=1y(h)=y= 0.9913(10分)三.分析题，请写出主要分析与认证过程（10分）设f(x)在区间[a,b)上有四阶导数，f(x)=p(x)+R(x)，p(x)为3次多项式,R(x)为误差项，且p(x)满足条件：p(a)=f(a)，p(a)=f(a)，p(b)=f(b),p(b)=f(b)，b-α=2，若r(4)(x)<24，试估计[R(x)dx的大小。解:由于R(a)=0,R(a)=0,R(b)=0，R(b)=0f(*(三)(x-a) (x-b)2R(x) =则取(5分)4!

4.设有方程组               6 1 2 5 2 5 2 x y z x y z x y z ， 试构造收敛的 Jacobi 迭代，并取初值(0,0,0)，计算迭代二次的(x, y,z) 的值。 解:换行（第三方程换到第一方程位置）               2 5 2 5 2 6 1 x y z x y z x y z 系数矩阵          1 2 5 1 5 1 6 1 1 A 严格对角占优，所以雅可比迭代收敛-(5 分) 雅可比迭代为                   ( 2 2) 5 1 ( 2) 5 1 ( 1) 6 1 ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) k k k k k k k k k z x y y x z x y z 迭代一次( , , ) (0.1667, 0.4,0.4) (1) (1) (1) x y z   迭代二次( , , ) (0.3, 0.2867,0.5267) (2) (2) (2) x y z   -(10 分) 5.若 y' 0.1y(x  y  2)， y(0)  1；步长h 为方程 x 0.11  xe 的根，试用隐式欧拉法计算 y(h)的近 似值，误差限取 0.05. 解: 设 ( )   0.11 x f x xe ， 则 f (0.092)  0 ， f (0.1)  0，由零点定理，存在  (0.092,0.1) ，使得 f ( )  0 -(5 分) 取h  0.096，由隐式欧拉公式 ( , ) n1  n  n1 n1 y y hf x y 0.1 ( 2) y1  y0  h  y1 x1  y1  y0  y(0)  1 y(h)  y1  0.9913 -(10 分) 三.分析题，请写出主要分析与认证过程（10 分） 设 f (x) 在区间[a,b]上有四阶导数， f (x)  p(x)  R(x)， p(x)为 3 次多项式， R(x)为误差项，且 p(x)满足条件： p(a)  f (a)， p(a)  f (a)， p(b)  f (b)， p(b)  f (b)，b  a  2，若 ( ) 24 (4) f x  ，试估计  b a R(x)dx 的大小。 解: 由于 R(a)  0， R(a)  0， R(b)  0 ， R(b)  0 则取 2 2 (4) ( ) ( ) 4! ( ) ( ) x a x b f R x     -(5 分)

"' R(x)dx = ((n)-a)"(x-b)"dx(r4!(njre(t-2) dx=Lf(n)1.074!4!(4(n)*1.07)8x>10 (6分)x>15-(7 分)x>20-(8分)(10分)为什么x<y?试叙述学习编程对自己有何好处

     b a b a x a x b dx f R x dx 2 2 (4) ( ) ( ) 4! ( ) ( )  1.07 4! ( ) ( 2) 4! ( ) 2 (4) 0 2 2 (4)       f  t t dx f 有 1.07 1.07 4! ( ) ( ) (4)     f  R x dx b a -(10 分) 四.叙述题（每小题 10 分，只选做一题，共 10 分） 1.试写出四种非线性方程求根的方法，并讨论各方法的优缺点。 解: 二分法，牛顿法，简化牛顿法，弦截法 -(4 分) 讨论各自的优缺点 -(10 分) 2.我最后交 x  ( )个程序，其中有( )个能机考，网考三交 y  ( )个程序，其中有( )个能 机考。为什么 x  y ? 试叙述学习编程对自己有何好处。 解:交 x 个程序，x>8 -(5 分) x>10 -(6 分) x>15-(7 分) x>20-(8 分) 为什么 x<y? 试叙述学习编程对自己有何好处-(10 分)