《概率论与数理统计》课程教学资源（实验指导）1、古典概型的计算

实验1古典概型的计算古典概型和伯努利概型是日常生活中无处不在的两种最重要的概率计算模型。本实验将着重介绍如何利用Mathematica程序解决这两种模型的计算问题。1实验目的（1）熟练利用Mathematica程序计算古典概型。古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，它包含的随机实验所有可能的结果是有限的，且每个基本结果发生的概率是相同的。例如：掷一个质地均匀般子的实验，可能出现的六个点数每个都是等可能的：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征一一有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。古典概型的计算公式为：P(A)=mn（2）熟练利用Mathematica程序计算伯努利概型。一般地，将一个试验在相同的条件下重复进行n次，且每次试验的结果相互独立，则称这n次试验为n次重复独立试验。特别，如果每次试验的可能结果只有两个：A和A，且P(A)=p，P(A)=(0<p<1,p+q=1)，则称这个试验为伯努利试验。把伯努利试验重复独立进行n次，则称为n重伯努利试验，其数学模型称为伯努利模型。计算伯努利实验的二项概率公式为：P(k)=C,pq"-k,k=0,l,2,""",n.2基本语句(1) Binomial[m,n]功能：计算Cm(2)BinomialDistribution[n,p]功能：实验次数为n，事件A发生概率为p的伯努利试验3典型例题例1袋内有10个白球，5个黑球，任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。C2分析：样本点总数C2s，所求事件包含的样本点个数为C2，故所求概率P=Cis解输入命令Binomial[10,2]/Binomial[15,2]运行结果3/7故取出两个球都是白球的概率为3/7例2已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5均等可能，求从中任取100个都是

实验 1 古典概型的计算 古典概型和伯努利概型是日常生活中无处不在的两种最重要的概率计算模型。本实验 将着重介绍如何利用 Mathematica 程序解决这两种模型的计算问题。 1 实验目的 （1）熟练利用Mathematica程序计算古典概型。 古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，它包含的随机实验所有可能的结果 是有限的，且每个基本结果发生的概率是相同的。例如：掷一个质地均匀骰子的实 验，可能出现的六个点数每个都是等可能的；一个试验是否为古典概型，在于这个 试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特 点的概型才是古典概型。古典概型的计算公式为： n m P(A) = （2）熟练利用 Mathematica 程序计算伯努利概型。 一般地，将一个试验在相同的条件下重复进行 n 次，且每次试验的结果相互独立，则 称这 n 次试验为 n 次重复独立试验。特别，如果每次试验的可能结果只有两个: A 和 A ， 且 P(A) = p ，P(A) = q (0  p 1 , p + q =1) ，则称这个试验为伯努利试验。把伯努利试验 重复独立进行 n 次，则称为 n 重伯努利试验，其数学模型称为伯努利模型。计算伯努利实 验的二项概率公式为： P (k) C p q , k 0 ,1 , 2 , , n . k k n k n = n − =  2 基本语句 （1）Binomial[m,n] 功能：计算 n Cm （2）BinomialDistribution[n,p] 功能：实验次数为 n，事件 A 发生概率为 p 的伯努利试验 3 典型例题 例 1 袋内有 10 个白球，5 个黑球，任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。 分析：样本点总数 2 C15 ，所求事件包含的样本点个数为 2 C10 ，故所求概率 2 15 2 10 C C P = 。 解 输入命令 Binomial[10,2]/ Binomial[15,2] 运行结果 3/7 故取出两个球都是白球的概率为 3/7. 例 2 已知在 1000 个灯泡中坏灯泡的个数从 0 到 5 均等可能，求从中任取 100 个都是

丁泡的概率。解输入命令pbi=Table[1/6,(6]];pabi=Table[Binomial[1000-i,100],(i,0,5]]/Binomial[1000,100];pa =Sum[pbi[i]]*pabi[i]], (i,1,6]]N[pa]（*将精确结果转化为有6位有效数字的近似数*）运行结果0.780693例3n个人每人携带一件礼物参加联欢会。联欢会开始后，先把所有的礼物编号，然后每人任意抽取一个号码，按号码领取礼物。请分别就参加联欢会的人数n=1到20人求所有人都得到别人赠送礼物的概率，并从这些概率值推断随着参加联欢会的人数增加是否会出现所有人都得到别人赠送礼物的概率会不断变小的情况？解输入命令p[n :=Sum[(-1)k*1/k!,(k,2,n)]Table[N[p[k],18], (k,1,20]]运行结果0,0.500000000000000000.0.333333333333333333,0.375000000000000000.0.366666666666666667.0.368055555555555556.0.367857142857142857.0.367881944444444444.0.367879188712522046.0.367879464285714286.0.367879439233605900.0.367879441321281599.0.367879441160691161.0.367879441172161906.0.367879441171397190.0.367879441171444985.0.367879441171442173,0.367879441171442329,0.367879441171442321,0.367879441171442322从计算结果可以看到，随着参会人数的增加，所有人都得到别人赠送礼物的概率不会不断变小，而是会收敛到一个约为0.367879.也就是e-l。例4在某纺织厂中，一个工人要照顾800个纱锭。每个纱锭旋转时，由于偶然的原因，纱会被扯断。假设在某一段时间内，每个纱锭的纱被扯断的概率为0.005，求在这段时间内，纱被扯断次数不大于10的概率。分析：相当于进行800重伯努利试验，事件A="纱被扯断次数”，则有P(A)=0.005，10而所求概率为ZPsoo(i)。1=0解输入命令rvb=BinomialDistribution[800,0.005]f[k ];:=CDF[rvb,k];f[10]运行结果0.997239所以在这段时间内，纱被扯断次数不大于10的概率为0.997239习题1.从1，2，...，30这30个数中随机选取10个不同的数，求所取出的数都是偶数的概率。2从一副扑克牌的13张黑桃中，一张接一张地有放回地抽取3次，求没有同号的概率。3.有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴种6粒，求至少有4粒出苗的概率

好灯泡的概率。 解 输入命令 pbi =Table[1/6,{6}] ; pabi =Table[Binomial[1000-i,100],{i,0,5}]/ Binomial[1000,100]; pa =Sum[pbi[[i]]*pabi[[i]],{i,1,6}] N[pa] (*将精确结果转化为有 6 位有效数字的近似数*) 运行结果 0.780693 例 3 n 个人每人携带一件礼物参加联欢会。联欢会开始后，先把所有的礼物编号，然 后每人任意抽取一个号码，按号码领取礼物。请分别就参加联欢会的人数 n=1 到 20 人求 所有人都得到别人赠送礼物的概率，并从这些概率值推断随着参加联欢会的人数增加是否 会出现所有人都得到别人赠送礼物的概率会不断变小的情况？ 解 输入命令 p[n_]:=Sum[(-1)^k*1/k!,{k,2,n}] Table[N[p[k],18],{k,1,20}] 运行结果 {0,0.500000000000000000,0.333333333333333333,0.375000000000000000,0.3666666666666 66667,0.368055555555555556,0.367857142857142857,0.367881944444444444,0.3678791887 12522046,0.367879464285714286,0.367879439233605900,0.367879441321281599,0.3678794 41160691161,0.367879441172161906,0.367879441171397190,0.367879441171444985,0.36787 9441171442173,0.367879441171442329,0.367879441171442321,0.367879441171442322} 从计算结果可以看到，随着参会人数的增加，所有人都得到别人赠送礼物的概率不会不断 变小，而是会收敛到一个约为 0.367879,也就是 −1 e 。 例 4 在某纺织厂中，一个工人要照顾 800 个纱锭。每个纱锭旋转时，由于偶然的原因， 纱会被扯断。假设在某一段时间内，每个纱锭的纱被扯断的概率为 0.005，求在这段时间 内，纱被扯断次数不大于 10 的概率。 分析：相当于进行 800 重伯努利试验，事件 A=“纱被扯断次数”，则有 P(A) = 0.005， 而所求概率为 = 10 0 800( ) i P i 。 解 输入命令 rvb=BinomialDistribution[800,0.005]; f[k_]:=CDF[rvb,k]; f[10] 运行结果 0.997239 所以在这段时间内，纱被扯断次数不大于 10 的概率为 0.997239. 习 题 1. 从 1，2，.，30 这 30 个数中随机选取 10 个不同的数，求所取出的数都是偶数的概率。 2. 从一副扑克牌的 13 张黑桃中， 一张接一张地有放回地抽取 3 次，求没有同号的概率。 3. 有一批棉花种子，出苗率为 0.67，现每穴种 6 粒，求至少有 4 粒出苗的概率。