《概率论与数理统计》课程教学资源（实验指导）4、样本统计量的计算

实验4样本统计量的计算从理论上来讲，统计量可以是样本的任一函数，不过，出于构造统计量的目的是用统计量来推断未知的总体分布或者分布中的未知参数，所以，统计量中不应该含有总体中的未知参数。对样本加工，主要就是构造统计量。用数学的语言说，所谓统计量是一个不含未知参数的样本的已知函数。1实验自的（1）熟练利用Mathematica计算样本统计量X-12x,样本均值nlS2=-2(X,-X)样本方差n-141S=VS2-(X,-X)?样本标准差n-14=↓x, k=1,2,..样本k阶（原点）矩A,=n台1nZ(X,-X), k=1,2...样本k阶中心矩B, = -ni=顺序统计量：将X,X2,,X进行排序。使X() ≤ X(2) ≤...≤X(m)(X(m+1),n=2m+1X=3样本中位数(X(m)+X(m+l)), n=2mL2基本语句(1) Mean[data]1功能：求样本data均值2ni=l(2) Median[data]功能：求样本data的中位数(3)Min[data]功能：求样本data的最小值(4)Max[data]功能：求样本data的最大值(5)Variance[data]

实验 4 样本统计量的计算 从理论上来讲，统计量可以是样本的任一函数，不过，出于构造统计量的目的是用统 计量来推断未知的总体分布或者分布中的未知参数，所以，统计量中不应该含有总体中的 未知参数。对样本加工，主要就是构造统计量。用数学的语言说，所谓统计量是一个不含 未知参数的样本的已知函数。 1 实验目的 （1）熟练利用 Mathematica 计算样本统计量 样本均值 = = n i Xi n X 1 1 样本方差 = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 样本标准差 = − − = = n i Xi X n S S 1 2 2 ( ) 1 1 样本 k 阶（原点）矩 = = n i k k Xi n A 1 1 ， k =1,2,  样本 k 阶中心矩 = = − n i k k Xi X n B 1 ( ) 1 ， k =1, 2 ,  顺序统计量： 将 X X Xn , , , 1 2  进行排序。使 X(1)  X(2)  X(n) 样本中位数      + = = + = + + X X n m X n m X m m m ( ) , 2 2 1 , 2 1 ~ ( ) ( 1) ( 1) 2 基本语句 （1）Mean[data] 功能：求样本 data 均值 = n i i x n 1 1 （2）Median[data] 功能：求样本 data 的中位数 （3）Min[data] 功能：求样本 data 的最小值 （4） Max[data] 功能：求样本 data 的最大值 （5）Variance [data]

1功能：求样本data方差。一)3x.n-li=l(6)StandardDeviation[data]功能：求样本data的标准差-X)2-(7)VarianceMLE[data]功能：求data方差！>2(x,-x)n=l(8)StandardDeviationMLE[data]1"功能：求data的标准差(x, -x)Vn=l(9) Quantile[data, a]功能：求样本data的α分位数的命令(10CentralMoment[data,k]功能：求样本data的k阶中心矩！(x,-x)n-13典型例题例1输入命令data=(1.7,2.3,2.3,2.2,2.3,1.3,1.6,1.8,2.2,1.6);Mean[data]运行结果1.93输入命令Median[data]运行结果2.输入命令Variance[data]运行结果0.137889输入命令StandardDeviation[data]运行结果0.371334输入命令CentralMoment[data,2]运行结果0.1241例2设样本数据为110.1.25.2.50.5.50.5,55.7.30.2.35.4.30.2.4.9.32.3.50.5,30.5,32.3,74.2.60.8求该样本的均值、方差、标准差、中位数。解输入命令d1=(110.1,25.2,50.5,50.5,55.7,30.2,35.4,30.2,4.9,32.3,50.5,30.5,32.3,74.2,60.8);Mean[d]var=Variance[d1]Sqrt[var]Median[d]]运行结果44.8867（*均值为44.8867*）614.89（*方差为614.89*）24.797（*标准差为24.797*）35.4（*中位数为35.4*）

功能：求样本 data 方差 = − − n i i x x n 1 2 ( ) 1 1 （6）StandardDeviation[data] 功能：求样本 data 的标准差 = − − n i i x x n 1 2 ( ) 1 1 （7）VarianceMLE [data] 功能：求 data 方差 = − n i i x x n 1 2 ( ) 1 （8）StandardDeviationMLE[data] 功能：求 data 的标准差 = − n i i x x n 1 2 ( ) 1 （9）Quantile[data,  ] 功能：求样本 data 的  分位数的命令; （10）CentralMoment[data,k] 功能：求样本 data 的 k 阶中心矩 = − n i k i x x n 1 ( ) 1 3 典型例题 例 1 输入命令 data={1.7,2.3,2.3,2.2,2.3,1.3,1.6,1.8,2.2,1.6}; Mean[data] 运行结果 1.93 输入命令 Median[data] 运行结果 2. 输入命令 Variance [data] 运行结果 0.137889 输入命令 StandardDeviation [data] 运行结果 0.371334 输入命令 CentralMoment[data,2] 运行结果 0.1241 例 2 设样本数据为 { 110.1,25.2,50.5,50.5,55.7,30.2,35.4,30.2,4.9,32.3,50.5,30.5,32.3,74.2,60.8} 求该样本的均值、方差、标准差、中位数。 解 输入命令 d1={ 110.1,25.2,50.5,50.5,55.7,30.2,35.4,30.2,4.9,32.3,50.5,30.5,32.3,74.2,60.8}; Mean[d1] var=Variance[d1] Sqrt[var] Median[d1] 运行结果 44.8867 (*均值为 44.8867* ) 614.89 (*方差为 614.89*) 24.797 (*标准差为 24.797*) 35.4 (*中位数为 35.4*)

例3已知样本为dat=(3.2,5.1,1,4,2)，试计算dat的均值、中值、方差、标准差。解输入命令dat=[3.2,5.1,1,4,2)Mean[dat]Median[dat]Variance[dat]StandardDeviation[dat]运行结果3.063.22.6081.61493例4在某工厂生产的某种型号的圆轴中任取20个，测得其直径数据如下15.2815.6315.1315.4615.4015.5615.3515.5615.3815.2115.4815.5815.5715.3615.4815.4615.5215.2915.4215.69求上述数据的样本均值，中位数，分位数，样本方差。解输入命令datal=15.28,15.63,15.13,15.46,15.40,15.56,15.35,15.5615.38,15.21,15.48.15.58.,15.57.15.36.15.48,15.4615.52,15.29,15.42,15.69);Mean[datal]Median[datal]Quartiles[datal]Quantile[datal,0.05]Quantile[datal,0.95]运行结果15.440515.46(15.355,15.46,15.56)15.1315.63即样本均值为15.4405.样本中位数为15.46.样本的0.25分位数为15.355.样本的0.75分位数15.56，样本的0.05分位数是15.13，样本的0.95分位数是15.63输入命令Variance[datal]StandardDeviation[datal]VarianceMLE[data]]StandardDeviationMLE[datal]运行结果0.0206050.1435440.01957480.139910.56即样本方差s2为0.020605，样本标准差S为0.143544，样本方差s*2为0.0195748样本标准差S为0.13991【注意】Variance给出的是无偏估计时的方差，计算公式为Z(x,-x)2，而n-1=l

例 3 已知样本为 dat={3.2,5.1,1,4,2}，试计算 dat 的均值、中值、方差、标准差。 解 输入命令 dat={3.2,5.1,1,4,2}; Mean[dat] Median[dat] Variance[dat] StandardDeviation[dat] 运行结果 3.06 3.2 2.608 1.61493 例 4 在某工厂生产的某种型号的圆轴中任取 20 个，测得其直径数据如下: 15.28 15.63 15.13 15.46 15.40 15.56 15.35 15.56 15.38 15.21 15.48 15.58 15.57 15.36 15.48 15.46 15.52 15.29 15.42 15.69 求上述数据的样本均值，中位数，分位数，样本方差。 解 输入命令 data1={15.28,15.63,15.13,15.46,15.40,15.56,15.35,15.56, 15.38,15.21,15.48,15.58,15.57,15.36,15.48,15.46, 15.52,15.29,15.42,15.69}; Mean[data1] Median[data1] Quartiles[data1] Quantile[data1,0.05] Quantile[data1,0.95] 运行结果 15.4405 15.46 { 15.355,15.46,15.56} 15.13 15.63 即样本均值为 15.4405,样本中位数为 15.46,样本的 0.25 分位数为 15.355,样本的 0.75 分位数 15.56，样本的 0.05 分位数是 15.13，样本的 0.95 分位数是 15.63. 输入命令 Variance[data1] StandardDeviation[data1] VarianceMLE[data1] StandardDeviationMLE[data1] 运行结果 0.020605 0.143544 0.0195748 0.13991 0.56 即样本方差 2 S 为 0.020605，样本标准差 S 为 0.143544，样本方差 *2 S 为 0.0195748 样本 标准差 * S 为 0.13991. 【注意】Variance 给出的是无偏估计时的方差，计算公式为 = − − n i i x x n 1 2 ( ) 1 1 ，而

1nVarianceMLE给出的是总体方差的极大似然估计，计算公式为一乙(一)它比前者稍微nisl小些。习题1.将冀丰1号和冀丰2号玉米品种进行试验，得如下亩产资料：1号：915966100810868888912号：730864742774890764.求出它们的样本均值和样本方差及样本标准差。2.考察幼林胸径，随机观测10株作为样本，原始数据（单位：cm）如下：3.0,2.0，5.5,5.0,3.0，6.5，7.0,4.0，4.0,6.0.试计算样本均值和样本方差

VarianceMLE 给出的是总体方差的极大似然估计，计算公式为 = − n i i x x n 1 2 ( ) 1 ,它比前者稍微 小些。 习题 1. 将冀丰 1 号和冀丰 2 号玉米品种进行试验，得如下亩产资料： 1 号：915 966 1008 1086 888 891. 2 号；730 864 742 774 890 764. 求出它们的样本均值和样本方差及样本标准差。 2.考察幼林胸径，随机观测10株作为样本，原始数据（单位：cm）如下： 3.0， 2.0， 5.5，5.0，3.0，6.5， 7.0，4.0， 4.0，6.0. 试计算样本均值和样本方差

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