《微分几何》课程教学资源（PPT课件）第二章 曲面论 2.7 常高斯曲率的曲面

第七节常高斯曲率的曲面7.1常高斯曲率的曲面设曲面S：r=r(u.v)的高斯曲率为常数，在曲面上任取点P和过P点的任意测地线(C),把(C)作为坐标曲线u-0,即v线中的一条且从P点起的弧长为V，取与（C）正交的测地线簇为线，取这簇测地线的正交轨线（包含（C））为v线，则得到一半测地坐标网，因此曲面的第一基本形式可写为I = ds? = du? +Gdy?由假设√为曲线的弧长，所以dv2 = ds2 =G(0, v)dv2, : G(O, v) = 1,G,(O, v) = 0由第五节习题知，对于半测地坐标网1 α2/Gα?/G+K/G=0K=Ou?JG Qu?根据初始条件G(0,v)=1,G,(O,v)=0这个微方程的通解可按高斯曲率的符号分为三种情况：

第七节 常高斯曲率的曲面 7.1 常高斯曲率的曲面 设曲面 S：r = r(u,v) 的高斯曲率为常数，在曲面上任取点 P 和过 P 点的任意测地线(C),把(C)作为坐标曲线u=0,即v线中的一条， 且从P 点起的弧长为v，取与（C）正交的测地线簇为u线，取这簇 测地线的正交轨线（包含（C））为v线，则得到一半测地坐标网， 因此曲面的第一基本形式可写为 2 2 2  = ds = du + Gdv 由假设 v 为曲线的弧长，所以 由第五节习题知，对于半测地坐标网， (0, ) , (0, ) 1, (0, ) 0. 2 2 2 dv = ds = G v dv  G v = Gu v = 0. 1 2 2 2 2 + =      = − K G u G u G G K 根据初始条件 这个微方程的通解可按高斯曲率的符号分为三种情况： G(0,v) =1,G (0,v) = 0. u

以上三种情形可从微分方程的理论中推得，例如（1）正常数高斯曲率（K>0）的曲面，方程a?/G+KVG=0Qu?的通解为 G=A(v)cos/Ku+B(v)sin Ku这里A(v),B(v)都是v的函数，由初始条件G(0,v) = 1,G,(0,v) = 0可得 A(v)=1，,B(v)=0。第一基本形式为I = ds? = du? + cos? Kudy例：球心在原点，半径为R的球面

以上三种情形可从微分方程的理论中推得，例如： G = A(v) cos Ku + B(v)sin Ku （1）正常数高斯曲率（K>0）的曲面，方程 的通解为 这里A(v),B(v)都是 v 的函数，由初始条件 可得 A(v)=1，,B(v)=0。第一基本形式为 0. 2 2 + =   K G u G G(0,v) =1,G (0,v) = 0. u 2 2 2 2  = ds = du +cos Kudv 例：球心在原点，半径为 R 的球面

(2）K=0，则微方程的通解为VG=A(v)+B(v)u，由初始条件得√G=1，因此 I=du2+dv2与平面的第一基本形式相同，或者说与平面等距。（3）K<0，则微分方程的解为G = A(v)cosh - Ku+ B(v)sinh - Ku由初始条件得 A(v)=1，,B(v)=0I = ds? = du? +cosh? -Kudy下一节讨论这种情形

（2）K=0 ，则微方程的通解为 G = A(v) + B(v)u ，由初始条 件得 因此 与平面的第一基本形式相同，或者说与平面等距。 G =1, 2 2  = du + dv （3）K<0，则微分方程的解为 由初始条件得 下一节讨论这种情形。 G = A(v) cosh − Ku + B(v)sinh − Ku A(v)=1，,B(v)=0 2 2 2 2  = ds = du +cosh −Kudv

7.2 伪球面（负高斯曲率的曲面）1、定义：设曲线（C）上任一点的切线上介于切点和z轴之间的线段始终保持定长α，此曲线称为电物线，z轴称为它的渐近线。2、电物线的方程设它的参数表示为 x=x(t)，z-z(t),曲线上一点 P(x,z)的切线的dxdzdxdz），故切线上一点的坐标是x+αz+α的方向为dt"dtdtdtdxX=0=α=-如果这点在oz轴上，则横坐标为0，即x+α1.dtdt求得曲线在P点的切线与z轴的交点的坐标为(0,z-xdz//dx由两点间距离公式得Va?-x?dz*+(-xd/d) =a' =→++=α2dz =±dxdxx令x=asint并两边积分x=asin t得电物线方程为：z= ±a(ln tan +cost)

7.2 伪球面 （负高斯曲率的曲面） 1、定义：设曲线（C）上任一点的切线上介于切点和z 轴之间的 线段始终保持定长a ，此曲线称为曳物线，z 轴称为它的渐近线。 2、曳物线的方程 设它的参数表示为 x=x(t) , z=z(t) ,曲线上一点 P(x,z) 的切线的 的方向为 ，故切线上一点的坐标是 如果这点在 oz 轴上，则横坐标为0，即 求得曲线在 P 点的切线与z 轴的交点的坐标为 由两点间距离公式得 { , } dt dz dt dx { , } dt dz z dt dx x + + dt dx x dt dx x + = 0  = − {0, } dx xdz z − dx x a x a dz dx dz a x x dx xdz x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) −  =  =       + − =  + 令 x=asint 并两边积分 得曳物线方程为：    =  + = (ln tan cos ) sin 2 z a t x a t t

3、伪球面将ozx平面上的电物线绕oz由旋转一周所得的旋转面叫伪球面，它的参数表示为x =asin tcosoy=asintsin z=±a(ln tan +cost)计算知I=ds?=du2+Gdy2=du2+α?edy2因此它的坐标曲线网是一个半测在坐标网，线是测地线，其高斯曲率为1 α?/G1K=G Qu?Va'e所以伪球面为负高斯曲率的曲面。这样我们得到：常高斯曲率的曲面有：当K>0时，曲面与球面等距，K-0时与平面等距，K<0时与伪球面等距

3、伪球面 将 ozx 平面上的曳物线绕oz 由旋转一周所得的旋转面叫伪 球面，它的参数表示为      =  + = = (ln tan cos ) sin sin sin cos 2 z a t y a t x a t t   计算知 因此它的坐标曲线网是一个半测在坐标网，u线是测地线，其高 斯曲率为 2 2 2 2 2 2 2 ds du Gdv du a e dv a u  = = + = + 所以伪球面为负高斯曲率的曲面。 . 1 ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 a a e a e u G G K a u a u = −  = −   = − 这样我们得到：常高斯曲率的曲面有：当K>0 时，曲面与 球面等距，K=0 时与平面等距，K<0 时与伪球面等距

4、命题：若通过伪球面的第一基本形式 I=ds2(dx?+dy2)把它经过保角变换映射到平面上，则伪球面的测地线对应于园心在x轴上的园。要证明这个命题，先作保角变换：x=V,y=e%adydx = dv, du = - 9y-.I = ds? = du? +αedy?2与平面第一基本形式成比例，因此从曲面上的点到平面上的点的变换是保角变换。现在来看看它的测地线：d'ukdu' duj一kZi=0 , k=1,2十1ds?ds dsi.j现在u =x, u =y, Ih =0 , Il =i=-y.Iz=0 , Fi=, F2=i=0, Iα=-y

4、命题：若通过伪球面的第一基本形式 把它经过保角变换映射到平面上，则伪球面的测地线对应于 园心在 x 轴上的园。 ( ) 2 2 2 2 2 dx dy y a  = ds = + 要证明这个命题，先作保角变换： , , a u x v y e − = = y ady dx = dv,du = − ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx dy y a ds du a e dv a u   = = + = + 与平面第一基本形式成比例，因此从曲面上的点到平面上 的点的变换是保角变换。现在来看看它的测地线： 0 , 1,2 , 2 2 + = k = ds du ds du ds d u i j i j k i j k 现在 , 1 , 0 , 1 0 , , 1 , , 0 , 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 y y y u x u y  =  =  =  =  = − = =  =  =  = −

代入测地线方程有2xyK=1时， +(--)(+x)=0→:0JIx-j2=0K-2时,j+=(xx-ji)=0→ü+?yV_ 2x=0,x-y所以测地线方程为-2i+=0yxx2xjxα(常数)0==0=由第一式y322yyL_Plx中立由第二式+ ox = 00=二++y7y山yyi二+ox=β(常数)积分之y

       = − + − = 0. 0, 2 2 2 y x y y y xy x      代入测地线方程有 K=1时， 0 2 )( ) 0 1 + (− + =  − = y xy xy xy x y x      K=2时， ( ) 0 0 1 2 2 = − + − =  + y x y xx yy y y y       所以测地线方程为 由第一式 0 0 ( ) 2 2 3 2   =  2 = 常数       − =   y x y x y xy y x    由第二式 0 0 2 2 2 2 2 + =         + =         − + =    x y y y x y y y x y y y y         积分之 +x = (常数) y y

dy__-ox+β除以 x= ay2 得dxxay11积分y2=(常数)3x+x22整理得(x-c)2 +y2 =r2这是xoy平面上园心在x轴上的园的方程，命题得到证明。下面考虑xoy平面上在x轴上方的半平面，我们称之为罗氏平面，伪球面上的测地线经过保角变换映成罗氏平面上园心在x轴上的半园，我们把这半园称为罗氏直线，因此经过罗氏平面上任两点P，到P，正好有一条罗氏直线连结它们，通过保角变换，过伪球面上任两点，也就有唯一条测地线连结它们

除以 x  =y 2 得 y x x y dx dy  − +  = =   积分 ( ) 2 1 2 1 x 2 − x + y 2 =  常数 整理得 2 2 2 (x −c) + y = r 这是 xoy 平面上园心在 x 轴上的园的方程，命题得到证明。 下面考虑 xoy 平面上在 x 轴上方的半平面，我们称之为罗氏 平面，伪球面上的测地线经过保角变换映成罗氏平面上园心在 x 轴上的半园，我们把这半园称为罗氏直线，因此经过罗氏平 面上任两点P1 到P2 正好有一条罗氏直线连结它们，通过保角 变换，过伪球面上任两点，也就有唯一条测地线连结它们

7、3罗氏几何1、罗氏平面上的距离设P(x,y),P(x2,y）是罗氏平面上的两点，通过保角变换，它们对应伪球面上两点，连结这两点有唯一条测地线，我们把这两对应点之间的测地线的弧长定义为P，到P，的罗氏距离。a由 I= ds? (dx?tdyVdx? + dy?(xi,y1)(x)得s(P,P) =dsJ(x2.y2)J(x2,y2)y积分沿着P，和P,对应的伪球面上两点之间的唯一测地线进行注意到测地线的方程为（x-c)2+2=r2x, =c+rcos0作坐标变换「x=c+rcos0i=1,2>y, =rsin 0y=rsin 02eVdx? + dy20detan(xi,J)s(P, P) :a ln tanalna62|0sin 00tanyX2.V22

7、3 罗氏几何 1、罗氏平面上的距离 设 是罗氏平面上的两点，通过保角变换， 它们对应伪球面上两点，连结这两点有唯一条测地线，我们把 这两对应点之间的测地线的弧长定义为 P1 到P2 的罗氏距离。 ( , ), ( , ) 1 1 1 2 2 2 P x y P x y ( ) 2 2 2 2 2 dx dy y a 由  = ds = +   + = = ( , ) ( , ) 2 2 ( , ) ( , ) 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) x y x y x y x y y dx dy 得 s P P ds a 积分沿着P1 和P2对应的伪球面上两点之间的唯一测地线进行， 注意到测地线的方程为 作坐标变换 2 2 2 (x −c) + y = r 令    = = +   sin cos y r x c r 1,2 sin cos =    = = + i y r x c r i i i i   2 2 1 2 ( , ) ( , ) 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 tan tan ln 2 ln tan sin ( , )          a a d a y dx dy s P P a x y x y = = = + =  

设罗氏直线P,P,与x轴的交点为P.和P，由于这四点在一园周上，我们定义它们的非调和比（PP2,PP。），在园上取一点S, sin ZPSP。, sin ZPSP定义（PP2,PP)=SIP2sin PSP.sinZP,SPP0元ZPSHTP22028Pe元sinsin222(PP, PP2200222元Ssinsin222001cOssin22tan221e2tan2sincOs222tan因此罗氏距离公式为2 s(P,P)=αln=aα ln(PP2, P.P.)9tan2

设罗氏直线P1 P2与 x 轴的交点为P0和P∞，由于这四点在一园周 上，我们定义它们的非调和比 (P1 P2 ,P0 P ) ，在园上取一点S， P2 P1 P0  P S        = P SP PSP P SP PSP PP P P 2 1 2 0 1 0 1 2 0 sin sin : sin sin ( , ) 2 2 ( ) 2 1 1 1 0 1   PSP =  − = − 2 sin 2 sin : 2 2 sin 2 2 sin ( , ) 2 1 2 1 1 2 0             −       − PP P P = 2 2 2 1 2 1 1 2 tan tan 2 sin 2 sin : 2 cos 2 cos       =             = 因此罗氏距离公式为 ln( , ) tan tan ( , ) ln 1 2 0 2 2 1 2 1 2 P P = a = a PP P P s   定义