《微分几何》课程教学大纲

《微分几何》教学大纲一、总则1、本课程的教学目的和要求：微分几何是综合性大学数学系各专业的重要基础课，也是应用性很强的一门数学课。微分几何课的目的一方面使学生学好作为数学基础的微分几何课，以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础：另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。2、本课程的主要内容：本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论。主要内容有：（1）曲线论，内容包括：向量函数及其微积分，曲线的切线、法平面，曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率和Frenet公式、曲线的局部结构及曲线论的基本定理、几类特殊曲线等。（2）曲面论，内容包括：曲面的基本概念、切平面、法线曲线族和曲线网，曲面的第一基本形式和第一类基本量等概念，第二基本形式、渐进线、共抛线、主方向和曲率线、曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构，直纹面和可展曲面，曲面论的基本定理，测地线，常Gauss曲率的曲面等。3：教学重点与难点：本课程的重点空间曲线和曲面论的基本概念、技巧、方法和理论。难点是抽象性及用微分方程解决几何问题。4本课程的知识范围及相关课程的关系：本课程以微积分、线性代数、空间解析几何，微分方程等为基础课。而微分几何又是现代微分方程和现代实、复分析的重要基础。5教材的选用：根据具体情况与教学实践，选用梅向明、黄敬之编写的《微分几何》。二、课程内容及学时分配。第一章曲线论第一节向量代数复习1、教学内容。复习解析几何中向量的基本概念和运算。2、教学目的及要求。熟练掌握向量的基本运算：加、减、数积和向量积及其性质。3、教学重点与难点。向量的基本运算及其性质。10

10 《微分几何》教学大纲 一、总 则 1、本课程的教学目的和要求： 微分几何是综合性大学数学系各专业的重要基础课，也是应用性很强的一门数学课。微分 几何课的目的一方面使学生学好作为数学基础的微分几何课，以便为以后进一步学习、研究现 代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。 2、本课程的主要内容： 本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论。主要内容有： （1） 曲线论，内容包括：向量函数及其微积分，曲线的切线、法平面，曲线的密切面、基本 三棱形，曲率、挠率和 Frenet 公式、曲线的局部结构及曲线论的基本定理、几类特殊曲 线等。 （2） 曲面论，内容包括：曲面的基本概念、切平面、法线曲线族和曲线网，曲面的第一基本 形式和第一类基本量等概念，第二基本形式、渐进线、共扼线、主方向和曲率线、曲面 的主曲率、Gauss 曲率和平均曲率，曲面的局部结构，直纹面和可展曲面，曲面论的基本 定理，测地线，常 Gauss 曲率的曲面等。 3 教学重点与难点： 本课程的重点空间曲线和曲面论的基本概念、技巧、方法和理论。难点是抽象性及用微分 方程解决几何问题。 4 本课程的知识范围及相关课程的关系： 本课程以微积分、线性代数、空间解析几何，微分方程等为基础课。而微分几何又是现代 微分方程和现代实、复分析的重要基础。 5 教材的选用： 根据具体情况与教学实践，选用梅向明、黄敬之编写的《微分几何》。 二、课程内容及学时分配。 第一章 曲线论 第一节 向量代数复习 1、 教学内容。 复习解析几何中向量的基本概念和运算。 2、教学目的及要求。 熟练掌握向量的基本运算：加、减、数积和向量积及其性质。 3、教学重点与难点。 向量的基本运算及其性质

4、教学时间分配及进度安排。2学时。5、主要教学环节的组织。课堂讲授。第二节向量函数1、教学内容。向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等。2、教学目的及要求。熟练掌握向量函数的微积分运算，具有特殊条件的向量函数的性质。3、教学重点与难点。向量函数的微积分学，基本运算及其性质。4、教学时间分配及进度安排。4学时。5、主要教学环节的组织。课堂讲授与习题课相结合。第三节曲线的概念1、教学内容。曲线的基本概念、切线和法面的求法，曲线的弧长，自然参数的引进。2、教学目的及要求。掌握曲线的基本概念，理解曲线的基本概念、切线和法面的求法，曲线的弧长，自然参数的引进。3、教学重点与难点。基本概念及其几何意义，切线、法面、弧长的计算。4、教学时间分配及进度安排。4学时。5、主要教学环节的组织。课堂讲授。第四节空间曲线1、教学内容。曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率、Frenet公式，曲线的局部结构和基本定理。2、教学目的及要求。掌握曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率等概念并会其求法、理解、会用Frenet公式、曲线的局部结构和基本定理。3、教学重点与难点。密切面、曲率、挠率的计算，Frenet公式的运用，曲线的局部结构和基本定理的理解。4、教学时间分配及进度安排。8学时。5、主要教学环节的组织。11

11 4、教学时间分配及进度安排。 2 学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授。 第二节 向量函数 1、 教学内容。 向量函数的极限、连续、微分、Taylor 展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等。 2、教学目的及要求。 熟练掌握向量函数的微积分运算，具有特殊条件的向量函数的性质。 3、教学重点与难点。 向量函数的微积分学，基本运算及其性质。 4、教学时间分配及进度安排。 4 学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授与习题课相结合。 第三节 曲线的概念 1、 教学内容。 曲线的基本概念、切线和法面的求法，曲线的弧长，自然参数的引进。 2、教学目的及要求。 掌握曲线的基本概念，理解曲线的基本概念、切线和法面的求法，曲线的弧长，自然参 数的引进。 3、教学重点与难点。 基本概念及其几何意义，切线、法面、弧长的计算。 4、教学时间分配及进度安排。 4 学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授。 第四节 空间曲线 1、 教学内容。 曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率、Frenet 公式，曲线的局部结构和基本定理。 2、教学目的及要求。 掌握曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率等概念并会其求法、理解、会用 Frenet 公式、 曲线的局部结构和基本定理。 3、教学重点与难点。 密切面、曲率、挠率的计算，Frenet 公式的运用，曲线的局部结构和基本定理的理解。 4、教学时间分配及进度安排。 8 学时。 5、主要教学环节的组织

课堂讲授、例题分析。第五节特殊曲线1、教学内容。平面曲线论、一般螺线，Bertrand曲线。2、教学目的及要求。掌握平面曲线论的基本概念与理论及其与空间曲线的区别；一般螺线和Bertrand曲线的基本特征。3、教学重点与难点。平面曲线的结构和基本定理，一般螺线和Bertrand曲线的基本特征。8学时。4、教学时间分配及进度安排。5、主要教学环节的组织。课堂讲授、例题分析。第二章曲面论第一节曲面的概念1、教学内容。简单曲面的参数表示，曲面的法线、切面，曲面的曲线（族）网。2、教学目的及要求。熟练掌握简单曲面及其上面曲线族（网）的特征，会求曲面的法线、切面等。3、教学重点与难点。简单曲面及其上面曲线族（网）的特征，曲面的法线、切面的求法等。4学时。4、教学时间分配及进度安排。5、主要教学环节的组织。课堂讲授。第二节曲面的第一基本形式1、教学内容。曲面的第一基本形式，曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角、曲面域面积的计算，等距（角）变换等。2、教学目的及要求。掌握曲面第一基本形式及相关量的计算，并理解其几何意义。3、教学重点与难点。意义的理解等。曲面第一基本形式及相关量的计算，第一基本形式几何6学时。4、教学时间分配及进度安排。5、主要教学环节的组织。课堂讲授与习题课相结合。12

12 课堂讲授、例题分析。 第五节 特殊曲线 1、 教学内容。 平面曲线论、一般螺线，Bertrand 曲线。 2、教学目的及要求。 掌握平面曲线论的基本概念与理论及其与空间曲线的区别；一般螺线和 Bertrand 曲线的 基本特征。 3、教学重点与难点。 平面曲线的结构和基本定理，一般螺线和 Bertrand 曲线的基本特征。 4、教学时间分配及进度安排。 8 学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授、例题分析。 第二章 曲面论 第一节 曲面的概念 1、 教学内容。 简单曲面的参数表示，曲面的法线、切面，曲面的曲线（族）网。 2、教学目的及要求。 熟练掌握简单曲面及其上面曲线族（网）的特征，会求曲面的法线、切面等。 3、教学重点与难点。 简单曲面及其上面曲线族（网）的特征，曲面的法线、切面的求法等。 4、教学时间分配及进度安排。 4 学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授。 第二节 曲面的第一基本形式 1、 教学内容。 曲面的第一基本形式，曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角、曲面域面积的计算，等距 （角）变换等。 2、教学目的及要求。 掌握曲面第一基本形式及相关量的计算，并理解其几何意义。 3、教学重点与难点。 曲面第一基本形式及相关量的计算，第一基本形式几何 意义的理解等。 4、教学时间分配及进度安排。 6 学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授与习题课相结合

第三节曲面的第二基本形式1、教学内容。曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等。2、教学目的及要求。掌握曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念，会相关运算。3、教学重点与难点。理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等意义，会进行他们的计算。4、教学时间分配及进度安排。10学时。5、主要教学环节的组织。课堂讲授例题分析。第四节直纹面与可展曲面1、教学内容。直纹面、可展曲面。2、教学目的及要求。掌握直纹面和可展曲面的定义与基本特征。3、教学重点与难点。直纹面和可展曲面的定义与基本特征及判定定理，包络线（面）的求法。4学时。4、教学时间分配及进度安排。5、主要教学环节的组织。课堂讲授、例题分析。第五节曲面论的基本定理1、教学内容。曲面论的基本定理及相关概念。2、教学目的及要求。掌握、理解曲面论基本定理的内容及相关概念与符号。3、教学重点与难点。曲面的第一、二类基本量满足的方程，曲率张量等符号的记法与特点，曲面论的基本定理的内容等。4、教学时间分配及进度安排。8 学时。5、主要教学环节的组织。课堂讲授、例题分析。13

13 第三节曲面的第二基本形式 1、 教学内容。 曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和 曲率线，主曲率、Gauss 曲率和平均曲率，曲面的局部结构等。 2、教学目的及要求。 掌握曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方 向和曲率线，主曲率、Gauss 曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念，会相关运算。 3、教学重点与难点。 理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向 和曲率线，主曲率、Gauss 曲率和平均曲率等意义，会进行他们的计算。 4、教学时间分配及进度安排。 10 学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授例题分析。 第四节 直纹面与可展曲面 1、 教学内容。 直纹面、可展曲面。 2、教学目的及要求。 掌握直纹面和可展曲面的定义与基本特征。 3、教学重点与难点。 直纹面和可展曲面的定义与基本特征及判定定理，包络线（面）的求法。 4、教学时间分配及进度安排。 4 学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授、例题分析。 第五节 曲面论的基本定理 1、 教学内容。 曲面论的基本定理及相关概念。 2、教学目的及要求。 掌握、理解曲面论基本定理的内容及相关概念与符号。 3、教学重点与难点。 曲面的第一、二类基本量满足的方程，曲率张量等符号的记法与特点，曲面论的基本定理 的内容等。 4、教学时间分配及进度安排。 8 学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授、例题分析

第六节曲面上的测地线1、教学内容。曲面上曲线的测地曲率与测地线，测地线的特征，半测地坐标网，Gauss-Bonnet公式，极小曲面等。2、教学目的及要求。掌握、理解测地曲率和测地线、半测地坐标网的定义及其几何意义，理解Gauss-Bonnet公式及曲面上向量的平行移动，极小曲面的特征等。3、教学重点与难点。地曲率和测地线、半测地坐标网的定义及其几何意义，Gauss-Bonnet公式及曲面上向量的平行移动，极小曲面的特征等。4、教学时间分配及进度安排。10学时。5、主要教学环节的组织。课堂讲授、例题分析。第七节常Gauss曲率的曲面1、教学内容。常Gauss曲率曲面，伪球面，罗巴切夫斯基几何简介。2、教学目的及要求。掌握常Gauss曲率曲面的求法，理解罗氏几何学的特点与思想。3、教学重点与难点。常Gauss曲率曲面的求法，理解罗氏几何学的特点与思想。4学时。4、教学时间分配及进度安排。5、主要教学环节的组织。课堂讲授、例题分析。三、教学参考书。（1）吴大任，《微分几何讲义》。（2）陈维桓等，《微分几何讲义》。14

14 第六节 曲面上的测地线 1、 教学内容。 曲面上曲线的测地曲率与测地线，测地线的特征，半测地坐标网，Gauss-Bonnet 公式，极小 曲面等。 2、教学目的及要求。 掌握、理解测地曲率和测地线、半测地坐标网的定义及其几何意义，理解 Gauss-Bonnet 公式 及曲面上向量的平行移动，极小曲面的特征等。 3、教学重点与难点。 地曲率和测地线、半测地坐标网的定义及其几何意义， Gauss-Bonnet 公式及曲面 上向量的平行移动，极小曲面的特征等。 4、教学时间分配及进度安排。 10 学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授、例题分析。 第七节 常 Gauss 曲率的曲面 1、 教学内容。 常 Gauss 曲率曲面，伪球面，罗巴切夫斯基几何简介。 2、教学目的及要求。 掌握常 Gauss 曲率曲面的求法，理解罗氏几何学的特点与思想。 3、教学重点与难点。 常 Gauss 曲率曲面的求法，理解罗氏几何学的特点与思想。 4、教学时间分配及进度安排。 4 学时。 5、主要教学环节的组织。 课堂讲授、例题分析。 三、教学参考书。 （1） 吴大任，《微分几何讲义》。 （2） 陈维桓等，《微分几何讲义》