《拓扑学》课程教学大纲 Topology

课程名称：拓扑学课程编号：H19129英文名称：Topology课程属性：专业课学时：48学分：3.0先修课程：数学分析、高等代数、抽象代数适用专业：数学与应用数学一、课程简介拓扑学的理论和方法已成为现代数学的基础之一。要想进一步学习现代数学，必须了解拓扑学的基本概念和方法。另外，拓扑学作为最一般的几何学，其渗透力已经远远超出数学本身。希望学生通过本课程的学习了解拓扑学的基本方法以及要解决的基本问题，并为后续的学习打下基础。本课程以课堂讲授为主，部分章节留给学生自学。二、课程内容及学时分配教 环节课时安排学讨论实验上机讲课习题课其它合计4课84048第一单元：引言（建议学时数：2学时）【学习目的和要求】本单元主要讲述拓扑学的起源和一些例子。通过这些例子，希望学生了解拓扑学研究内容。另外，作为本课程的开始，将介绍本课程的一些常用符号。【重点】1.拓扑学的起源与例子：哥尼斯堡七桥问题（起源）、欧拉定理、四色定理。2.本课程符号约定。【难点】拓扑学的例子第二单元：拓扑空间与连续性（建议学时数：14学时）【学习目的和要求】本单元主要讲授拓扑空间的几个基本概念与性质。希望学生在掌握基本概念的基础上了解拓扑学的研究方法，培养抽象思维能力。具体内容包括：掌握拓扑空间的基本概念与常用的几种拓扑；掌握连续与同胚的概念与等价描述：掌握几种分离性以及它们之间的关系；掌握Tietze扩张定理。【重点】拓扑空间、开集、闭集、稠密性、连续性、分离性、扩张定理。【难点】拓扑空间、连续性。第三单元：紧致性与连通性（建议学时数：14学时）【学习目的和要求】本单元主要讲授拓扑空间的两个重要性质：紧致性与连通性。要求学生掌握紧致空间及其性质，掌握Lebesgue数与Lebesgue引理；掌握乘积拓扑及其性质；掌握连通与道路连通的概念以及两者的区别和联系。【重点】

课程名称：拓扑学 课程编号：H19129 英文名称：Topology 课程属性：专业课 学 时：48 学 分：3.0 先修课程：数学分析、高等代数、抽象代数 适用专业：数学与应用数学 一、课程简介 拓扑学的理论和方法已成为现代数学的基础之一。要想进一步学习现代数学，必须了解拓扑学 的基本概念和方法。另外，拓扑学作为最一般的几何学，其渗透力已经远远超出数学本身。希望学 生通过本课程的学习了解拓扑学的基本方法以及要解决的基本问题，并为后续的学习打下基础。 本课程以课堂讲授为主，部分章节留给学生自学。 二、课程内容及学时分配 教 学 环 节 课 时 安 排 讲 课 习 题 课 讨 论 课 实 验 课 上 机 其 它 合 计 40 8 48 第一单元：引言（建议学时数：2学时） 【学习目的和要求】 本单元主要讲述拓扑学的起源和一些例子。通过这些例子，希望学生了解拓扑学研究内容。另 外，作为本课程的开始，将介绍本课程的一些常用符号。 【重点】 1.拓扑学的起源与例子：哥尼斯堡七桥问题（起源）、欧拉定理、四色定理。 2.本课程符号约定。 【难点】 拓扑学的例子 第二单元：拓扑空间与连续性（建议学时数：14学时） 【学习目的和要求】 本单元主要讲授拓扑空间的几个基本概念与性质。希望学生在掌握基本概念的基础上了解拓扑 学的研究方法，培养抽象思维能力。具体内容包括：掌握拓扑空间的基本概念与常用的几种拓扑； 掌握连续与同胚的概念与等价描述；掌握几种分离性以及它们之间的关系；掌握Tietze扩张定理。 【重点】 拓扑空间、开集、闭集、稠密性、连续性、分离性、扩张定理。 【难点】 拓扑空间、连续性。 第三单元：紧致性与连通性（建议学时数：14学时） 【学习目的和要求】 本单元主要讲授拓扑空间的两个重要性质：紧致性与连通性。要求学生掌握紧致空间及其性 质，掌握Lebesgue数与Lebesgue引理；掌握乘积拓扑及其性质；掌握连通与道路连通的概念以及两 者的区别和联系。 【重点】

紧致、局部紧致、Lebesgue引理、乘积拓扑、连通、道路连通【难点】紧致、连通与道路连通第四单元：商空间（建议学时数：10学时）【学习目的和要求】本单元将讨论如何利用空间的粘合，从简单空间构造出新空间。要求学生掌握商拓扑与商空间，拓扑群的定义和性质，群作用与轨道空间，以及一些重要的群作用与轨道空间例子。【重点】商拓扑与商空间、拓扑群的定义和性质、群作用与轨道空间、群作用与轨道空间例子。【难点】商拓扑与商空间、群作用与轨道空间第五单元：基本群（建议学时数：8学时）【学习目的和要求】本单元属于代数拓扑的范畴。通过本单元的学习，希望学生建立起代数与拓扑的联系。要求学生掌握同伦的相关概念与性质，掌握基本群的概念。【重点】同伦与同伦等价、收缩与可缩空间、基本群与基本群的同伦不变性【难点】同伦与同伦等价、收缩与可缩空间、基本群与基本群的同伦不变性三、考核方式及要求闭卷考试期末考试成绩占总成绩的70%，平时成绩占总成绩的30%四、教材及参考书教材《拓扑学》，北京师范大学数学科学学院主著，高红铸、赵旭安、苏效乐编著，北京师范大学出版社，2010年8月第1版。参考书1.《基础拓扑学讲义》，尤承业编著，北京：北京大学出版社。2.《基础拓扑学》，MA.Armstrong著，孙以丰译，北京：北京大学出版社。五、责任认定1.大纲执笔人：罗翠玲2.大纲审定人：3.制定时间：2013年6月

紧致、局部紧致、Lebesgue引理、乘积拓扑、连通、道路连通 【难点】 紧致、连通与道路连通 第四单元：商空间（建议学时数：10学时） 【学习目的和要求】 本单元将讨论如何利用空间的粘合，从简单空间构造出新空间。要求学生掌握商拓扑与商空 间，拓扑群的定义和性质，群作用与轨道空间，以及一些重要的群作用与轨道空间例子。 【重点】 商拓扑与商空间、拓扑群的定义和性质、群作用与轨道空间、群作用与轨道空间例子。 【难点】 商拓扑与商空间、群作用与轨道空间 第五单元：基本群（建议学时数：8学时） 【学习目的和要求】 本单元属于代数拓扑的范畴。通过本单元的学习，希望学生建立起代数与拓扑的联系。要求学 生掌握同伦的相关概念与性质，掌握基本群的概念。 【重点】 同伦与同伦等价、收缩与可缩空间、基本群与基本群的同伦不变性 【难点】 同伦与同伦等价、收缩与可缩空间、基本群与基本群的同伦不变性 三、考核方式及要求 闭卷考试 期末考试成绩占总成绩的70%，平时成绩占总成绩的30%. 四、教材及参考书 教材 《拓扑学》，北京师范大学数学科学学院主著，高红铸、赵旭安、苏效乐编著，北京师范大学 出版社，2010年8月第1版。 参考书 1.《基础拓扑学讲义》，尤承业编著，北京：北京大学出版社。 2. 《基础拓扑学》，M.A. Armstrong著，孙以丰译，北京：北京大学出版社。 五、责任认定 1.大纲执笔人： 罗翠玲 2.大纲审定人： 3.制定时间：2013年6月