《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第四章 解析函数的级数表示 4.1 第一节 复数项级数

复变函数第一节复数项级数复数列的极限一、二、级数的概念三、典型例题四、小结与思考U

一、复数列的极限 二、级数的概念 第一节 复数项级数 三、典型例题 四、小结与思考

复变函数一、复数列的极限1.定义设{α,}(n=1,2,)为一复数列,其中αn=an+ibn，又设α=a+ib为一确定的复数如果任意给定8>0,相应地都能找到一个正数N(),使αn-αN时成立那末α称为复数列{α当n→8时的极限记作limα,=α.n-00此时也称复数列α，收敛于αU

2 一 、复数列的极限 1.定义 如果任意给定   0,相应地都能找到一个正 数 N( ), 使 在 n N 时成立,   n     那末 称为复数列 { }当n   时的极限,   n 记作 lim  .  n n 此时也称复数列 { }收敛于. n 设{ n } (n  1,2,)为一复数列,其中 , n n n   a  ib 又设  a  ib 为一确定的复数

复变函数2.复数列收敛的条件复数列{α,}(n=1,2,)收敛于α的充要条件是lima,=a,limb..= b.nn>00证如果limαn=α，那末对于任意给定的ε>0n-就能找到一个正数N，当n>N时.(an +ibn) -(a +ib)<,U

3 2.复数列收敛的条件 复数列{ n }(n  1,2,)收敛于 的充要条件是 lim a a, lim b b . n n n n     lim  ,  n n 如果 那末对于任意给定的  0 就能找到一个正数N, 当n  N 时, (a  ib )  (a  ib)   , n n 证

复变函数从而有an-a≤(an-a)+i(bn-b)00c-2c-b-b那末当n>N时,an-a<<22U

4 a  a  (a  a)  i(b  b)   , 从而有 n n n lim a a. n n   所以 lim b b. n n   同理 . 2 , 2   an  a  bn  b  反之, 如果 lim a a, lim b b, n n n n     那末当 n  N 时

复变函数从而有αn-α=(an +ibn)-(a +ib)= (an -a) + i(bn - b)≤an-a+bn-b<s,所以limαn = α.[证毕]n00定理一说明：可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性U

5 从而有 (a ib ) (a ib)  n   n  n   (a a) i(b b)  n   n  定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. lim .  n n 所以 [证毕]  a  a  b  b   , n n

复变函数课堂练习：下列数列是否收敛？如果收敛，求出其极限1 + ni(1) zn1-ni1(2) zn =(-1)"-n+1nTi2(3) Zn一en山

6 课堂练习: 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限. ; 1 1 (1) ni ni zn    ; 1 (2) ( 1)     n i z n n . 1 (3) 2 n i n e n z   

复变函数二、级数的概念1.定义设{α,}={an+b,}(n=1,2,)为一复数列8Z表达式αn=α+α2 +...+αn+..n=1称为复数项无穷级数部分和其最前面 n 项的和Sn=αi+α2++αn 称为级数的部分和U

7 二、级数的概念 1.定义 设{ }  {a  b }(n  1,2,)为一复数列,  n n n        n n  n 1  2  1 表达式 称为复数项无穷级数. 其最前面 n 项的和 n n s 1  2  称为级数的部分和. 部分和

复变函数收敛与发散8Zα,收敛,如果部分和数列s，收敛，那末级数n=1并且极限艮limS，=s称为级数的和，n0如果部分和数列(s,}不收敛，8Zα,发散.那末级数n=-1说明：与实数项级数相同，判别复数项级数敛散性的基本方法是：利用极限lims, = s.n→U

8 收敛与发散 如果部分和数列 { }收敛, ns , 1 那末级数  收敛  n  n 并且极限 lim s s 称为级数的和 . n n   说明: lim s s. n n   利用极限 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散 性的基本方法是: 如果部分和数列 { }不收敛, ns . 1 那末级数  发散  n  n

复变函数8Z例如，级数z"n=01-z"7n-Sn=1+z+z+..+z(z ± 1),1-z7-7lim s, = lim由于当z<1时,1-zn8n-01-Z所以当z<1时级数收敛U

9 , : 0   n n 例如 级数 z 2 -1 1 n ns   z  z  z 由于当 z  1时, ( 1), 1 1     z z z n z z s n n n n      1 1 lim lim , 1 1 z  所以当 z  1时级数收敛

复变函数2.复数项级数收敛的条件8000N定理二级数Cαn=Z(an+ib,)收敛的充要条件n=1n=188ZZ和b都收敛a111n=1n=1证因为 Sn=αi +α2 +.+αn=(a +a2 +...+an)+ i(b +b2 +...+bn=n+itn'U

10 2.复数项级数收敛的条件 证 因为 n n s 1  2  ( ) ( ) 1 2 n 1 2 n  a  a  a  i b  b  b , n n    i ( ) 1 1 级数   收敛的充要条件       n n n n n  a ib . 1 1  和 都收敛     n n n n a b 定理二