《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第二章 解析函数 2.3 第三节 初等函数

复变函数第三节初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂αb与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考U

第三节 初等函数 一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂a b 与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考

复变函数一、指数函数1.指数函数的定义：当函数f(z）在复平面内满足以下三个条件：(1)f(z)在复平面内处处解析(2) f(z) = f(z);(3)当Im(z) = 0时, f(z)=ex,其中x =Re(z)此函数称为复变数的指数函数，记为expz = e*(cos y + isin y)U

2 一、指数函数 1.指数函数的定义: 当函数 f (z)在复平面内满足以下三个条件: (1) f (z)在复平面内处处解析; (2) f (z) = f (z); (3) Im(z) 0 , f (z) e , x Re(z). x 当 = 时 = 其 中 = exp (cos sin ) , z e y i y z x = + 此函数称为复变数 的指数函数 记 为

复变函数指数函数的定义等价于关系式：Iexpz [= e*,(其中k为任何整数)Arg(expz) = y + 2kπ,指数函数expz可以用e来表示。e" =e*(cos y+isin y)注意e没有幂的意义只是代替expz的符号U

3 指数函数的定义等价于关系式: ( ) Arg(exp ) 2 , | exp | , 其中k为任何整数 z y k z e x    = +  = 指数函数exp 可以用 来表示. z z e e e (cos y isin y) z x = + 注 意e 没有幂的意义,只是代替expz的符号. z

复变函数2.加法定理expzi : expzz = exp(z + z2)证 设 z=+i，=X+i左端=expzi·expz2= e*i(cos yi +isin yr)·e*2 (cos y2 + isin y2)= e*i+x2[(cS y1 cOs y2 - sin y1 sin y2)]+ i[(sin yi cos y2 + cos yi sin y2))= exi+x2 [cos(yi + y2)+ isin(y1 + y2)]=exp( +zz)=右端U

4 2. 加法定理 exp exp exp( ) 1 2 1 2 z  z = z + z 证 , , 1 1 1 2 2 2 设 z = x + iy z = x + iy 1 2 左端 = exp z  exp z (cos sin ) (cos sin ) 1 1 2 2 1 2 e y i y e y i y x x = +  + [(sin cos cos sin )] [(cos cos sin sin )] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 i y y y y e y y y y x x + + = − + [cos( ) sin( )] 1 2 1 2 1 2 e y y i y y x x = + + + + exp( ) . = z1 + z2 = 右端

复变函数根据加法定理,可以推出expz的周期性expz的周期是2ki,即 ez+2kni =ez.e2knii=e. (其中k为任何整数)该性质是实变指数函数e*所没有的例1 设z = x +iy,求(1)lei-2zl; (2)e; (3)Re(e");因为e" =ex+iy = e*(cos y+isin y)解E所以其模e=e，实部Re(e"）=excosyU

5 根据加法定理,可以推出exp z的周期性, exp z的周期是2ki, . z 2k i z 2k i z e = e  e = e 即 +   (其中k为任何整数) 该性质是实变指数函数 所没有的. x e 例1 , (1) ; (2) ; (3)Re( ); 1 2 2 i z z z z x iy e e e − 设 = + 求 解 e e e (cos y isin y) z x iy x = = + 因为 + e e , Re(e ) e cos y. z x z x 所以其模 = 实部 =

复变函数(1) ei-2z = ei-2(x+iy)= e-2x+i(1-2y)ei-2z= e-2x:(2) e = e(x+i) = e+-y2+2xyie= e--y';IX+i2Fex+yixx-+y(3) ez =e二X1y2Re(e")= e**+ycos22x2+yu

6 i z e 2 (1) − i 2( x iy ) e − + = , 2x i(1 2 y) e − + − = ; i 2z 2 x e e − − = 2 (2) z e 2 ( x iy) e + = , 2 2 2 x y xyi e − + = ; 2 2 2 z x y e e − = = z e 1 (3) x yi e + 1 , 2 2 2 2 x y y i x y x e + − + + = Re( ) cos . 2 2 1 2 2 x y y e e x y x z + = +

复变函数例2求出下列复数的辐角主值：(1)e2+i; (2)e2-3i; (3)e3+4i; (4)e-3-4i; (5)eiα -eiB(0≤β<α≤2元)解因为e"=e+i =e*(cos y+isin y)的辐角(k为整数)Arge" = y+2kπ其辐角主值arge为区间(-元,元内的一个辐角arge2+i = l;(1) Arge2+i =1+2k元,2-3i(2)Arge2-3i = -3 + 2k元,3i = -3;argeU

7 例2 解 求出下列复数的辐角主值: (0 2π). (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) 2 2 3 3 4 3 4    − + − + − −   i i i i i i e e e e e e 因为e e e (cos y isin y)的辐角 z x iy x = = + + Arge y 2k (k为整数) z = +  其辐角主值arg 为区间(-,]内的一个辐角. z e (1) Arg 1 2 , 2 = +  + e k i arg 1; 2 = +i e (2) Arg 3 2 , 2 3 = − +  − e k i arg 3; 2 3 = − − i e

复变函数(3)e3+4i.Arge3+4ie3+4i=4-2元;=4+2k元， arge(4)e-3-4i:Arge-3-4iarge-3-4i = -4 + 2元;i=-4+2k元，(5)eiα -eip = cosα + isinα -(cos β+ isin β)=(cosα -cos β)+i(sinα - sin β)α-βα+βα+βα-β+ 2icos=-2sinsinsin2222α-βα+βα+β 2sin=sin+icos222U

8 Arg 4 2 , 3 4 = +  + e k i arg 4 2 ; 3 4 = −  + i e Arg 4 2 , 3 4 = − +  − − e k i arg 4 2 ; 3 4 = − +  − − i e i i (5)e − e (3) ; 3 4i e + (4) ; 3 4i e − − = cos + isin − (cos  + isin  ) = (cos − cos  ) + i(sin − sin  ) 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 2sin     +   −  + + − = − i       + + + − − = 2 cos 2 sin 2 2sin      i

复变函数π+α+β元+α+βα-β= 2sin+isincos222α-β因为0≤β0,2上式就是复数eiα-eiβ 的三角表示式所以 Arg(eiα-e'P)=π+α+β+ 2k元,2π+α+β当α+β≤时,arg(eiα一eiβ)=2元+α+β当α＋β>时,arg(eiα-ei)=2元2U

9       + + + − + + = 2 π sin 2 π cos 2 2sin      i 因为 0     2π, 0, 2 sin   −  上式就是复数 的三角表示式. i i e − e Arg( ) i i 所以 e − e 2 π, 2 π + k + + =   当 +   π时, arg( ) i i e − e , 2 π + +  = 当 +   π时, arg( ) i i e − e 2π. 2 π − + + =  

复变函数N例3 求函数 f(z)=es 的周期.解e的周期是2k元i.z+10k元iNZ.+2k元if(z) =es =e55=e= f(z +10k元i),N故函数 f(z)=e5的周期是10k元i.1

10 例3 求函数 ( ) 5 的周期. z f z =e 解 e 2k i, z 的周期是  5 ( ) z f z =e k i z e +  = 2 5 5 z 10k i e +  = 故函数 f (z) e5 的周期是10k i. z =  = f ( z + 10 k i)