《复变函数与积分变换》课程教学资源（教材讲义）第二章 解析函数

1第二章解析函数解析函数足本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用，本章先引人复变函数的导数概念。然后讨论解析函数，介绍函数解析的一个充分必要条件.它是用函数的实部和虚部所具有的微分性质来表达的，接着介绍几个初等函数，这些初等函数是最常用的丽数·因而特别重要，82.1解析函数的概念2.1.1复变函数的导数设函数=f（）在点。的某邻域内有定义十是定义2.1邻域内征一点一f（十△）一），如果=limf(z+）-J()limAA2存在有限的极限值A，则称f（）在2处可导、A记作（2）或dw，即dzf(z0+Az)-f(z)(2)=lim(2. 1)Az-或A=f()A+ ) (-→0)(2.2)也称df（）=（）或（d为（）在z处的微分，故也称f（2）在20处可微由定义易知，如果f（之）在之：处可导（或可微），则（）在之处连续

/多2.1解析函数的概念33.F(c)±g(2),f(z)g(2)以及()(（g（）≠0）在D上为解析，且有g(2)[f(z) ±g(z) =f(z) ±g(z)/(2)g(z)] =f'(2)g(z) + f(z)g(z),f(z)fi(z)g(α) f(z)g (z)g()[g(2)2此外，很容易知道常数的导数是0，以及(z")"n"（n为自然数），f（）=（）（为常数）（2）复合函数的求导法则设函数E-（z）在区域D内为解析，丽数=g（)在区域G内为解析，又f（D)CGD）表示函数号f（）的值域，也就是区域D的像），则复合函数=g（f（））=h（）在L)内为解析，且有h'(2) = [g((2))] = g(f(2))f(2).（3）反函数的求导法则设函数=f（）在区域D内为解析且f（）≠0，义反函数2f1()=αw)存在且为连续，则1g'(w)f(z)f(o())re)例 2. 3 求函数 5(e)-2十3的解析性区城及该区域上的导4z+1函数。解设P（）=25—+3，Q（）=42十1，P和Q都是z的多项式，由函数（n为任意自然数）在全平面解析的事实以及乘积与和、差的求导法则知P和Q都在全平面解析.而由商的求导法则知当Q（）≠0时f（2）=P（）/Q（）为解析，又方程Q（）=0即4z2+1=0的1=十iI的区域内f（z）解是=因此在全平面除去点AIE2472为解析.）的导数可如下计算：P'(z)Q(±) - P(2)Q(2)f(z)= [Q(z)]

第二章解析函效. 34-（4+1)(101)—(2—+3)(8)(4+ 1)21元10*+1z-21元-1(4z2 + 1)-$2.1.3函数解析的一个充分必要条件设函数一（）在区域D内为解析，根据复变函数与二元实变函数的联系，我们自然要问：作为解析函数的实部与虚部的两个一元函数有什么特性？下述定理回答了这个问题定理2.1函数(）(,y)+i()在=+iy处导的充要条件是，u(.y),y)在点（r.y)处可微，而直满足柯西一黎曼（Cauchy-Riemann）方程（简称C-R方程）：(2.3)滋clr证先证必要，设f(）在一iv处可导，记作（）=十、则由（2.2)式有f(+）-f()=a+)+)= (α + ib)(4t -) + 0(1a1)其中f（+）f（z）=u十i,=r+idy分开实部和虚部，得w(r+Ary+Ay)-(r,y)=bay+o(Al),v(r + Ar,y + Ay) u(r.y) = Ar + aay+ o(ldl).可见u(y)及u(r,y)在点r,y)处可微.并有uh-a=a=-b-"ayar再证充分性.设u，u在（a，y）处可微且（2.3）式成立.则有Au =u(r,y)Ar + u,(r.y)Ay + o(iAzi),A - v(I.y)Ar + v(r.y)Ay + o(IAD).于是由(2.3)式知AwAu+=[u(,y) + iv(+y)(Ar iv) + o([Az),因而

132.1解析函数的概念-35A0=us(r.y) + iv'(r,)=a--bi.limA23由上讨论可见，当定理2.1的条件满足时，可按下列公式之一计算'(z).chtn+idP()=ar-aradr.ia-a-ia(2. 4)arayythy注意，C-R条件只是函数，（）可导的必要条件而并非充分条件这个道理可以很简单地说明因为，一个二元函数在某一点有偏导数甚至不能保证函数在该点为连续，更不要说在该点为可微了，例如取两个函数u(ry)与(r.)如下：xy+y≠0,2+32u(r,y) = w(,y) s1o.+y = 0,再令f(）=ury）+iu（y）则f（）在2=0这点就满足=02=0ar-ayardy但f（）在20处不连续的，从而是不可导的如果考虑区域上的解析函数，由定理2.1就可以得到下面的结论，定理2.2函数f（）=u（xy）十iu（r，y)在区域D内解析（即在D)内可导）的充要条件是，u（r，y）和v(r，v）在ID内处处可微，而且满足 C-R方程.推论设（）一u(y)十iw(，y)在区域D内有定义，如果在D内ury)和wy的四个偏导数u，u，，存在且连续，并且满足C-R方程，则f（）在D内解析证由于u（，y)和ry)具有阶连续偏导数，因而u(y和u(y)在D内可微.由定理2.2知f(）在1内解析上述定理提供了判断函数（2）在区域I）内是否解析（或在某点是否可导）的方法，即F（z）在D内不满足CR方程，则f（z）在D内不解析：如果在D内满足C-R方程，而Hu和"具有-阶连续偏导数，则

第二章36解析函数厂（z）在D内解析.并给出了一个简洁的导数公式（2.4）例2.4讨论下列函数的可导性和解析性、(1) w-Re 2; (2)w= [z]2;(3)f(z)=e(cos y+isin y)解（1）因为u=1，=0,日2=1，0.=0，d=oardyaz小可知C-R方程不满足，所以w二Rc在复平面内处处不可导，从而也处处不解析，(2)效二|22十,所以十,=0.且au=2x,3y=0at= 2y,ar=0ardy可见C-R方程只在点（0，0）成立.由定理2.1知该函数在2=0处可导且由（2.4）知（0）一0.对于其它之≠0的点，这个函数不可导，所以这个函数在之一0处不解析.从而在复平面上处处不解析，(3)因为u-e'cos y,u=e'sin y,且tu孔te'cosyaye'sinyare'sinyaye'cosy,ar从而C-R方程满足，并且由于上面四个一阶偏导数均连续，所以f（z）在复平而内处处可导，故也处处解析.根据（2.4)式，有f(e)=a+ia=e(cos y+isiny) =f(z).arar例2.5如果厂(z）在区域D内解析，而且满足下列条件之一，则f(z)在D内为常数(1)f(z)=0；（2)Re(z)=常数；（3）|f(z)/为常数utaama:chrau证(1) 由f(z):一一0和=axiaay-ayayaxay0,故u，V都是常数，从面f(z)在D内为常数(2）因为u二常数,故豊一号daau一0.由C-R方程知字0，所以atraydrayf(z)为常数

$2.2解析函数和调和函教的关系-37 :（3）（）=u十一常数，分别对，求偏导数得rhtauattdti=0,110.tax2F3ydrdy由 C-R 方程得rhidnanithu0.0.#axr+Ltaxdyay所以(u+)2yh=0-0.(u?axhy当十一0时=一0，故）一0因而得证cht_du=0,做u一常数，再由（2)知F（z）在D内当十+0时aay为常数82.2解析函数和调和函数的关系2.2.1调和函数的概念平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是一种特殊的二元实函数，即所谓调和函数，它们都与某种解析函数有着密切的关系.下面给出调和函数的定义定义2.3如果二元实函数g，y)在区域D内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯（Iaplace）方程+=0.粉+则称，y)为区域D内的调和函数，或说函数(x，y)在区域D内调和.定理2.3设函数f(z）=u（r.)→iwx.)在区域D内解析，则f(）的实部u(,y）和虚部(.y）都是区域内的调和函数证因f(）在区域D内解析，所以u，U在D内满足C-R方程

第二章·38*解析函数-一一aa当f（之）解析时4.有任意阶连续偏导数（这一事实本书后面将要指明）在上述二式中分别对与文求偏导数，得子u-&u--duauay2,arayayararu子u因arayyar，于是u净uu + at-=0.ar十ayaraylyer这就是说，(x，y）是区域D内的调和函数，同理，u（αy)也是区域I)内的调和函数。2.2.2共轭调和函数定义2.4设函数g(r,y)及(ry)均为区域D内的调和函数，且满足C-R方程ardyaxthy则称中是中的共轭调和函数显然，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数.反过来，由具有共轭性质的两个调和函数构造一个复变函数是不是解析的？下面的定理（证明从略）回答了这个问题定理2.4复变函数f（z）u(r,y）十iv(r，y)在区域I）内解析的充分必要条件是：在区域D内，f（）的虚部（，y）是实部u（，y）的共钜调和函数根据这个定理，便可利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数，82.2.3解析函数与调和函数的关系由于共轭调和函数的这种关系，如果知道了其中的一个，则可根据

解析函数第二章· 40 .a=e'(cos y - ysin y+ rcos y) + 1,ay由au-e'(cos y-ysin y+cos y)+1ary得[e'(cos y - ysin y + zcos y) + 1Jdrc'(rcos y - ysin y) + r + g(y).ar一u，得由anaye'(ycosy+rsiny+sinv)+1=e'(rsin y + ycos y + sin y) -- g'(y).故g（y）=一y十C，因此u=e'(rcos y- ysin y)+ x-y+c,从而f(z) =e(rcos y- ysin y) + a -y++ire'(ycos y+rsin y)+r+yreew+iyeey+r(1+i)+iy(1+i)+C.它可以写成f() =ze +(1 +i)+C由f(0)=0,得C0.故所求的解析函数为f(z) = ze" +(1 +i)α.设u（x，y）为单连通区域D内的一个调和函数，下而介绍利用曲线积分求u（，y）共轭调和函数的方法，我们从C-R条件知道，函数u决定了函数的全微分，即du - ardr + andy =- da + dy.aydrd在高等数学课程中知道，当D为单连通区域时，上式右端的积分（指第二型曲线积分）与路径无关，而即可表示为audrctdy+ C,v(I,y)ayarD-YG!

2.3初等函数其中（ruya）为D内一定点，C为任意实常数类似地，可以从，V)求出u（+y）例2.8求解析函数fz）u+i,已知n2-+y.f(i)一-1 +i.解容易验证是全平面.1的调和函数，利用C-R条件.先求出U的两个偏导数。auaih=2+y2y-X，drdyaydr则(2y-a)dr+(2r+y)dy+C(1) -(- )dr+(2r+y)dy+CIx2 +2ay+专-C.2所以1r+2y-f()= (r-y+ y) +i( ~+25-li(α +iy)+ ic=(1=(r+iy)2 -z+ iC221又因为f(i)=一1十i,所以C=.结果得到2i1(z)2282.3初等函数与初等实变函数一样，初等复变两数也是一种最简单、最基本而常用的函数类，在复变函数论及其应用中有很大的重要性，在初等数学里曾用初等方法（几何的、代数的）讨论过初等函数，揭示了它们的一些性质，在高等数学里我们曾用分析的方法讨论过，并得到许多新的有用的

12.3初等函数.43·-e++.这就得到(2.5)ee'. e-（3）从欧拉公式可知，对于任意整数有3R=cos(2k元）+isin(2k元）=1,再由指数运算法则得到e-2km= e'c2km- cf.因此e是以2k元i（=1，±2，）为周期的函数，这个性质是实变量指数函数所没有的（4）复变量指数函数e当z趋向于×时没有极限，这是因为：当沿实轴正向趋向于x时，有lime'=lime'-+x;-50而当沿负实轴负向趋向于x时，有lim e= lim e'-0.C这个性质值得我们注意例2.9计算e+予的值，解根据指数定义算出cos+isin个e3.4/2V2221/2V2i.22-2+i 3例2.10利用复数的指数表示计算+21解因为5e"r-eretang）2+i5urtun+ 21