《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量与分布函数

第2章随机变量及其分布：1.随机变量与分布函数2.离散型随机变量的概率分布·3.连续型随机变量的概率分布

第2章 随机变量及其分布 ❖ 1. 随机变量与分布函数； ❖ 2. 离散型随机变量的概率分布； ❖ 3. 连续型随机变量的概率分布

1.1随机变量与分布函数为了全面地研究随机试验的结果，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将试验的结果按照某规则数量化，这就需要引入随机变量的概念

1.1 随机变量与分布函数 为了全面地研究随机试验的结果，我 们将随机试验的结果与实数对应起来，将 试验的结果按照某规则数量化，这就需要 引入随机变量的概念

随机变量1.定义：设随机试验的样本空间为Q，若对样本点の，都存在一个实数X(の)与之对应，即存在一个定义于上的单值实函数 X= X(の)，则称X(の)为随机变量2.注：1）X的随机性：2以后的事件表示为[X=a),>a}[a<X≤b)等等

1.定义：设随机试验的样本空间为 ，若对 样本点 ，都存在一个实数 与 之对应，即存在一个定义于 上的单值 实函数 ，则称 为随机变量. 2.注：1）X的随机性； 2）以后的事件表示为{X=a}, {X>a}, {a<X≤b}等等.    X()  X = X () X() 一.随机变量

例 1E：掷硬币观察正反面出现的情况。它有两个可能的结果：出现正面H或出现反面T，即试验的样本空间 U= [e} = [{H, T} 。引入变量X,O,e=TX = X(e) :l,e = HX是定义在样本空间上的函数。由于试验结果的出现是随机的，因而函数X（e）的取值是随机的，我们称X(e)为随机变量

例 1 E:掷硬币观察正反面出现的情况。它有两个可能的 结果：出现正面 H 或出现反面 T，即试验的样本空 间 U={e}={H,T}。 引入变量 X,    = = = = e H e T X X e 1, 0, ( ) X 是定义在样本空间上的函数。 由于试验结果的出现是随机的，因而函数 X(e)的 取值是随机的，我们称 X(e)为随机变量

例2E：掷殷子，观察出现的点数。以X记出现的点数，试验的样本空间为U=[e} =[1, 2, 3, 4, 5, 6) 。X是定义在样本空间上的函数，即X =X(e)=eX也是随机变量

例2 E:掷骰子，观察出现的点数。以 X 记出 现的点数，试验的样本空间为 U={e}={1,2,3,4,5,6}。 X 是定义在样本空间上的函数,即 X 也是随机变量。X = X(e) = e

随机变量随着试验的结果而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预知它取什么值。引入随机变量X后，就可以用随机变量X描述事件。例如在例 1中，X取值 1，记为(X=1}，它表示事件(H);一般地，对于任意的实数集合L，X在L上取值写成(X E L)，它表示事件leX(e)E L)

引入随机变量 X 后，就可以用随机变量 X 描述事件。 例如在例１中，Ｘ取值 1，记为X = 1，它表示事件 H； 一般地，对于任意的实数集合 L,X 在 L 上取值， 写成{X  L}，它表示事件{e | X(e) L}。 随机变量随着试验的结果而取不同的值，因而在试验之 前只知道它可能取值的范围，而不能预知它取什么值

二.分布函数在引入随机变量的概念后，任一事件都可用随机变量X表示为XEU：而在实际问题中，事件往往表示为{X=a}，{X>a)}，{a<X<b}等等。同时由于P(a<X≤b)= P(X≤b)- P(X≤a)P(X = b}= P[X≤b}- lim P(X≤a)a-b-0

二.分布函数 在引入随机变量的概念后，任一事件都可用 随机变量 X 表示为{X∈U}．而在实际问题中，事 件往往表示为{X=a}, {X>a}, {a<X≤b}等等. 同时由 于 { } { } lim { } { } { } { } 0 P X b P X b P X a P a X b P X b P X a a b = =  −    =  −  → −

所以，我们只要把形如X<x上的概率分布讨论清楚了，随机变量X的概率分布情况也就掌握了为此，我们引入以下定义1.定义设X是一个随机变量，X是任意实数，函数F(x)= P(X≤x)称为随机变量X的分布函数

1.定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函 数 F(x) = P{X  x} 称为随机变量 X 的分布函数。 所以, 我们只要把形如{X≤x}上的概率分布讨论清 楚了,随机变量 X 的概率分布情况也就掌握了. 为 此,我们引入以下定义

X≤X2.几何意义：如果将X看作数轴上随机点的坐标，则分布函数F(x)的值就表示X落在区间（-80，x)的概率

2.几何意义：如果将 X 看作数轴上随机点的坐标 , 则分布函数F(x)的值就表示X 落在区间 (-, x] 的 概率. x  X  x

分布函数 F(x)具有以下的性质(1)F(x)是一个不减的函数。即对任意实数xj,x,，且x,<x2，有F(x2)-F(x)=P(x) <X≤x}≥0(2)0≤F(x)≤1, 且F(-) = lim F(x)= 0F(+oo) = lim F(x) = 1x+0

分布函数 F(x)具有以下的性质: (1) F(x)是一个不减的函数。 即对任意实数 1 2 x , x ，且 x1  x2 ，有 F(x2 ) − F(x1 ) = P{x1  X  x2 }  0 (2)0  F(x)  1，且 (−) = lim ( ) = 0, →−  F F x x (+) = lim ( ) = 1 →+  F F x x