《概率论与数理统计》课程教学资源（电子教案）第3章 随机向量及其分布

第3章随机向量及其分布3.1二维随机变量的概率分布教学内容：教材46-50页，主要内容：二维随机变量的定义、分布函数及其性质。二维离散型随机变量的分布列及性质、二维连续型随机变量的密度函数，性质及概率计算。教学目的：（1）理解二维随机变量的实际意义，理解二维随机变量分布函数的意义，掌握二维随机变量分布函数的性质：（2）熟练掌握二维离散型随机变量的定义，分布列的表示方法和性质，掌握二维离散型随机变量分布列的一般求解过程；（3）理解二维连续型随机变量分布密度函数的意义及性质，掌握由密度函数求概率的计算方法：（4）了解二维均匀分布。教学的过程和要求：一。二维随机变量的引入（利用生活中的例子，如书中本章引言部分的例子或其它）。二维随机变量的引入：在很多实际问题中，试验结果需要用两个或两个以上的随机变量才能描述，而且这些随机变量之间往往都有一定的联系，例如：研究儿童的生长发育状况，儿童的身高X和体重Y是两个随机变量，并且X与Y之间又有一定的相关性因而我们有必要将X、Y放在一起作为一个整体进行研究，并将（X，Y)称为二维随机变量。下面给出二维随机变量的具体定义定义：设Q=(0)为样本空间，X=X(0)和Y=Y(o)是定义在Q上的随机变量，则由它们构成的一个二维向量（X,Y）称为二维随机变量（或二维随机向量)。二。对比一维随机变量分布函数的定义给出二维随机变量分布函数的定义及性质；画出二维随机变量取值范围的图形，帮助理解分布函数的意义；3.1.1二维随机变量分布函数：1.定义：设（X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x、y，称二元函数F(x,y)=p(X≤x,Y≤y)为二维随机变量（X，Y)的分布函数或随机变量X与Y的联合分布函数，它表示随机事件(X≤x)与(Y≤同时发生的概率,2.定理：分布函数F(x,y)具有下列性质：1°（有界性）对于任意实数x,y，都有

第 3 章 随机向量及其分布 3.1 二维随机变量的概率分布 教学内容：教材 46-50 页，主要内容：二维随机变量的定义、分布函数及其性质。 二维离散型随机变量的分布列及性质、二维连续型随机变量的密度函数，性质及 概率计算。 教学目的： （1）理解二维随机变量的实际意义，理解二维随机变量分布函数的意义，掌握 二维随机变量分布函数的性质； （2）熟练掌握二维离散型随机变量的定义，分布列的表示方法和性质，掌握二 维离散型随机变量分布列的一般求解过程； （3）理解二维连续型随机变量分布密度函数的意义及性质，掌握由密度函数求 概率的计算方法； （4）了解二维均匀分布。 教学的过程和要求： 一. 二维随机变量的引入（利用生活中的例子，如书中本章引言部分的例子或 其它）。 二维随机变量的引入： 在很多实际问题中，试验结果需要用两个或两个以上的随机变量才能描述， 而且这些随机变量之间往往都有一定的联系. 例如：研究儿童的生长发育状况， 儿童的身高 X 和体重 Y 是两个随机变量，并且 X 与 Y 之间又有一定的相关性. 因 而我们有必要将 X、Y 放在一起作为一个整体进行研究，并将（X，Y) 称为二维随 机变量。下面给出二维随机变量的具体定义 定义：设W = {w} 为样本空间， X X = {w} 和Y Y = {w}是定义在W 上的随机 变量,则由它们构成的一个二维向量 ( X Y, ) 称为二维随机变量(或二维随机向 量)。 二. 对比一维随机变量分布函数的定义给出二维随机变量分布函数的定义及性 质；画出二维随机变量取值范围的图形，帮助理解分布函数的意义； 3.1.1 二维随机变量分布函数： 1.定义：设(X，Y) 是二维随机变量，对于任意实数 x、y，称二元函数 F(x，y) = p{X £ x，Y £ y} 为二维随机变量(X，Y) 的分布函数或随机变量 X 与 Y 的联合分布函数，它表示随 机事件{X £ x}与{Y £ y}同时发生的概率. 2.定理：分布函数F(x, y) 具有下列性质： o 1 （有界性）对于任意实数 x, y ，都有

0≤F(x,y)≤1,F(+00,+0) = 1F(-00, y) = F(x,-00) = F(-00,-00) = 02°（单调性）F(xy)是x,y的单调不减函数，即对于任意实数x,y，都有F(x,J)≤F(x2,y),X<X2F(x,y)≤F(x,y2) ,yi<y23°（右连续性）F(x,J)关于xy都是由连续的，即对于任意实数x,y，都有F(x+0,y)= F(x,y)F(x, y+ 0)= F(x,y)3.二维联合分布函数F(x,y)的区域演示图：Y..:(x,y)XAXYX三．离散型随机变量的分布列的表示方法、性质和一般求法，书中例3.1.13.1.2二维离散型随机变量及其分布：1.定义：如果二维随机变量（X，Y)可能取的值为有限对或无限可列多对实数，则称（X，Y）为二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X，Y)所有可能的取值为(x，y）（i，j=1,2,)，且对应的概率为p(X=x, Y=y,)=pyi, j=l, 2

( , ) ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) 1, ( , ) 1 -¥ = -¥ = -¥ -¥ = £ £ +¥ +¥ = F y F x F F x y F o 2 （单调性） F(x, y) 是 x, y 的单调不减函数，即对于任意实数 x, y ，都有 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , F x y F x y y y F x y F x y x x £ < £ < o 3 （右连续性） F(x, y) 关于 x, y 都是由连续的，即对于任意实数 x, y ，都有 ( , 0) ( , ) ( 0, ) ( , ) F x y F x y F x y F x y + = + = 3. 二维联合分布函数F(x, y) 的区域演示图： 三. 离散型随机变量的分布列的表示方法、性质和一般求法，书中例 3.1.1 3.1.2 二维离散型随机变量及其分布： 1.定义：如果二维随机变量 (X，Y) 可能取的值为有限对或无限可列多对实 数，则称(X，Y) 为二维离散型随机变量. 设二维离散型随机变量(X，Y) 所有可能的取值为(x ，y ) (i，j =1，2，L) i j ，且对 应的概率为 p(X = x ，Y = y } = p ， i，j =1，2,L. i j ij X Y x y { X≤x , } Y≤y (x,y)

则称上式为二维随机变量（X，Y)的概率分布或X与Y的联合概率分布：也常用表格表示如表3.1表3.1V片J2X............xPuPi2PuX2.....P21PnPaj1三主主......*.....xPtPizPy:：：：..........2.二维离散型随机变量的分布列的性质：r2)1)pu≥0,i, j=1, 2,.*.ZPy =1=3.二维离散型随机变量的分布列的求法：例3.1.1设随机变量X在1，2，3，4中等可能的取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值，求（X,Y）的分布律。解：由乘法公式容易求得(X，Y)的分布律为P(X =i,Y = j) = P(X =i) = P(X =i,Y = j)1 147(X，Y)的联合概率分布用表格形式即为表3.2表3.2Y1234X1000141100288111031212121111416161616

则称上式为二维随机变量(X，Y) 的概率分布或X与Y的联合概率分布. 也常用表 格表示如表 3.1 表 3.1 Y X 1 y 2 y . j y . 1 x 11 p 12 p . j p1 . 2 x 21 p 22 p . j p2 . M M M . M . i x i 1 p i2 p . ij p . M M M . M . 2.二维离散型随机变量的分布列的性质： 1） pij ³ 0，i，j =1, 2,L. 2）åå +¥ = +¥ = = 1 1 1 i j ij p 3.二维离散型随机变量的分布列的求法： 例 3.1.1 设随机变量 X 在 1，2，3，4 中等可能的取值，另一个随机变量Y 在1 ~ X 中等可能地取一整数值，求（X,Y）的分布律。 解：由乘法公式容易求得(X，Y) 的分布律为 i P X i Y j P X i P X i Y j 1 4 1 { , } { } { , } = × = = = = = = = (X，Y) 的联合概率分布用表格形式即为表 3.2 表 3.2 Y X 1 2 3 4 1 4 1 0 0 0 2 8 1 8 1 0 0 3 12 1 12 1 12 1 0 4 16 1 16 1 16 1 16 1

四.对比一维随机变量给出二维随机变量的密度函数，着重说明密度函数的性质及其在求概率中的应用，并举例3.1.2。3.1.3二维连续型随机变量及其分布：1.定义：设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，J)，如果存在非负可积的二元函数f(x，y)，使得对任意实数x、y，有F(x, y)= [m[f(x、y)dxd)则称(X，Y)为二维连续型随机变量，称函数F(x，J)为二维随机变量(X，Y)的分布密度函数或概率分布密度或随机变量X和Y的联合分布密度函数。同时称相应的分布为连续分布。2.定理3.1.2对于二维连续型随机变量(X,Y)的分布密度f(x,y)和分布函数F(x,J)具有下列性质：1°在整个二维平面上f(x,y)满足f(x,J)≥0, (x0,y>0f(x,)0,其他求系数A与(X,Y)的分布函数F(x,y)以及概率P(Y≤X)。解：由

四. 对比一维随机变量给出二维随机变量的密度函数，着重说明密度函数的性质 及其在求概率中的应用，并举例 3.1.2。 3.1.3 二维连续型随机变量及其分布： 1.定义：设二维随机变量(X，Y) 的分布函数为 F(x，y) ，如果存在非负可积的二 元函数 f (x，y) ，使得对任意实数 x、y，有 ò ò -¥ -¥ = x y F(x，y) f (x、y)dxdy 则称(X，Y) 为二维连续型随机变量，称函数 f (x，y) 为二维随机变量(X，Y) 的分 布密度函数或概率分布密度或随机变量X和Y的联合分布密度函数. 同时称相应 的分布为连续分布。 2.定理 3.1.2 对于二维连续型随机变量( X Y, ) 的分布密度 f (x, y)和分布函数 F(x, y) 具有下列性质： o 1 在整个二维平面上 f (x, y)满足 ( ) ïþ ï ý ü = ³ > = - + 0， 其他 , 0, 0 , 2 Ae x y f x y x y 求系数 A 与(X ,Y )的分布函数 F(x, y) 以及概率 P{Y £ X}。 解：由

1- f(x,)dxdy= Ae-2+)dxdy=知A=2，故(X,Y)的分布密度J2e-(2x+), x>0,y>0f(x,y):其他0,对f(xy)积分即知(X,Y)的分布函数为F(x, y)= J" " (x、)dxdy["2e-2*dxf'e-'dy ,x > 0, y>0[o,其他[({-e-2*)1-e"), x>0,y>0其他[0,概率PX)为P(≤x)= J[2e-(2+)dxdy= " 2e-*dxf"e-'dy0VJ"2e-(i-e yx = }五．对比一维均匀分布，给出二维均勺分布的密度函数，举例3.1.3说明其应用1.二维均匀分布：定义：（二维均勾分布）设平面区域D的面积为A>0，若二维随机变量（X,Y)具有密度函数[1(x,J)eDf(x,y)=A[o,(x,y)& D则称（X,Y)服从区域D上的二维均匀分布2.二维均匀分布的应用：例3.1.3：设国际市场上甲、乙两种产品的需求量（单位：吨）是服从区域G上的均匀分布，G=((x,y)2000<x≤4000,3000y≤6000)，试求两种产品需求量的差建不超过1000吨的概率.m解：设甲、乙两产品的需求量分别是X和Y，则

( ) ò ò ò ò +¥ +¥ - + +¥ -¥ +¥ -¥ = = = 0 0 2 2 1 ( , ) A f x y dxdy Ae dxdy x y 知 A = 2 ，故( X Y, )的分布密度 ( ) ( ) î í ì > > = - + 0， 其他 2 , 0, 0 , 2 e x y f x y x y 对 f (x, y)积分即知(X ,Y )的分布函数为 ò ò -¥ -¥ = x y F(x，y) f (x、y)dxdy ïî ï í ì > > = ò ò - - 0， 其他 2 , 0, 0 0 0 2 e dx e dy x y x y x y ( )( ) î í ì - - > > = - - 0， 其他 1 1 , 0, 0 2 e e x y x y 概率 P{Y £ X}为 { } ( ) ( ) 3 1 2 1 2 2 0 2 0 0 2 0 2 = - = £ = = ò òò ò ò +¥ - - +¥ - - 0，若二维随机变量(X,Y) 具有密度函数 ï î ï í ì Ï Î = x y D x y D f x y A 0, ( , ) , ( , ) 1 ( , ) 则称(X,Y) 服从区域 D 上的二维均匀分布. 2.二维均匀分布的应用： 例 3.1.3：设国际市场上甲、乙两种产品的需求量（单位：吨）是服从区域G 上 的均匀分布，G ={(x, y) 2000 < x £ 4000 , 3000 < y £ 6000}，试求两种产品需求量的差 不超过 1000 吨的概率. 解：设甲、乙两产品的需求量分别是 X 和Y ，则

(X，Y)的联合密度为1(x,y)eGf(x,J)=6x106[o,(x,y)eG所求概率为(X，Y)落入如图3-4阴影处的概率图3-4 4000x+10001p(Y-X≤1000)=p(-1000≤YX≤1000)=dxdy=J30006x1062000

(X，Y) 的联合密度为 ï î ï í ì Ï Î = ´ x y G x y G f x y 0 , ( , ) , ( , ) 6 10 1 ( , ) 6 所求概率为(X，Y) 落入如图 3-4 阴影处的概率 图 3-4 p{Y - X £1000} = p{-1000 £ Y - X £1000} ò ò + = ´ = 1000 3000 6 4000 2000 3 1 6 10 x 1 dx dy

3.2边缘分布教学内容：教材51-53页，主要内容：二维随机变量的边缘分布、二维离散型随机变量的边缘分布律、二维连续型随机变量的分布律。教学目的：（1）理解二维离散型随机变量边缘分布的意义，掌握其边缘分布的计算；（2）理解二维连续型随机变量边缘分布的意义，掌握其边缘分布的计算；教学的过程和要求：一．首先说明研究边缘分布的意义，由一维随机变量的分布函数引入边缘分布的分布函数。就离散型随机变量给出其边缘分布列的表示方法和求解方法并举例3.2.1；就连续型随机变量给出边缘密度和边缘分布函数及求解方法并举例3. 2.2;1.边缘分布的意义：二维随机变量（X，Y）作为一个整体，有它的概率分布，无论是离散型还是连续型，都可以用分布函数F(x，y)来刻画而分量X和Y也都是随机变量，也有其各自的概率分布.记X和Y的分布函数为Fx(a)和F,(y)，分别称为二维随机变量（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布函数2.边缘分布的分布函数：边缘分布函数可以由(X，Y)的联合分布函数F(x，y)来确定：Fx(x)= P(X≤x)= P(X≤x, Y<+00)= F(x,+00)同理F,()=P(Y≤y)= P(X <+00, Y≤y)= F(+00, y)3.离散型随机变量的边缘分布列的表示方法：定义：对于二维离散型随机变量（X，Y)，设其概率分布为P(X =x,Y=y,}= Py"i, j=1,2,..则X的边缘分布为：P(X =x,)= P(X=X, Y<+o0)- P(X =x, =y)-Z p,= P.i=1,2,...j=l

3.2 边缘分布 教学内容：教材 51-53 页，主要内容：二维随机变量的边缘分布、二维离散型随 机变量的边缘分布律、二维连续型随机变量的分布律。 教学目的： （1）理解二维离散型随机变量边缘分布的意义，掌握其边缘分布的计算； （2）理解二维连续型随机变量边缘分布的意义，掌握其边缘分布的计算； 教学的过程和要求： 一. 首先说明研究边缘分布的意义，由一维随机变量的分布函数引入边缘分布的 分布函数。就离散型随机变量给出其边缘分布列的表示方法和求解方法并举例 3.2.1；就连续型随机变量给出边缘密度和边缘分布函数及求解方法并举例 3.2.2； 1. 边缘分布的意义： 二维随机变量(X，Y) 作为一个整体，有它的概率分布，无论是离散型还是连 续型，都可以用分布函数 F(x，y) 来刻画. 而分量 X 和 Y 也都是随机变量，也有 其各自的概率分布. 记 X 和 Y 的分布函数为 F (x) X 和 F ( y) Y ，分别称为二维随机变 量(X，Y) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数. 2. 边缘分布的分布函数： 边缘分布函数可以由(X，Y) 的联合分布函数 F(x，y) 来确定： F (x) = P{X £ x} = P{X £ x，Y < +¥}= F(x，+ ¥) X 同理 F ( y) P{Y y} P{X Y y} F( y) Y = £ = < +¥， £ = +¥， 3. 离散型随机变量的边缘分布列的表示方法： 定义：对于二维离散型随机变量(X，Y) ，设其概率分布为 P{X = x ，Y = y }= p ， i，j = 1，2，L. i j ij 则 X 的边缘分布为： { } { } { , } 1 2 . 1 1 = = = ， < +¥ = å = = = å = · = ，L ¥ = +¥ = P X x P X x Y P X x Y y p p i i j ij j i i i j

Y的边缘分布为：P(y=y,)= P(x<+, Y=y)-ZP(X =x,Y=y)-2j =1,2, ...Zp=p.ji=l4.离散型随机变量的边缘分布列的计算：例3.2.1：求例3.1.1中定义的(X,Y)的边缘分布律解：按照上面的公式知：在分布表3.2中，将X和Y的联合分布律按行、列分别相加，得所求边缘分布律为（表3.3）1111P4. =pi. =P2. =P3. =4'444725133p.4 =P-2 =p., =p=48484848表3.3Y3412Pi.X11-400011411100288411110341212121111144161616161332571p.,48484848从例中可以看到，边缘分布p.和p.,分别是联合分布列中第i行和第j列各元素之和。5.二维连续型随机变量的边缘分布定义：设(X，Y)为连续型随机变量，它的概率密度函数为f(x,y)，则X的边缘分布函数为Fr(a)= F(x, + 0)=[ f(x, )dy lax其密度函数为fr(x)= ft f(x, y)dy同理，Y的边缘分布函数为F,()=F(+o0,)=[(x,)dxy其密度函数为r()=[(x, y)dx

Y 的边缘分布为: { } { } { , } . 1 2 . 1 1 = = < +¥， = = å = = = å = = ，L ¥ = +¥ = P Y y P X Y y P X x Y y p p j j i ij i j j i j 4. 离散型随机变量的边缘分布列的计算： 例 3.2.1：求例 3.1.1 中定义的(X,Y) 的边缘分布律. 解：按照上面的公式知：在分布表 3.2 中，将 X 和Y 的联合分布律按行、列分别 相加，得所求边缘分布律为（表 3.3） 48 3 . 48 7 . 48 13 , . 48 25 . 4 1 4 1 4 1 , 4 1 1 2 3 4 1. 2. 3. 4. = = = = = = = = p p p p p p p p 表 3.3 Y X 1 2 3 4 i · p 1 4 1 0 0 0 4 1 2 8 1 8 1 0 0 4 1 3 12 1 12 1 12 1 0 4 1 4 16 1 16 1 16 1 16 1 4 1 j p· 48 25 48 13 48 7 48 3 1 从例中可以看到，边缘分布 i · p 和 j p· 分别是联合分布列中第 i 行和第 j 列 各元素之和. 5. 二维连续型随机变量的边缘分布定义： 设(X，Y) 为连续型随机变量，它的概率密度函数为 f (x, y) ，则 X 的边缘分布 函数为 ò-¥ ò +¥ ê -¥ ë é úû ù = + ¥ = x X F (x) F(x， ) f (x，y)dy dx 其密度函数为 ò +¥ -¥ f x = f x y dy X ( ) ( ， ) 同理，Y 的边缘分布函数为 ò-¥ ò +¥ ê -¥ ë é úû ù = +¥ = y Y F ( y) F( , y) f (x，y)dx dy 其密度函数为 ò +¥ -¥ f y = f x y dx Y ( ) ( ， )

通常分别称f(x)和f,()为二维随机变量(X，Y)关于X和Y的边缘密度函数6.二维连续型随机变量的边缘分布计算例3.2.2：求例3.1.2中的二维随机变量(X，Y)关于X和Y的边缘分布密度。解：在例3.1.2中将X和Y的联合分布密度分别按上面的边缘分布密度公式积分，即得二维随机变量(X，Y)关于X和Y的边缘分布密度分别为X的边缘密度函数Jx(x)= Jt f(x, y)dy[r" 2e-(2x)dy = 2e-2x, x> 0o,x≤0同理 f,(y)=Jt f(x, y)dx;[r"2e-(2+)dx=e",y>00,y≤o二，举例说明边缘分布不能决定联合分布，即不同的联合分布可具有相同的边缘分布。举例直接给出二维正态分布的密度函数，说明其中参数的意义。例3.2.3设二维随机变量(X，Y)的概率密度为(x-μ(y-2), (0-μ2)-山广X12(i-p2002TGf(x,y)=0,>0,1。我们称此(X,)时服从参数为μ，μ2，，2，的二维正态分布。试求此二维正态随机变量(X，Y)的边缘分布密度。解：将分布密度(x,)代入边缘分布密度计算公式并作积分变量替换y-μ2-ox-μiV1-p-09ra.则有

通常分别称 f (x) X 和 f (y) Y 为二维随机变量(X，Y) 关于 X 和 Y 的边缘密度函数. 6. 二维连续型随机变量的边缘分布计算： 例 3.2.2：求例 3.1.2 中的二维随机变量(X，Y) 关于 X 和 Y 的边缘分布密度。 解：在例 3.1.2 中将 X 和 Y 的联合分布密度分别按上面的边缘分布密度公式积分， 即得二维随机变量(X，Y) 关于 X 和 Y 的边缘分布密度分别为 X 的边缘密度函数 ò +¥ -¥ f x = f x y dy X ( ) ( ， ) ( ) ïî ï í ì £ = > = - +¥ - + ò 0 0 2 2 0 2 0 2 x e dy e x x y x ， ， 同理 ò +¥ -¥ f y = f x y dx Y ( ) ( ， ) ； ( ) ïî ï í ì £ = > = - +¥ - + ò 0 0 2 0 0 2 y e dx e y x y y ， ， 二. 举例说明边缘分布不能决定联合分布，即不同的联合分布可具有相同的边缘 分布。举例直接给出二维正态分布的密度函数，说明其中参数的意义。 例 3.2.3 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 0 , s 2 > 0 , r < 1。我们称此(X，Y) 时 服从参数为m1 , m2 , s1 , s 2 , r 的二维正态分布。试求此二维正态随机变量(X，Y) 的边缘分布密度。 解：将分布密度 f (x, y)代入边缘分布密度计算公式并作积分变量替换 t y x =÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - - - 1 1 2 2 2 1 s m r s m r 则有

[(x-μ20(x-u,y-μ2),(y-u22(1-p2o0102adyfx(x)=ff(x, y)dy=2元0,210(x-μ)11207e2dt√2元/2元0(c-M,)1201(<+8)2元同理有_(yμ)1202(<+8)fr()=f(x,y)dx=e2元02从此例可知二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数p。因此二维正态分布不能有它的两个边缘分布所唯一确定。甚至，即使两个边缘分布都是正态分布，那原二维分布也未必是正态分布。总之，边缘分布不能决定联合分布，即不同的联合分布可能具有相同的边缘分布

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = ( < +¥) = - = = - - +¥ -¥ - - - +¥ -¥ ú ú û ù ê ê ë é - + - - - - - - +¥ -¥ ò ò ò e x e e dt f x f x y dy e dy x t x x x y y X 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 . 2 1 2 1 1 ( ) ( ) s m s m s m s s m m r s m r ps ps p ps s r ， 同理有 ( ) = == ( < +¥) - - +¥ ò-¥ f y f x y dx e y y Y 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) s m ps ， 从此例可知二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参 数 r 。因此二维正态分布不能有它的两个边缘分布所唯一确定。甚至，即使两个 边缘分布都是正态分布，那原二维分布也未必是正态分布。总之，边缘分布不能 决定联合分布，即不同的联合分布可能具有相同的边缘分布