《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 无穷级数 12-05 第五节 函数的幂级数展开式的应用

第五节函数的幂级数展开式的应用求极限函数值的近似计算1积分的近似计算欧拉(Euler)公式

第五节 函数的幂级数展开式 的应用 ◼ 求极限 ◼ 函数值的近似计算 ◼ 积分的近似计算 ◼ 欧拉(Euler)公式

一、求极限有些未定式的极限可以用幂级数方法求出这种方法的优点是：可以将极限过程中的主要、次要成份表示得非常清楚(o)x-sinx例求limts（0）x-→>0解：x→0，将sinx展开为x=0的幂级数.35卜xx3!x-sinx5!limlimt3x→0x-→0x-lim63!3!x-05!

一、求极限 有些未定式的极限 可以将极限过程中的主要、 例 求 3 0 sin lim x x x x − →       0 0 解 3 3 5 0 3 0 5! 1 3! 1 lim sin lim x x x x x x x x x x       − − + − = − → →  x → 0, ∴将sinx展开为x = 0的幂级数. 这种方法的优点是: 次要成份表示得非常清楚. 可以用幂级数方法求出.       = − + → 2  0 5! 1 3! 1 lim x x 6 1 3! 1 = =

由此例可看出在求极限时为什么加、减项的无穷小不能用其等价无穷小代换这里，sinx与其等价无穷小x相差高阶无穷小+亏x5-…….这个高阶无穷小不能与分子的5第一项x 抵消,它在极限中是起作用的.但如果将sinx用x代换，则相当于将这个起作用的高阶无穷小也略去了，这显然是错误的

由此例可看出: 这里, sinx与其等价无穷小x相差高阶无穷小 . 5! 1 3! − 1 x 3 + x 5 − 这个高阶无穷小不能与分子 的 第一项x 抵消,它在极限中是起作用的.但如果将 sinx用x代换,则相当于将这个起作用的高阶无穷 小也略去了,这显然是错误的. 在求极限时,为什么加、减项 的无穷小不能用其等价无穷小代换

函数值的近似计算二、用函数的幂级数展开式，可以在展开式有效的区间内计算函数的近似值，而且可达到预先指定的精度要求，常用方法1.若余项是交错级数，则可用余和的首项来解决2.若不是交错级数，则放大余和中的各项，使之成为等比级数或其它易求和的级数，从而求出其和

二、函数值的近似计算 用函数的幂级数展开式, 常用方法 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 可以在展开式有效 的区间内计算函数的近似值, 而且可达到预先指 定的精度要求

一例计算e的近似值，使其误差不超过101解 :e*=1+x+2!令x=1,得e~1+1+2!111余和:(n + 2)!(n + 3)!(n+1)!111(n + 3)(n + 2)n+2n+11(n + 1)!(n +1)n+l111<10-5=n·n!≥105(n+1)!n.n!n+1

例 解 , ! 1 2! 1 1  x = + + 2 ++ x n + n e x x 令 x = 1, , ! 1 2! 1 1 1 n 得 e  + + ++ 余和: ) ( 3)( 2) 1 2 1 (1 ( 1)! 1 + + + + + + + = n n n n ( 1)! 1 n + ! 1 n n = 5 n n! 10 1 1 1 1 ( 1)! 1 + −  + = n n + + + + + +  ( 3)! 1 ( 2)! 1 ( 1)! 1 n n n rn (1 +  )

而8.8!=322560>10511e~1+1+~ 2.718282!3!8!用级数作近似计算时，常将其余和放大为几何级数.这样估计误差，在一般情况下，泰勒公式比用拉格朗日估计误差的精度更好因此计算量要小一一些

而 8 8!= 322560 e   2.71828 8! 1 3! 1 2! 1 1+ 1+ + ++ 用级数作近似计算时, 这样估计误差, 常将其余和放大 为几何级数. 因此计算量要小一些. 在一般情况下, 泰勒公式比用拉格朗日估计误差的精度更好

3例 利用sinx~x计算sin9°的近似值3!并估计误差1元元元解 sin9°=sin20206201<10-0120300000:. sin9° ~ 0.157079 - 0.000646 ~ 0.156433其误差不超过10-5

例 解 20 sin9 sin 0  = 3 ) 20 ( 6 1 20    − 5 2 ) 20 ( 5! 1  r  5 (0.2) 120 1  300000 1  sin9 0.157079 0.000646 0   −  0.156433 其误差不超过 5 10−

三、积分的近似计算有些初等函数的原函数不能用初等函数表示，故其定积分就不能用牛顿--莱布尼茨公式计算。但如果这些函数在积分区间上能能展开成幕级数，则可利用幕级数逐项积分性质来计算这些定积分

三、积分的近似计算 有些初等函数的原函数不能用初等函数 故其定积分就不能用牛顿-莱布尼茨 但如果这些函数在积分区间上能 表示, 公式计算. 能展开成幂级数, 性质来计算这些定积分. 则可利用幂级数逐项积分

sinx例计算dx的近似值，精确到10-41rsin x解 被积函数的原函数不能用初等函数表示sinx的可去间断点，故定义0是由于x=中xsin xsin x lim1,这样被积函数在[0，11上x-0xxx=0连续.展开sinx得x...Idx x E(-00,+00)3!5!711收敛的交错级数3.3!5.5!.7

例 = − 2 + 4 − 6 + 7! 1 5! 1 3! 1 1 sin x x x x x 解 x(−,+) +  −  +  = − 7 7! 1 5 5! 1 3 3! 1 1 收敛的交错级数 被积函数 x sin x 的原函数不能用初等函数表示. 由于x = 0是 x sin x 的可去间断点,故定义 = =0 sin x x x 这样被积函数在[0, 1]上 连续. 展开 , sin x x 得 1, sin lim 0 = → x x x

sinx例计算-4dx的近似值。精确到10-Jx111sin xdx03.3!5.5.7.7!x1?10第四项7.7!3000取前三项作为积分的近似值,得11sin x05.5!3.3!x~ 0.9461

第四项 3000 1 7 7! 1   10 , −4  取前三项作为积分的近似值,得 5 5! 1 3 3! 1 d 1 1 sin 0  +   −  x x x  0.9461 例 +  −  +  = −  7 7! 1 5 5! 1 3 3! 1 d 1 1 sin 0 x x x