《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 无穷级数 12-04 第四节 函数展开成幂级数

第四节函数展开成幕级数泰勒级数函数展开成幂级数■小结思考题

第四节 函数展开成幂级数 ◼ 泰勒级数 ◼ 函数展开成幂级数 ◼ 小结 思考题

将函数展开为幕幂级数的形式，在理论上和应用中都是十分重要的如，对函数作数值分析时，总离不开多项式逼近给定的函数，而幂级数的部分和恰是多项式所以有了函数展开成的幂级数，那未函数的多项式逼近、函数值的近似计算，以及一些积分、微分方程问题就应刃而解了间：哪些函数在怎样的区间上可展开为幂级数？幂级数的系数如何确定？这是本节要讨论的主要问题

所以有了函数展开成的幂级数,那末函数的 多项式逼近、函数值的近似计算,以及一些积分、 微分方程问题就应刃而解了. 将函数展开为幂级数的形式,在理论上和 应用中都是十分重要的. 如,对函数作数值分析时,总离不开多项式逼 近给定的函数,而幂级数的部分和恰是多项式. 问: 哪些函数在怎样的区间上可展开为幂级数? 幂级数的系数如何确定? 这是本节要讨论的主要问题

一、泰勒级数8YZ(-1≤x<1)上节例题: -ln(1-x)nn=180Z0(x-x)"存在幂级数在其收敛域f(x)=n=0内以f(x为和函数1.如果能展开，an是什么？2.展开式是否唯一？3.在什么条件下才能展开成幕级数？

一、泰勒级数 以f (x)为和函数 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?  =  n=1 n n x 上节例题 (−1  x  1) 存在幂级数在其收敛域 内 − ln(1− x)

回顾金第三章第三节泰勒公式:若函数f(x)在xo的某邻域内有n+1阶导数，则f(x)可表为J(x)= f(x0)+ F'(x0)(x- x0)+ I"(0)2!x-x)" + R,(x)(1)n!n+()-x)"+l,5介于x与xo之间其中R,(x)(n + 1)!公式(1)是函数f(x)在x.处展开的泰勒公式R,(x)是拉格朗日余项

的某邻域内有n+1阶导数, 则 f (x)可表为: 公式(1)是函数f(x)在 处展开的泰勒公式,   ( ) , ( 1)! ( ) ( ) 1 0 ( 1) + + − + = n n n x x n f 其中 R x 介于x与x0之间. 回顾 是拉格朗日余项. 第三章第三节泰勒公式 若函数f (x)在x0 : (1) ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + −  = +  − +  0 x ( ) R x n

如函数f(x)在xo的某邻域内是无穷次连续可微的，自然会想到：f(x)是否可展为如下的幂级数：f'(x)f"(xo)f(x)+(x-x)x-x)+1!2!(2)x-x.)" +...n!不管怎样称幕级数(②2)为函数f(x)在xo处的泰勒级数

如函数f (x)在x0的某邻域内是 (2) 称幂级数(2)为函数 f (x)在x0处的 f (x)是否可展为如下的幂级数: 自然会想到: 不管怎样 泰勒级数. 无穷次连续 可微的

特别,当xo=0时,称幂级数f'(0)f"(0)(0)xn +...f(0)(3)X-1!2!n!为函数 f(x)的麦克劳林级数显然，泰勒级数2）在什么范围上，收敛于函数f(x),取决于在什么范围上有R,(x)→0

显然,泰勒级数(2)在什么范围上,收敛于函 数 f (x), 特别, 为函数 f (x)的 麦克劳林级数. 取决于在什么范围上有 当x0 = 0时,称幂级数

定理1 f(x)在点x,处泰勒级数在U(x)内收敛于f(x) 在U(x)内lim R,(x)=0.n-0证必要性设f(x)能展开为泰勒级数(xoN-x) + R,(x): f(x)=i!i=0: R,(x) = f(x)- Sn+i(x), : limSn+1(x) = f(x)n>00:. lim R,(x) =lim[f(x) - Sn+1(x) = 0 n→>0n→A

证 必要性 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i =  − + =  ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x 设f (x)能展开为泰勒级数, lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = →   = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0; 定理1 f (x)在点x0 处泰勒级数在U(x0 )内 收敛于f (x) ( ) lim ( ) 0. 0 = → U x Rn x n 在 内

设 lim R,(x) = 0充分性n→: f(x) -Sn+i(x) = R,(x),:. lim[f(x) - Sn+(x)]= lim R, (x)= 0.n>n即 lim Sn+(x)= f(x),n>00::f(x)的泰勒级数收敛于f(x)

充分性 ( ) ( ) ( ),  f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + →  − lim R (x) n n→ = = 0, lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = → 即  f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). lim ( ) = 0 → R x n n 设

定理2（函数幂级数展开的唯一性如果函数f(x)在U(x)内可展为幂级数8f(x)=Eaan(x-xo)",n=0(n)(xo)则其系数(n = 0,1,2,..a11n规定: 0!=1, f(0)(x)= f(x)证由于幂级数在收敛区间内可逐项微分,于是f(x)=a, +a,(x-x.)+...+a,(x-x)" +..A

证 f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 由于幂级数在收敛区间内可逐项微分, 定理2(函数幂级数展开的唯一性) 如果函数f (x)在U(x0 )内可展为幂级数 则其系数 ( ) ( ) , 0 0 n n f x = an x − x  = 于是 规定：0!= 1, ( ) ( ). 0 0 (0) f x = f x (n = 0,1,2, )

f'(x) = a, + 2az(x-x)+...+na,(x -x.)n-1 + .f"(x) = 2!az + 3.2as(x -x)+...+ n(n-1)a,(x -x.)n-2 + .f(n)(x) = n!a, +(n+1)n...3.2an+i(x-x,)+ :今即得x= Xo(n = 0,1,2, -)泰勒系数(xo)n!泰勒系数是唯一的，所以，f(β的展开式是唯一的

f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + , 令 x = x0 泰勒系数是唯一的, f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 +  泰勒系数 ( ) 2! 3 2 ( ) ( 1) ( ) , 2 f  x = a2 +  a3 x − x0 ++ n n − an x − x0 n− + 即得 所以, f (x)的展开式是唯一的