《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 随机事件及其概率 1.4 条件概率

1.4条件概率一.条件概率与乘法公式描述性定义：在事件A发生的条件（假设）下事件B发生的概率。记作：P(BA)例如：上抛两枚硬币，样本空间Q={HH,HT,TH,TT,A表示至少有一次正面向上，即：A=HH,HT,TH，B表示两次出现相同的一面即：B=(HH,TT}，则：P(B|A)=1/3,注意到:P(B|A)=1/3 =P(AB) /P(A)定义：设A,B是两个事件，且 P(A)>0,则事件A发生的条件下事件B发生的条件概率为：P(AB)/P(A)即 : P(B|A)=P(AB)/P(A)

一 .条件概率与乘法公式 描述性定义：在事件A发生的条件（假设）下， 事件B发生的概率。记作：P(B|A) 1.4 条件概率 ( ) ( ) ( ) ( ) {HH,HT,TH,TT},A A {HH,HT,TH} B B {HH,TT} P B | A 1/ 3 , P B | A 1/ 3 P AB / P A  = = = = = = 例如：上抛两枚硬币，样本空间 表示至少有 一次正面向上，即： ， 表示两次出现相同的一面， 即： ，则： 注意到： 定义 ： 设A,B是两个事件，且 P(A)>0,则事件A发 生的条件下事件B发生的条件概率为: P(AB)/P(A) 即：P(B|A)=P(AB)/P(A)

条件概率的性质：(1)有界性: 0≤P(BA)≤1P(A2)(2)规范性: P(2A)=1(: P(2A)1P(A)(3)可加性：设B,B,，是两两不相容的事件则UB,A=ZP(B,|A)iZP(AB,)P(AUB,)P(UAB)i=li=证明：P()B,IA)=P(A)P(A)P(A)i=1P(AB,)ZP(B, / A)P(A)i=li=1

条件概率的性质： (1)有界性: 0  P(B A)  1 ( ) (2) : ( ) 1( P( ) 1) ( ) P AΩ P Ω A Ω A P A 规范性 = = = (3)可加性:设 B1 , B2 , 是两两不相容的事件,则 1 1 ( ) i i i i P B A P B A   = =     =    1 1 1 1 1 i i i i i i i i i i i P A B P AB P AB B A P A P A P A P AB P B A P A     = = =   = = = = = = =    ( ) ( ) ( ) | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) i=1 证明：P(

例1：设在一只盒子中混有新旧两种乒乓球，新乒乓球中，黄色30只，白色40只；旧乒乓球中，黄色10只，自色20只，现任取一只发现是新的，问这只乒乓球是白色的概率解：设A表示取到新乒乓球，B表示取到的是白色乒乓球法—：P(B|A)=40/70=4/7黄白0.44P(AB)法二：P(B|A)=新403017P(A)0.7旧1020

例1：设在一只盒子中混有新旧两种乒乓球，新乒 乓球中，黄色30只，白色40只；旧乒乓球中，黄 色10只，白色20只，现任取一只发现是新的，问 这只乒乓球是白色的概率. 解：设A表示取到新乒乓球，B表示取到的是 白色乒乓球. 法一：P(B|A)=40/70=4/7 法二：P(B|A)= 0 4 4 0 7 7 P AB P A = = ( ) . ( ) . 黄 白 新 旧 30 40 10 20

注：1、两个事件的乘法公式：P(A)>0时P(AB)-P(A)P(B|A)2、三个事件的乘法公式：P(AB)>0时P(ABC)-P(A)P(B|A)P(C|AB)3、类似四个，五个事件乘法的公式说明：一般地，先发生的事件作为条件例2：（传染病模型）设袋中装有r只红球，t只白球每次从袋中任取一球观察其颜色后再放回，并再放入a只与所取球同色的球，若在袋中连续取四次，求第一、二次取到红球，三、四次取到白球的概率

例2： （传染病模型）设袋中装有r只红球，t只白球， 每次从袋中任取一球观察其颜色后再放回 ，并再放 入a只与所取球同色的球，若在袋中连续取四次， 求第一、二次取到红球，三、四次取到白球的概率. 注：1、两个事件的乘法公式： P(A)>0时， P(AB)=P(A)P(B|A) 2、三个事件的乘法公式：P(AB)>0时 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 3、类似四个，五个事件乘法的公式. 说明：一般地，先发生的事件作为条件

解：设A表示第次取到红球（i=1,2,3）P(A A, A, A) = P(A)P(A IA)P(A I A,A)P(A / A,A, A,)tt+ar+ar+t r+t+a r+t+2a r+t+3a例3.设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落地打破的概率为1/2，若第一次落地未破，第二次落地打破的概率为7/10，若第二次落地仍未破，第三次打破的概率为9/10，求落下三次而未打破的概率解：设A表示第次落地打破（i=1,2,3）P(A A, A) = P(A)(A, IA)P(A, /A A)= 0.01510

解：设 Ai 表示第i次取到红球（i=1,2,3) P A A A A P A P A A P A A A P A A A A r r a t t a r t r t a r t a r t a 1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3 ( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | ) 2 3 = + + =    + + + + + + + 例3.设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落地打破 的概率为1/2，若第一次落地未破，第二次落地打破 的概率为7/10，若第二次落地仍未破，第三次打破 的概率为9/10，求落下三次而未打破的概率. 解：设 Ai 表示第i次落地打破（i=1,2,3) 1 2 3 1 2 1 3 1 2 ( ) ( )( | ) ( | ) 1 7 9 (1 )(1 ) 0.015 2 10 10 P A A A P A A A P A A A = = − − =

二.全概率公式与贝叶斯公式定义：设随机试验E的样本空间为Q，且Q=B,UB...UB而B,B,=Φ,(i≠j)，称B,，B,.B,为2的一个划分B,例如：如图B,B,,B,B,是Q的一种划分B3B2B注：常用对立事件A与A划分空间。全概率公式：设事件ACQ,且B，B,，···B是Q的一种划分，且P(B,)>0,则: P(A)=ZP(B,)P(A /B,)i-1

二.全概率公式与贝叶斯公式 1 2 1 2 . , ,( ), . n i j n B B B B B i j B B B    =    =   定义：设随机试验E的样本空间为 ，且 而 称 ， ， 为 的一个划分. 1 2 3 4 例如：如图B B B B , , , 是的一种划分 注：常用对立事件A A 与 划分空间。 1 2 n n i i i i 1 , B B B , : P(A) P(B )P(A | B ) =    =  设事件A 且 ， ，. 是 的一种划分， 且P 全 (B )>0 则 概率公式：

证明: P(A)=P(AQ)=P(ALUJB,)=P(UJAB,)=ZP(AB,)i=li-1i=1P(B,)P(A / B,)i-1例4.已知男人中有5%的色盲者，女人中有0.25%色盲者，今从70位男人，30位女人中随机抽取一人，问（1）恰好是色盲的概率.（2）若选中一人是色盲，此人是男人的概率。解：设A表示抽到的是色盲者，M表示抽到的是男人，已知P (M)=0. 7,P(M)=0.3,P(A /M)=0.05,P(A /M) =0.0025(I) P(A)= P(AM)+ P(AM) = P(M)P(A| M)+ P(M)P(A| M=0.7x0.05+0.3x0.0025= 0.03575

n n n i i i i 1 i 1 i 1 n i i i 1 P(A) P(A ) P(A B ) P( AB ) P(AB ) P(B )P(A / B ) = = = = =  = = = =   证明： 例4. 已知男人中有5%的色盲者，女人中有0.25%色盲 者，今从70位男人，30位女人中随机抽取一人，问 （1） 恰好是色盲的概率.（2）若选中一人是色盲， 此人是男人的概率 . 解：设A表示抽到的是色盲者，M表示抽到的是男人. 已知P(M)=0.7,P(M) 0.3,P(A | M) 0.05,P(A | M) 0.0025 = = = 1 0 7 0 05 0 3 0 0025 0 03575 P A P AM P AM P M P A M P M P A M = + = + =  +  = ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( | ) ( ) ( | ) . . . . . ）

P(AM)P(M)P(AIM)(2) P(M /A)P(A)P(M)P(AM)+ P(M)P(AIM)0.7 x 0.050.97900.7×0.05+0.3x0.0025贝叶斯公式：设Q是试验E的样本空间,B,,B,,…,B,是2的一个划分，A是E的任一事件且P(A)>0,则有P(B)P(A|B,)P(Bk / A) =(k =1,2,...Z P(B,)P(A| B)i=1注：对Q的划分B,Bz,…..可以是无限可列个

2 0 7 0 05 0 9790 0 7 0 05 0 3 0 0025 P AM P M P A M P M A P A P M P A M P M P A M = = +  = =  +  ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) . . . . . . . 贝叶斯公式： 1 2 1 E , , ,., ( ) ( | ) | ) , ( 1,2,.) ( ) ( | ) n k k n i i i B B B P B P A B A k P B P A B =   = =  k 设 是试验 的样本空间 是 的一个划分，A是E 的任一事件且P(A)>0,则有 P(B 1 2 注：对的划分B B, ,.可以是无限可列个

例5：对以往数据分析结果表明当机器调整良好时产品的合格品率为90%，当机器发生某一故障时，合格率为30%，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，求某日早上第一件产品是合格的，机器调整良好的概率为多大？解：T表示机器调整好，H表示生产出一件合格品，P(TH)P(T) P (H|T)P(TH)P (H)P(T) P(H|T)+P(T) P (H |T)0.75×0.90=0.90.75x0.90+0.25x0.30说明：“先验概率”与“后验概率”的概念，0.75是机器（调整后）调整好的概率，并未得到任何检验，称先验概率；0.9是在调整后生产出一件合格品的条件下判断机器调整好的概率，因此称后验概率思考：如果连续生产两件都是合格品，那么机器调整好的概率为多大？

例5:对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时产品的合 格品率为90%，当机器发生某一故障时，合格率为30%， 每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，求某 日早上第一件产品是合格的，机器调整良好的概率为多大？ 解： P(T) P P(T) P(T) 0.75 0.90 0.9 0.75 0.90 0.25 0.30 =  = =  +  T表示机器调整好，H表示生产出一件合格品. P(TH) P(H|T) （T|H)= P(H) P(H|T)+ P(H|T) 说明：“先验概率”与“后验概率”的概念，0.75是机器（调 整后）调整好的概率，并未得到任何检验，称先验概率；0.9是 在调整后生产出一件合格品的条件下判断机器调整好的概率，因 此称后验概率. 思考：如果连续生产两件都是合格品，那么机器调整好的概率为多大？