《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 随机向量及其分布 3.2 边缘分布

边缘分布3.2二维随机变量分布函数F(x,)=P[X≤x,Y≤(X,Y)作为一个整分布律pi,=P(X=x,,Y=y,}体，具有联合概aF(x,y)分布密度f(x,y)率分布axay问题其中的X作为单分布函数F(x)=PX≤x)变量，也是一维分布律p=PX=x}写法随机变量，也应dF(x)分布密度f(x)有它的概率分布dx

3.2 边缘分布 二维随机变量 (X,Y)作为一个整 体, 具有联合概 率分布 分布函数F(x, y) = P{X  x,Y  y} { , } i j i j 分布律 p = P X = x Y = y 2 ( , ) ( , ) F x y f x y x y      =     分布密度 其中的X作为单 变量, 也是一维 随机变量, 也应 有它的概率分布 分布函数F(x) = P{X  x} { } 分布律 pi = P X = xi       = x F x f x d d ( ) 分布密度 ( ) 问题 写 法

设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y) = P(X≤x,Y ≤y)则F(x) = P[X≤x) =P[X≤x,Y<+00) = F(x,+00)X的F,(y) = P(Y ≤ y) = P(X<+00, Y≤ y}= F(+00, y)Y的设二维离散型随机变量的联合分布律为Pij = P(X = X,,Y = y,} (i, j= 1,2,...)则Pi. = P[X = x,}= P(X = x,Y<+00)X的分布律0p(X = x,Y = y;=-Zpi, (i =1,2,..)j=li=Y的分布律P., = P(Y = y,}= P(X < +o0,Y = y,)Zp(X = x,Y = y,}= Epi, (j =1,2,.)福i=l

F(x, y) = P{X  x,Y  y} 设 则 F ( x) = P{X  x} = F(x,+ ) F ( y) = P{Y  y} = F(+ , y) X Y p = P{X = x ,Y = y } (i, j = 1,2, ) i j i j 设二维离散型随机变量的联合分布律为 i 则 p { } = P X = xi   = = j 1 pi j  (i = 1,2, )  = = = = 1 { , } j i j P X x Y y { }j = P Y = y   = = i 1 pi j  ( j = 1,2, )  = = = = 1 { , } i i j P X x Y y = P{X  x,Y  + } = P{X  + ,Y  y} = P{X = x ,Y  + } i  { , }j p j = P X  +  Y = y  二维随机变量(X,Y )的联合分布函数为 X 的 Y 的 Y 的分布律 X 的分布律

MP(X = x,}= Pi. =(X,Y)的分布律：Pu (i=- 1,2,...j=1Yyiy2P(X = x;}VXXiPrjP11P12PrP2.2P21P22P2j...00·PiPilPi2XiPij·000.00.1PY = y;)p.1p.2DP[Y = y,} = P., =EPi (j = 1,2,)边缘分布律i=l

X Y y1 y2  y j    xi x x 2 1 p1 1 p12  p1 j  p21 p2 2  p2 j     pi1 pi 2  pi j     (X,Y )的分布律：   = = = • = 1 { } j P X xi pi pi j   = = = • = 1 { } i j p j pi j P Y y  P{Y = y j }  { }i P X = x 1 边缘分布律  p1• p2• pi• p•1 p•2 p• j  ( j = 1,2, ) (i = 1,2, )

设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y)则F(x) = P(X≤x)= F(x,+00)边缘分布函数F(y) = P(Y ≤ y)= F(+00, y)设二维离散型随机变量的联合分布律为 Pij则Pi. = P(X = x,}= Epu,(i= 1,2,)j=1边缘分布律P.j = P(Y = yi} - Zpi,(j = 1,2,..)i=1设二维连续型随机变量的联合密度为f(x,y)则 fx(x)=ft f(x,y)d y边缘分布密度fr(y)= f f(x, y)dx

F(x, y) 设二维离散型随机变量的联合分布律为 则 i p { }i = P X = x   = = j 1 pi j (i = 1,2, ) { }i = P Y = y   = = i 1 pi j ( j = 1,2, )  p j 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 pi j f (x, y) 则 f X (x) = +  − f (x, y)d y f Y ( y) = 设二维连续型随机变量的联合密度为 边缘分布律  +  − f (x, y)d x 边缘分布密度 边缘分布函数 则 F ( x) = P{X  x}= F(x,+ ) F ( y) = P{Y  y} = F(+ , y) X Y

边缘分布密度的几何解释z= f(x,y)1.510.5o0.2fr(y)0.4（面积）0fx(x) = J f(x,y)dy(面积）

边缘分布密度 y x  +  − f x = f x y y X ( ) ( , )d f ( y) Y (面积) x 的几何解释 (面积) V = 1 z = f (x, y) O z

例1求上节例1中定义的(X,Y)的边缘分布律Y1234解Pi.X0001/41/41上节1/42001/81/8已得联合1/431/121/121/120分布1/41/161/161/161/16边缘3137251p.分布48484848注意联合分布边缘分布

i • p j p• 注意 联合分布 边缘分布 解 1 求上节例1中定义的(X,Y )的边缘分布律. 48 25 48 13 48 7 48 3 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 X Y 1/ 4 1/ 8 1/12 1/16 0 1/ 8 1/12 1/16 0 1/12 1/16 0 0 1/16 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 例1 上节 已得 联合 分布 边缘 分布

例2求上节例2中定义的(X,Y)的边缘分布密度[2e-(2x+y), x >0, y>0解 上节已求得 f(x,J)=其它0,对y积分便得(X,Y)关于X的边缘分布密度2e-(2x+)d y= 2e-2x,x>0fx(x) = frm f(x,y)d y,x≤00对x积分便得(X,Y关于Y的边缘分布密度(+°2e-(2x+)dx=e-y, y>0fr(y)= /m f(x,y)dx =J≤00

      = , 0 , 0 y y 解 例2 求上节例2中定义的(X,Y )的边缘分布密度. 上节已求得 对y 积分便得(X,Y )关于X 的边缘分布密度      = − + 0, 其它 2e , 0, 0 ( , ) (2 ) x y f x y x y 对x 积分便得(X,Y )关于Y 的边缘分布密度  +  − f x = f x y y X ( ) ( , )d , 0 , 0 x x    =    2 x 2e − =  +  − f Y ( y) = f (x, y)d x  +  − + 0 (2 ) 2e d x x y − y = e  + − + 0 (2 ) 2e d y x y 0 0

例3设二维随机变量(X.Y）的概率密度为-1[(x-μ)(x-μ)(y-μz), (y-μz)-2pexpo22(1-p)910,02f(x,y) =2元0,2 /1-p2其中的μ,μ2,,2,p都是常数,且 >0,2 >0,l p1.称此(X,Y)是服从参数为μ,z,i,2,p的二维正态分布记作N(ui,M2,oi,,p),求此(X,Y）的边缘分布密度注意联合分布密度可改写成(x-u)21(y-μ)(x-μu)exp2 (1-p)2010201f(x,y) =2元0,02/1-p

2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) (1 ) 1 2 1 exp ( , ) σ σ ρ σ x μ ρ σ y μ ρ f x y −               − − − − − =  注意 例3 设二维随机变量(X,Y )的概率密度为 ,求此 (X,Y ) 的边缘分布密度. 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp ( , ) σ σ ρ σ y μ σ σ x μ y μ ρ σ x μ ρ f x y −             − + − − − − − − =  , , , , , 0, 0,| | 1. 其中的μ1 μ2 σ1 σ2 ρ都是常数 且σ1  σ2  ρ  称此(X,Y)是服从参数为μ1 , μ2 ,σ1 ,σ2 , ρ的 二维正态分布. 记作 联合分布密度可改写成 2 1 2 1 2 ( ) σ x − μ − ( , , , , ) 2 2 2 N μ1 μ2 σ1 σ ρ

(x-μ)(x-μ)exp2016200f(x,y)=D2元0,02/1-pdy(y-μz)(x-μ)=dt解作替换=t,则02/1-p/1-p262C(x-μ)+00fx(x)= / f(x,y)dydtexp20;22元01d(x-μ1)2t2(x-M1)21+820201dt0012元0112元012元(y-μ2)1二维正态分布的两边202同理fr(y)=f(x,y)dx =e2元02缘分布都是一维正态分布，且都与P无关亦即 X ~ N(u,,), Y ~ N(u2,2)

解 作替换 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) (1 ) 1 2 1 exp ( , ) σ σ ρ σ x μ σ x μ ρ σ y μ ρ f x y −         − −       − − − − − =  t σ x μ ρ σ y μ ρ  =      − − − − 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 1 1 ,则  +  − f x = f x y y X ( ) ( , )d  + −       − = − − t σ t x μ σ d 2 ( ) 2 exp 2 1 2 1 2 1 2  1  2 1 e 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 =  − − σ x μ σ 2 1 2 1 2 ( ) 1 e 2 1 σ x μ σ − − =   +  − f y = f x y x 同理 Y ( ) ( , )d 2 2 2 2 2 ( ) 2 e 2 1 σ y μ σ − − =  ~ ( , ) 2 Y N 2  2 ~ ( , ), 2 亦即 X N 1  1 二维正态分布的两边 缘分布都是一维正态 分布,且都与ρ无关.  + − − t t e d 2 2 2 t t ρ y d 1 d 2 2 =  −

二维正态分布的图形(1）μ1=μ2=0,01=02=1,p=00.150.120.0500-202一2

二维正态分布的图形(1)