《复变函数与积分变换》课程教学资源（教材讲义）第三章 复变函数的积分

第三章复变函数的积分复变函数的积分（简称复积分）是研究解析函数的一个重要工具，解析函数的许多重要性质都是通过复积分证明的.本章主要介绍柯西（Cauchy）定理和柯西积分公式.它是解析函数的重要理论基础之-：通过本章学习，读者川以认识并掌握解析两数用积分形式表现出来的种种特征，以及芍之有关的一系列重要的定理和推论.这些内容是经典复变函数论的主要组成部分本章内容与实变量二元函数有紧密联系特别是二元函数的第二型曲线积分的概念，性质和计算方法，全微分及积分与路径无关的问题，格林公式等等，希望读者能结合本章的学习适当复习高等数学的有关知识83.1复积分的概念$3.1.1复积分的定义与计算定义3.1设是平面上一条光滑的简单曲线，其起点为A，终点为B图3.1).函数（)=u(r.y)十iv(.y)在C有定义.把曲线C任意分成n个小弧段设分点为A=，，"，zn-！，B，其中z=十i（=0，l2，，n）.在每个弧段F任取一点一，作和式YtZ,-BC-Z,-1Stf(S)Az(3. J)ZZk-其中A=i2设入=max！1，当入-0时，如果和式的ZO-AC极限存在，此极限值不依赖于的选择，也不依赖对C的分法，那么就称此极限值为f（）图 3. 1

·56.第三章复变函数的积分沿曲线C白A到B的复积分，记作()d=lim((3.2)沿负方向（即由B到A)的积分则记作_()d；当为闭曲f(z)d.（C的正向为逆时针方线，那么此闭曲线的积分就记作向.)定理3.1设f(z）=(r.y）+ir,y）在光滑曲线C上连续，则复积分「f(2)dz存在，而且可以表示为S(z)dz [u(r,y)dx -v(r.y)dytiv(r.y)dr + u(r,y)dy.(3.3)证将（3.1)式的实、虚部分开，得Zf()z =u(n) + in(+n)(Ae +iAye)Z[u(s,)Ar, -v(S,n)Ay)+i[(,Ar +u(sAy]由于f(z）在C上连续，从面u，在C上连续，当入→o时，有max|4z0及max|△y|→0.于是上式右端极限存在，且有A[f(z)d=udr -vdy +iudr + udy即（3.3）式成立（3.3）式说明了两个问题：（1）当f(z)是连续函数而C是光滑曲线时，积分f()d一定存在.f（d可以通过两个二元实变函数的线积分来计算，2)

“3.1复积分的概念.57.利用（3.3）式还可把复积分化为普通的定积分，设曲线（的参数方程为：z() -r(t) iy(t)(u st b).将它代人(3.3)式右端得f(zd2[u(r().y(t))r (t) - v(r(t) .y(t))y'(t)Jdt[z(α(0).y(0))r'(t) + u(x(t).y(t))y'(t)Jd[u(r(1).y(t)) + iu(r(t).y(t))[r'(t) + iy(t) jdif(z(t))e'(t)dt.(3.4)例3.1计算2d，其中C（图3.2)V是（1）从点1到i的直线段CI+（2）从点1到0的直线段C2，再从点0到点i的真线段（所连结成的折线段C+C2C-C+C3解(1) C=Cr:z(t)=1-t+it图 3. 2（0≤≤1，依照（3.4）式有(1 -- t - )(- 1 + i)dt(2t -- 1)dt +i dt - i.(2)C2:21(t)=1—t(0≤t≤1),C：22(0)=it(0≤t≤1),依照(3.4)式有J de =f. ede + J, ed2

多3.1复积分的念·59-(3+4i)2怎样的连接原点到3十1i的曲线，都等于3.1.2复积分的基本性质山（3.3）式知道，复积分的实部和虚部都是曲线积分，因此，曲线积分的一些基本性质对复积分也成立，(1）()d=f()d，其中为复常数；(2) [ 5(2)dz =-- ( f(2)dz;(3)[[f() = g(z)]dz=()d | g()de;(4) [()dz =↑ f(2)de +[f(de.其中C=C+Ca; ()de≤5()]ds.5)(3.5)（3.5）式右端是实连续函数：f（）沿曲线C的第一型曲线积分性质（1）～（4）的证明很容易，只要利用复积分定义或者把曲线积分的有关性质移过米就可以了，下面证明性质（5），事实上，由于(≤(01≤F其中，A是小弧段的长，=V十s将此不等式两边取极限得（3.5）式.注意到id=ld+id=d2+dg=ds.因此（3.5)式也可写成H f(2)de [≤fif(e) dei.特别地，若在C上有！f（z）≤M,C的长记为L.则（3.5）式成为 (2)de≤MI.(3.6)（3.5）式与（3.6）式以后常用作积分估计

83.2柯西积分定理.61.题：函数在什么条件下积分值与路线无呢？既然复变函数积分可以转化为实函数线积分，因此解决复函数积分与路线无关的问题，自然要归结为线积分与路线无关的问题.而线积分与路线无关的条件与线积分沿任一简单闭曲线的值都为0的条件程同，于是研究复积分与路线无关的条件可以归结为研究沿任一简单闭曲线积分为0的条件.法国数学家柯两（Cauchy）于1825年解决了这个问题，人们称之为柯西积分定理，它是复变解析理论的基石，定理3.2（柯西定理）设函数f（z）在单连通域D内解析，则f（z）在D内沿任意一条简单闭曲线的积分f(z)dz-0证因之）在D内解析，故f（）存在、下面在f（）连续的假设下证明定理结论（完全的证明较难，从略），因u与的一阶偏导数存在且连续.故应用Grecn公式得f(e)de-uddy-iudy+rd-(+岁)drdy+ [一岁]dedylar-ay其中，G为简单闭曲线C所围区域.由于f(α）解析，C-R方程成立，因此f(z)dz= 0证毕、显然用Green公式来证明是很简使的，但必须加上"f"（z）连续”这条件.不过对于证明定理的真实性来说，这条件是不必要的因为以后将证明，只要于解析，必连续，即的连续性已包含在解析的假设中.法国数学家F.Goursat（古萨）对柯西定理的证明中，不需要设"连续，但比较复杂，人们这时称柯西积分定理为柯西一古萨定理[注可以证明.如果C是区域D的边界，f（z)在D内解析，在闭区域万上连续，那么定理依然成立，有了柯西积分定理，本节开始所提出的问题便可以回答了，即

第三章·62.复变函数的积分定理3.3设函数（）在单连通区域I)V内解析，与，为D内任意两点，C与C2为连结与的积分路线，CC，都含于D（图3.3），则f(z)dz=/(z)dz大O即当f为D的解析函数时积分与路线无关，而仅由积分路线的起点之。与终点来确定，图3. 3证依柯西积分定理f(z)da--f()df(z)dz = 0,ct所以定理3.3成立sind，其中（是圆周|-1=1的上半周，例3.6计算积分走向从0到2.解因sin是全平面上的解析函数，由柯西定理，它的积分与路线无关.于是可以换一条路线，例如取C为沿实轴从0到2.这样便有sin zdesin zdzsin rdr = 1- cos 2.下面把柯西定理推广到多连通区域。定理3.4设C,与Cz是两条简单闭曲G线，C,在C的内部.f(z）在C与C所围的D二连域D内解析，而在D一D十C,十C上连续（图3.4），则0$ f(z)dz =$ f()dz(3. 7)J C,C证在D内作简单光滑孤AB和CD，连结C,和C,（图3.4），将D分成两个单连通图3.4

S3.2柯西积分定理.63.区域D:和D.D以ABGCDHA为边界，记作LD,以AEIXPBA为边界，记作L根据定理的条件，/（）在D，和D上连续，而在D，和D.内解析，由定理3.2.得f()dz=0,f(z)dz= 0;叉由于f(z)dz +(2)dz=0,f(α)dz --f(z)d=0.于是有f(z)dz+Φ f(z)dz = 0,即（3.7）式成立（3.7）式说明，在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.这一事实，称为闭路变形原理.推论（复合闭路定理）设（为多连通域D内的一条简单闭曲线。DC，C，，C是在（内部的简单闭OC曲线，它们互不包含也互不相交，并且以CCz，.C为边界的区域全含于D图3.5）.如果f（）在D内解析，则有图3.5+f(2)df()dz)(3.8)其中C及C.均取正方向；f()dz= 0这里F为由（及C+（k=1，2，*，n）所组成的复合闭路（其方向是：C按逆时针进行，C按顺时针进行）

第三章.64.复变函数的积分二d，其中（为例3.7计算22V包含0与1的简单闭曲线，解设C与C是C内互不相交也万不包含的圆周，函数二有两个奇点：52=0及=1C只包2一0C.只包围2=1图 3. 6（图3.6）.则由（3.8）式得Φ21d= 3=ldz22-1dz2222JedeIdzo2Jc2Cdz+dz1J2-.12=2元i+0+0+2元=4元i柯西定理实际已经给出广积分与路线无关的充分条件这就是说，如果f（）在单连通区域D内解析，则沿区域D内的简单曲线（的积分f()dg只与C的起点。和终点有关，而与C的路径无关，对于这种积分，我们已约定写成fods,并把。和分别称为积分的下限和上限当下限2固定而上限在D内变动时，则由积分f(dr定义了上限的一个函数，且该函数为D内的单值函数.记为F（2），即F(2) = f(s)dg

第三章复变函数的积分66.G（z）+C都是（）的原函数：而f（z）的任一原函数必可表示为G（2）十C，其中C是某一常数.利用这个关系，我们可以推得与牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式类似的解析函数的积分计算公式，定理3.6设f（z）在单连域L）内解析，G(）为/（α）的一个原函数,则f(z)dz = G(z) G(zu),(3.9)其中z0为D内的点f（)d是（）的一个原函数.现证从定理3.5知道F（）：在G()又是f()的一个原函数.故存在一常数C使F（）G(z）一C即f()dz = G(z) + ℃.但当2=2时，左端为0.故G（）十C二0,即二-G（2）.从而f(z)dz = G(2) - G(zm),证毕.有了（3.9）式，计算复积分就方便了.高等数学中求不定积分的一套方法可以移植过来，z"d，0,1,2.；a.均为有限复数例3.8计算解"(n一0,1,2.)在复平面内处处解析.所以de=,+--(6"-1u"1l)n+1例3.9计算In(1+）dz，其中C是从一i到i的直线段，解因为In（1十）是在全平面除去负实轴上一段r≤一1的区域D内为（单值）解析，义因为所考虑的区域D是单连通的，故定理3.6适用，所以在D内有

3.3树西积分公式672daIn(1 +)dln(l+)+11 -+ ds=iln( +i) f ilnl -i)In(1 + )]iln(1 + i) + iln(l一i) -[z=iln(1 +i)+iln(li)-2i-tln(1+i)-ln(1-i)2 + In2 +ji.S3.3柯西积分公式设f（）在以圆：1一0（00十）为边界的闭圆盘上解析，由柯西定理，（）沿（的积分为零，考忠积分[=d,M由于被积函数在C上连续，积分1必然存在；但因）在·在上述闭圆盘上不是解析的.I的值不一定为零、例如由例3.2，在厂（z）1时、1=2元i.现考虑(为解析函数情况，作以,为心，以p0<pp为半径的圆C由定理3.4知， f()dz=(α)dz之（之上式对满足0<0<P的任何p成立.由此可见，1的值只与f（）在z点邻近的值有关，我们有如下定理，定理3.7设f（）在简单闭曲线C所围成的区域L)内解析，在D=DUC上连续，是D内任-一点，则1d)dzf(zo) =(3. 10)2元i9.2