《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第二章 解析函数 2.0 习题课

复变函数第二章解析函数一、重点与难点二、 内容提要三、典型例题U

复变函数一、重点与难点重点：1.解析函数的概念；2.函数解析性的判别难点：1.解析函数的概念;2.初等函数中的多值函数及主值的概念

2 一、重点与难点 重点： 难点： 1. 解析函数的概念； 2. 函数解析性的判别 1. 解析函数的概念； 2. 初等函数中的多值函数及主值的概念

复变函数二、内容提要可导与微分的关系微分导数复变函数初等解定析可解析函数理的导析函数与判定解性质指双曲对三角函旧数函幕数函函数解析函数函数一数的判定方法数数U

3 二、内容提要 微分 复变函数 导数 初等解 解析函数 析函数 指 数 函 数 三 角 函 数 对 数 函 数 幂 函 数 性质 解析函数 的判定方法 可导与微分的关系 可 导 与 解 析 的 判 定 定 理 双 曲 函 数

复变函数1.复变函数的导数与微分1）导数的定义设函数w= f(z)定义于区域D,z为D中的一点,点zo +△z不出D的范围,如果极限f(zo + △z) - f(zo)limAzAz-0存在,那么就称f(z)在z.可导.这个极限值称为f(z)在z的导数,记作dwf(zo + △z) - f(zo)= limf'(zo) =dz.AzAz-→0Z=Z0U

4 1）导数的定义 . ( ) ( ) lim d d ( ) , , ( ) . ( ) ( ) ( ) lim , , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z f z z f z z w f z z f z z f z z f z z f z z z D w f z D z D z z z z  +  −  = =  +  − +  =  → =  → 在 的导数 记作 存在 那么就称 在 可导 这个极限值称为 点 点 不出 的范围 如果极限 设函数 定义于区域 为 中的一 1. 复变函数的导数与微分

复变函数定义如果函数f(z)在区域D内处处可导,我们就称在区域内D可导2）可导与连续函数f(z)在z 处可导则在z 处一定连续,但函数,）在Z处连续不一定在处可导3）求导公式与法则(1）（c）=0，其中c为复常数（z"）= nz"-l，其中n为正整数(2)(3)f(z)±g(z)) = f'(z)±g'(z)u

5 . ( ) , 称在区域内 可导 如果函数 在区域 内处处可导 我们就 D 定 义 f z D 2)可导与连续 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 3)求导公式与法则 (1) (c) = 0, 其中c为复常数.  (2) ( ) , . z n  = nzn−1 其中n为正整数 (3) [ f (z) g(z)] = f (z)  g(z).  

复变函数)Lf(z)g(z)] = F'(z)g(z)+ J(z)g(z).(4)f(z)1 = f'(z)g(z) - f(z)g*(z)(5)(g(z) ± 0)g(z)g(z)其中w=g(z)(6)(f[g(z)) = f'(w)g(z).1其中w= f(z)与z=(w)是(7)f'(z)=p'(w)两个互为反函数的单值函数，且β(w) 0U

6 (4)  f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g(z).  . ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5) 2   −  =        g z g z f z g z f z g z g z f z (6) { f[g(z)]} = f (w)g(z). w = g(z)  其中 , ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) 1 (7) ( )   = =   = w w f z z w w f z    两个互为反函数的单值函数 且 其中 与 是

复变函数4）复变函数的微分设函数w=f(z)在Z可导，则Aw = f(zo + 4z) - f(zo) = f'(zo): 4z + p(4z)4z,式中lim p(4z)=0, lp(4z)△z|是|z的高阶无穷4z0小,f'(zo）·4z 是函数 w= f(z)的改变量 4w的线性部分.则f'(zo)·△z称为函数 w=_f(z)在点 zo的微分记作dw = f'(zo).Az.= f'(z)dz.u

7 线性部分 则 小 是函数 的改变量 的 式中 是 的高阶无穷 设函数 在 可导 则 . , ( ) ( ) lim ( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 f z z w f z w z z z z w f z z f z f z z z z w f z z z                  = = = + − =   + = → d ( ) . ( ) ( ) , 0 0 0 w f z z f z z w f z z =       = 记作 称为函数 在点 的微分 4)复变函数的微分 = f (z)dz

复变函数如果函数在 z的微分存在,则称函数 f(z)在Z可微如果函数f(z)在区域D内处处可微则称f(z)在区域D内可微可导与微分的关系函数w=f()在z可导与在z可微是等价的u

8 . , ( ) 0 0 在 可微 如果函数在 的微分存在 则称函数 z z f z ( ) . 函 数w = f z 在 z0可导与在z0可微是等价的 ( ) . ( ) , 在区 域 内可微 如果函数 在区 域 内处处可微 则 称 f z D f z D 可导与微分的关系

复变函数2.解析函数1)定义如果函数 f(z)在 zo 及z的邻域内处处可导,那末称 f(z)在 zo解析如果函数f(z)在区域D内每一点解析则称f(z)在区域D内解析。 或称f(z)是区域D内的一个解析函数（全纯函数或正则函数如果函数f(z)在 z 不解析,那末称z 为f(z)的奇点u

9 1)定义 , ( ) . ( ) 0 0 0 导 那末称 在 解析 如果函数 在 及 的邻域内处处可 f z z f z z z ( ). ( ) . ( ) ( ) , 个解析函数 全纯函数或正则函数 在区 域 内解析 或 称 是区 域 内的一 如果函数 在区 域 内每一点解析 则 称 f z D f z D f z D 2. 解析函数 ( ) . ( ) , 0 0 的奇点 如果函数 在 不解析 那末称 为 f z f z z z

复变函数2)性质(a)在区域D内解析的两个函数 f(z)与g(z)的和、差、积、商(除去分母为零的点)在D内解析(b)设函数h = g(z)在z平面上的区域D内解析函数w= f(h)在 h平面上的区域G内解析.如果对D内的每一个点z,函数g(z)的对应值h都属于G,那末复合函数 w= fIg(z)I在 D内解析(c）所有多项式在复平面内处处解析(d)任何一个有理分式函数P(z)/Q(z)在不含分母为零的点的区域内解析使分母为零的点是它倚点U

10 ( ) . ( ) ( ) ( ) 和、差、积、商 除去分母为零的点 在 内解析 在区域 内解析的两个函数 与 的 D a D f z g z , [ ( )] . , ( ) ( ) . ( ) ( ) , 于 那末复合函数 在 内解析 对 内的每一个点 函数 的对应值 都属 函数 在 平面上的区域 内解析 如果 设函数 在 平面上的区域 内解析 G w f g z D D z g z h w f h h G b h g z z D = = = (c) 所有多项式在复平面内处处解析. 2)性质 . , ( ) ( ) ( ) 点 为零的点的区域内解析 使分母为零的点是它的奇 d 任何一个有理分式函数P z Q z 在不含分母