《复变函数与积分变换》课程教学资源（教材讲义）第九章 拉普拉斯变换

第九章拉普拉斯变换$9.1拉普拉斯变换的概念上一章介绍的傅里叶变换无在许多领域中发挥了重要作用.特别是在信号处理领域，直到今天它仍然是最基本的分析和处理工具·甚至可以说信号分析本质1即是傅氏分析（谱分析）.但任何东西总有它的局限性，傅氏变换也是如此.因而人们针对傅氏变换的一些不足进行了各种各样的改进：这些改进大体上分为两个方面，其一是提高它对问题的刻画能力，如窗口傅氏变换、小波变换等；其一是扩大它本身的适用范围，本章要介绍的是后面这种情况，我们已经知道，傅氏变换是建立在傅氏积分基础上的，一个函数除要满足狄氏条件外，一般说来还要在（一，十×）绝对可积，才有古典意义下的傅氏变换.而绝对可积是一个相当强的条件，即使是些很简单的函数（如线性函数、正弦与余弦函数等）都不满足此条件.引入函数后，傅氏变换的适用范围被拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅氏变换，但对于以指数级增长的函数仍无能为力另外，进行傅氏变换必须在整个实轴上有定义，但在工程实际问题中，许多以时间！作为自交量的函数在！0时是无意义的，或者是不需要考虑的.因此在使用傅氏变换处理问题时，具有一定的局限性：能否找到一种变换，既具有类似于傅氏变换的性质，又能克服以上的不足呢？回答是肯定的，这就是我们下面要介绍的拉普拉斯（Iaplace）变换，它是从19世纪木英国丁程师赫维塞德（Hcaviside）所发明的算子法发展而来的，面其数学根源则米自拉普拉斯

第九章拉拉斯变换.214:89.1.1拉普拉斯变换的定义定义9.1设函数f（t)是定义在[0.十×）的实值函数，如果对于复参数s=β+jw，积分F(s) =f()e "dt(9. 1)在复平面s的某一域内收敛，则称F（s）为f（t）的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为F（s）一f（t)l：相应地，称/t)为F（s）的拉普拉斯逆变换（简称拉氏逆变换），记为f（t）=S［F（s）.有时我们也称f（t）与F（s）分别为像原函数和像函数拉氏变换与傅氏变换到底有什么关系呢？或者说拉氏变换是如何对傅氏变换进行改造的呢？由（9.1）式，我们有[f(o)]-f()e""dt+f(t)ea.edt[f(t)u(t)e e-indi-[f(t)u(t)e].可见函数ft）的拉氏变换就是f(1)u(z)e争的傅氏变换其基本想法是，首先通过单位阶跃函数u（t）使函数f(t）在t0的部分乘上一个衰减的指数函数e-以降低其“增长速度，这样就有希望使函数f(t)u（t)e-"满足傅氏积分条件，从而对它进行傅氏积分，例9.1分别求出单位阶跃函数u(t）、符号函数sgnt以及函数f(t)一1 的拉氏变换，解 由(9.1)式有"e-"dt = 1[u(t)] =[u(t)e-"dt =(Re s≥ 0);e"dt=lY[sgn t) =(sgn t)e-"dt =(Res> 0);

· 216 -第九章拉菩拉斯变拖域（或者存在域）义是什么呢？这个问题也许炸以给出一个非常精确的回签，们下面的定理可以部分地向这个问题S9.1.2拉氏变换存在定理定理9.1设函数f（）满足：（1）在0的任何有限区间上分段连续；（2）当1-→十α时.f（t）具有有限的增长性即存在常数M0及≥0，使得If()IMe(0≤tc，即β一>0，可知上式右端积分收敛，因此F（s)在半平面Res≥上存在.关于Fs）的解析性证明涉及更深一些的有关理论，故从略：对于定理9.1，我们可以这样简单地去埋解，即一个函数即使它的绝对值随着+的增人面增大，但只要不比某个指数函数增长的快，则它的拉氏变换存在，这-点上可以从拉氏变换与傅氏变换的关系中得到一种直观的解释.常见的大部分函数都是满足的，如三角函数、指数函数以及幂函数等.而函数e则不满足，因为无论取多大的M与c，对足够大的t，总会出现e">Me"，其拉氏变换不存在.但必须注意的是，定理9.1的条件是充分的，而不是必要的，另外，关于存在域，定理9.1中所给的也是·个充分性的结论，…般说来还会大一些，但从形式上看，它往往是一个半平面，更具体地说。对任何一个函数f（t），其拉氏变换F（s)为下列三种情况之一：(1）F(s)不存在；（2）F（s）处处存在，即存在域是全平面；(3）存在实数sc，当Res>so时，F(s）存在；当Res<su时，F（s）不

29.2拉氏变换的性质.217.存在，即存在域为Resi对于上的的第二种情况，在应用时，我们常常略Re只有在非常必要时才特别注明.如（）一1的拉氏变换就是F（s）一.而不再附注条件Re0.其它函数也同样处理例9.3求两数f（1)=e"的拉氏变换（u为复常数）解山ic"kr故"的增长指数为Re，Le"」在ReReu内解析.由定义有""e"dTewE""clt89.2拉氏变换的性质为了叙述方便，在下面的性质中，均假设所涉及到的拉氏变换存在，且满足定理9.1中的条件89.2.1线性与相似性质1.线性性质设αβ为常数，且有[/()-F().()=(.则有[a/(t) + βg()/ =F(s) 1 3G(s). [aF(s) + BG(s)7=αf(0) + 3g(0)例9.4求coswt的拉氏变换，1(e+e及Tem解 由cos tut有2s--jw"([e] +[e )y[cos wt]-211-S上2-.j$+jn

$9.2拉氏变换的性质.219:由于f(t)≤Me,Res-3c故limf()e=0.因此[f()I= sF(s)f(0),再利用数学归纳法，则可得（9.4）式拉氏变换的这一性质可用来求解微分方程（组）的初值问题例9.6求解微分方程y"(t) +ay(t) - 0. (0) = 0. y(0) = w解对方程两边取拉氏变换，并利用线性性质及（9.1)式有sY(s) -s3(0)y(0) - wY(s) - 0,其中Y(s)=y(t)，代入初值即得Y(s) = +"根据例9.4结果，有y(t)=-1[Y(s)=sinwt例9.7求f（t）=t"的拉氏变换（m1为止整数）解法一直接利用定义求解"]-t"e"dt=t"de+一Ite""e"mt"-'di,可得递推关系"["-,由]有m!["]=W·解法二，利用导数的像函数性质求解设f(t)=",则m(t)=m!且f(0)=f(0)==f((0)=0,由（9.4)式有[(m（)]=s"［f(),即m!["=AsmI-2.像函数的导数设Lf(t)=F(s)，则有F(s) =- ≤[tf(t)],(9.5)一般地，有

第九章拉普拉斯变换220pa"(s) = (-1)"g[t"f(t)7.(9.6)f(t)e"dt有证由F(s）=df(t)e-"dtF(s) =lsf(reJd?25tf(t)e dt =- fftf(t)对F（5）施行问样步骤，反复进行则可得（9.6）式，其中求导与积分的次序交换是有一定条件的，这里省略·后面磁到类似的运算也同样处理.例9.8求函数f(t)=tsinut的拉氏变换C解由例9.4已知f[sinwt7=一·根据（9.5）式有20sdr[sin ] =-,+] =+)例9.9求函数f（）一tcost的拉氏变换↓[e(1 + cos2t)y[cost= -解91drl+2 ds2L+4= 2( + 24.s2 + 32)s(+4)389.2.3天积分性质1.积分的像函数设FL(t)=F(s),则有-F(s);f(t)d/(9.7)一般地，有

9.2拉氏变换的性质·221f()d-F(s)(9.8)开次【f(t)dt、则g（t)=F(t）月g(0）=0.再利用证设g(t)=(9.3)式有 g(t)] s [g(t)1 -g(0),f(t)d一一F(s).反复利用上式即得(9.8)式即有S2.像函数的积分设f(t)=F（s),则有F(s)ds = 4[):(9. 9)一般地，有 dsf ds.. F(s)ds = fS(9. 10)n次F F(s)ds- fcftf(t)e"drjds证f(oe"d.jdtJe" d?J(t) .[-(e-"dt - y[rf(t)反复利用上式即可得（9.10）式sin的拉氏变换，例9.10求函数f(t)=解由[in及（9.9）式有arccot s.即

$9.2拉氏交换的质·223令s=1得costdtt:89.2.4延迟与位移性质1.延迟性质设/）7=F（s），当10时f（t）-0.则对任一非负实数有f(t-r)l-e"F(s)(9.11)证由定义有F(t-)-(t)e-"dt=f(-t)e"dt.令t布[f(t- t)f(r,)e"y ridt, -e "F(s).必须注意的足本性质中对(t)的要求，邸当1<.0时(1）一0.此时f(一)在<时为零.故f(一)应理解为(（-）.而不是f(t一t)u(t).因此(9.11)式完整的写法应为rf( - t)u(t -- )l=e "F(s).相应地就有F(s)f（t-)u(-T)例9.12设f(t)-sint，求[/(-51解由于y[sint]-+，根据（9.11)式有27=[sin(t -s.Lf(t- tvein-,+re-t.按照前面的解释.则应有-,le- sin(t -个-一级2

第九章拉普拉斯变换: 224-t=cos t,T0.2元试考虑，本题若直接用sin（cost来做拉氏变换会得到2什么样的结果，并分析其原因2例9.13求-1解日由子”门=e'u(t),有t>l4-e=e u(-)0t<1.2.位移性质设f(t)一F(s)则有[e"f(t)l = F(s - a)(a 为一复常数）证由定义有[e"f(t)]-e"f(t)e""atf(t)e-t rdt = F(s -a).9.2.5周期函数的像函数设f(t)是[o,十α)内以T为周期的函数，且f()在-个周期内逐段光滑，则±[f(t)]=f(t)e-"dte证由定义有Lf(t)J= 1"f(t)e""dt"f(t)e"dt +"" fute""ds

9.2拉氏变换的性质225对上式右端第二个积分作变量代换t=t-T，且由（t)的周期性，有F(t)e"di+FEf(t)]-f(t,e "iedt)f(oe-"dt +e-f()]故有4[f(t)1f(r)edi例9.14求全波整流后的正弦波f（t）=lsinoti的像函数，f(t)的周期为T一芸，故有解[f(t)T:"sin wt d!s sin wt-w cos wt)15+(e)eth-7+201e89.2.6卷积与卷积定理1、卷积按照8.3.2中卷积的定义，两个函数的卷积是指fi(t) * f,(t) =f.(t)f.(t - t)dt.(9.12)如果f(t)与f(t)满足当t<0时，f.（)=（1)=0,则有fi(r)f(t -- t)dr= fi(r)fa(t - t)dtfi(r)fe( - t)dt.此时(9.12)式变成J.(t)*f(t)fi()f,(f-r)dz(o).(9.13)显然，由（9.13)式定义的卷积的仍然满足交换律、结合律以及分配