《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第三章 复变函数的积分 3.2 第二节 柯西－古萨基本定理

复变函数第二节柯西一古萨基本定理一、问题的提出二、 基本定理三、典型例题四、小结与思考u

第二节 柯西－古萨基本定理 一、问题的提出 二、基本定理 三、典型例题 四、小结与思考

复变函数一、问题的提出观察上节例1.被积函数 f(z)= z 在复平面内处处解析此时积分与路线无关观察上节例4，被积函数当n=0时为z-zo它在以为中心的圆周C的内部不是处处解析的此时dz=2元i±0.CZ- Zou

2 一、问题的提出 观察上节例1, 被积函数 f (z) = z 在复平面内处处解析, 此时积分与路线无关. 观察上节例4, , 1 0 0 z z n − 被积函数当 = 时为 , 它在以z0 为中心的圆周C的内部不是处处解析的  =   c − z i z z d 2 0. 1 0 此 时

复变函数虽然在除去Z的C的内部函数处处解析但此区域已不是单连通域被积函数f(z)=z=x-iy观察上节例5.由于不满足柯西一黎曼方程，故而在复平面内处处不解析此时积分值zdz与路线有关由以上讨论可知，积分是否与路线有关，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性

3 观察上节例5, 被积函数 f (z) = z = x − iy, 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内 处处不解析. 此时积分值 zdz与路线有关. c . , 0 但此区域已不是单连通域 虽然在除去z 的C 的内部函数处处解析 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可 能决定于被积函数的解析性及区域的连通性

复变函数二、基本定理柯西一古萨基本定理柯西介绍古萨介绍如果函数,f(z)在单连通域B内处处解析那末函数,f(z)沿B内的任何一条封闭曲线C的积分为零：f f(z)dz = 0.定理中的C可以不是简单曲线。B此定理也称为柯西积分定理u

4 B 二、基本定理 柯西－古萨基本定理 : ( )d 0. ( ) ( ) ,  = c f z z f z B C f z B 的积分为零 那末函数 沿 内的任何一条封闭曲线 如果函数 在单连通域 内处处解析 C 定理中的 C 可以不是简 单曲线. 此定理也称为柯西积分定 理. 柯西介绍 古萨介绍

复变函数关于定理的说明：(1)如果曲线C是区域B 的边界，函数 f(z)在B内与C上解析,即在闭区域B=B+C上解析那末f. f(z)dz = 0.(2)如果曲线C是区域 B 的边界，函数 f(z)在B内解析，在闭区域B=B+C上连续，那末定理仍成立1

5 关于定理的说明: (1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 函数 f (z)在 B内与C 上解析, 即在闭区域B = B + C 上解析,  = c 那末 f (z)dz 0. (2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 函数 f (z)在 B内解析, 在闭区域B = B + C 上连续, 那末 定理仍成立

复变函数三、典型例题例1计算积分dz.Jz-12z-3解函数在≤1内解析,2z-3根据柯西一古萨定理，有1dz = 0.Jzl=1 2z - 3u

6 三、典型例题 例1 解  =1 − d . 2 3 1 z z z 计算积分 1 , 2 3 1 函数 在  内解析 − z z 根据柯西－古萨定理, 有  = = 1 − d 0. 2 3 1 z z z

复变函数例2 证明(z-α)"dz=0(n≠-1),其中C是任意闭曲线证(1)当n为正整数时，(z-α)" 在z平面上解析(z-α)"dz = 0由柯西一古萨定理，(2)当n为负整数但不等于一1时,(z-α)" 在除点α的整个z平面上解析,情况一：若C不包围α点u

7 例2 . ( ) d 0 ( 1), 任意闭曲线 证明 z z n 其中C 是 c n − =  −   证 (1)当n为正整数时, (z ) 在 z 平面上解析, n − 由柯西－古萨定理, ( − ) d = 0. c n z  z (2)当n为负整数但不等于− 1时, (z ) 在除点 的整个 z 平面上解析, n −  情况一: 若C 不包围 点

复变函数(z-α)" 在C围成的区域内解析, (z -α)"dz = 0;由柯西一古萨定理情况二：若C包围α点,g (z - α)"dz = 0.由上节例4可知,u

8 由柯西－古萨定理, ( − ) d = 0; c n z  z 情况二: 若C 包围 点, 由上节例4可知, ( − ) d = 0. c n z  z (z ) 在 C 围成的区域内解析, n −

复变函数1计算积分例3dz.z(z2 + 1)z-i21解z(z2 +1)2Z-7十二和因为都在-i≤上解析，2z+i7根据柯西一古萨定理得Ddz=dz.z(z2 + 1)2 z +i2 z-T[z-i=[z-i-22U

9 例3 d . ( 1) 1 2 1  2 − = + z i z z z 计算积分 解 , 1 1 2 1 1 ( 1) 1 2       − + + = − z z + z z i z i , 2 1 1 1 因为 和 都在 −  上解析 + z i z z i 根据柯西－古萨定理得  − = + 2 1 2 d ( 1) 1 z i z z z  − =       − − + = − 2 1 d 1 2 1 1 2 1 1 z i z z z i z i

复变函数1LOOdzdz.dz.22A1z-iZz+112z-i=.z-i=z-i-220二1dz2元i=一元i.一22z-i=1

10    − = − = − = − − + = − 2 1 2 1 2 1 d 1 2 1 d 1 2 1 d 1 z i z i z i z z i z z i z z = 0  − = − = − 2 1 d 1 2 1 z i z z i = −  2i 2 1 = −i