《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第五章 留数及其应用 5.1 第一节 孤立奇点

复变函数第一节孤立奇点一、孤立奇点的概念二、函数的零点与极点的关系三、函数在无穷远点的性态四、小结与思考U

第一节 孤立奇点 一、孤立奇点的概念 二、函数的零点与极点的关系 三、函数在无穷远点的性态 四、小结与思考

复变函数孤立奇点的概念一、定义如果函数 f(z)在 zo不解析,但f(z)在 zo的某一去心邻域0<z一zol<内处处解析,则称zo为f()的孤立奇点sin z例1z=0 是函数的孤立奇点。pZz=-1是函数的孤立奇点。z+1注意：孤立奇点一定是奇点，但奇点不一定是孤立奇点。u

2 一、孤立奇点的概念 定义 如果函数 0 f (z) 在 z 不解析, 但 f (z) 在 0 z 的某一去心邻域  −   0 0 z z 内处处解析, 则称 0 z 为 f (z) 的孤立奇点. 例1 z = 0 是函数 z z e z sin , 1 的孤立奇点. z = −1 是函数 1 1 z + 的孤立奇点. 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点

复变函数例2 指出函数f(z)=在点Z=0的奇点特性1sinZ解函数的奇点为1Z=O, Z(k =±1,±2,.)二k元1因为= 0,limk->00 k元即在z=0的不论怎样小的去心邻域内,总有f(z)的奇点存在，所以z=0不是孤立奇点u

3 例2 指出函数 在点 z = 0 z z f z 1 sin ( ) 2 = 的奇点特性. 解  = = k z z 1 0, (k = 1, 2, ) 因为 0， 1 lim = k→ k 即在 z = 0 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 f (z) 所以 z = 0 不是孤立奇点

复变函数孤立奇点的分类依据f()在其孤立奇点z的去心邻域0<一zol< 内的洛朗级数的情况分为三类2．极点;1．可去奇点；3．本性奇点1.可去奇点1) 定义如果洛朗级数中不含z一zo的负幂项那末孤立奇点z称为f（z）的可去奇点u

4 孤立奇点的分类 依据 f (z) 在其孤立奇点 0 z 的去心邻域  −   0 0 z z 内的洛朗级数的情况分为三类: 1．可去奇点 1．可去奇点; 2．极点; 3．本性奇点. 如果洛朗级数中不含 z − z0 的负幂项, 0 那末孤立奇点 z 称为 f (z) 的可去奇点. 1) 定义

复变函数说明：(1)Z若是f(z)的孤立奇点f(z) =co + ci(z - zo)+...+ cn(z - zo)" +...(0<z-Zo<8)其和函数F(z)为在Zo解析的函数(2)无论 f(z)在 Zo 是否有定义,补充定义f(zo）= Co’则函数 f(z）在 zo 解析F(z), z± Zof(zo) = lim f(z)f(z) =Z-70Co 2 Z = ZoU

5 其和函数 F(z) 为在 0 z 解析的函数.    =  = 0 0 0 , ( ), ( ) c z z F z z z f z 说明: (1) ( ) , z0若是f z 的孤立奇点 ( ) ( ) ( ) . f z = c0 + c1 z − z0 ++ cn z − z0 n + ( 0 ) 0  z − z   ( ) lim ( ) 0 0 f z f z z→z = ( ) , 0 0 f z = c (2) 无论 在 是否有定义, f (z) 0 z 补充定义 则函数 在 0 f (z) z 解析

复变函数2）可去奇点的判定(I)由定义判断：如果 f(z)在z。的洛朗级数无负幂项则 z为 f(z)的可去奇点(2)判断极限lim f(z)：若极限存在且为有限值,Z→Z0则 z为 f(z)的可去奇点U

6 2) 可去奇点的判定 (1) 由定义判断: 如果 f (z) 在 z0 的洛朗级数无负 幂项则 0 z 为 f (z) 的可去奇点. (2) 判断极限 lim ( ): 0 f z z→z 若极限存在且为有限值, 则 0 z 为 f (z) 的可去奇点

复变函数sin z21例31中不含负幂项...17十73!5!Zsin z是z =0的可去奇点·7如果补充定义：sin zz=0时,= 1,zsin z那末在 z=0解析7u

7 如果补充定义: z = 0 时, 1, sin = z z 那末 z sin z 在 z = 0 解析. 例3 = − 2 + 4 − 5! 1 3! 1 1 sin z z z z 中不含负幂项, z = 0 是 z sin z 的可去奇点

复变函数e例4 说明z=0为的可去奇点。Zez-12解(1z"+...-1)++7一-2!n!Z7一n-120z+8++....-Z+...7+2!n!无负幂项ez-1所以 z=0为的可去奇点7ez-1因为另解lime" = 1,limz-0z-→0N一e所以 =为的可去奇点U

8 例4 说明 z = 0 为 z e z −1 的可去奇点. 解 = − z e z 1 , ! 1 2! 1 1 = + ++ z n−1 + n z 0  z  + 所以 z = 0 为 的可去奇点. z e z −1 无负幂项 另解 z z z z e z e 0 0 lim 1 lim → → = − 因为 所以 z = 0 为 的可去奇点. z e z −1 1) ! 1 2! 1 (1 1 2 + + ++ +− n z n z z z = 1

复变函数2.极点1）定义如果洛朗级数中只有有限多个z一z的负幂项，其中关于（z一zo)-的最高幂为(z一zo）-m即f(z)= C-m(z- zo)-m + -+ C-2(z- zo)-2 + C_i(z - zo)-1(m ≥ 1, c-m ± 0)+ Co + c,(z- zo) +.:1或写成f(z) =mg(z)(Z-Z0)那末孤立奇点Zo称为函数f(z)的m级极点u

9 2. 极点 1 1 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − f z = c z − z + + c z − z + c z − z m m  (  1,  0) −m + + ( − ) + m c 0 1 0 c c z z ( ) , ( ) 1 ( ) 0 g z z z f z m − = 1 0 ( ) − z − z ( ) , 0 m z z − 其中关于 的最高幂为 − 即 那末孤立奇点 z0 称为函数 f (z) 的 m 级极点. 或写成 1) 定义 0 如果洛朗级数中只有有限多个 z − z 的 负幂项

复变函数说明：(1)g(z) = C-m + C-m+1(z - zo) + C-m+2(z - zo)2 + ..特点：1.在z-ZolZ03z + 2例5 有理分式函数 f(z)== 2(z + 2)=0是二级极点，=-2 是一级极点U

10 说明: g(z) = c−m + c−m+1 (z − z0 ) + c−m+2 (z − z0 ) 2 + 1. 在z − z0  内是解析函数 2. g(z0 )  0 特点: (1) (2) 如果 z0 为函数 f (z) 的极点 , 则 lim ( ) . 0 =  → f z z z 例5 有理分式函数 , ( 2) 3 2 ( ) 2 + + = z z z f z z = 0是二级极点, z = −2 是一级极点