《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第四章 解析函数的级数表示 4.3 第三节 泰勒级数

复变函数第三节泰勒级数一、问题的引入二、泰勒定理三、将函数展开成泰勒级数四、典型例题五、小结与思考U

第三节 泰勒级数 二、泰勒定理 三、将函数展开成泰勒级数 一、问题的引入 四、典型例题 五、小结与思考

复变函数一、问题的引入问题：任一个解析函数能否用幂级数来表达？设函数f(z)在区域 D内解析,lS一zol=r为D内以z为中心的任一圆周它与它的内部全包含于D,记为KK内任意点Z如图：圆周-zo=rZoKSDU

2 一、问题的引入 问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？ D z K . 内任意点 设函数 f (z)在区域 D内解析, , 为D内以z0 为中心的任一圆周 如图: r 0 z . K − z = r 圆周  0 . 0  − z = r 它与它的内部全包含于D,记为K

复变函数由柯西积分公式，有f(S)dS，其中K取正方向f(z) =2元i5-z因为积分变量取在圆周K上,点z在K的内部Z-Zo所以<1.S-Zo则s-zZ-ZoS-ZoS-Zou

3 由柯西积分公式 , 有  − = K z f i f z d , ( ) 2π 1 ( )    其中 K 取正方向. 因为积分变量 取在圆周K 上,点 z 在 K 的内部, 1. 0 0  − − z z z  所以 0 0 0 1 1 1 1 z z z z z − − − − = −    则

复变函数-Zo-Z0-Zo8126(z-Zo)"一0N-ms于是 f(z)=(z- zo)"n=080f()2Jdg-z0)n(z-zo)" /d十2元(SNu

4    + − − + − − + − = 2 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 z z z z z z  z      + − − + n  z z z ( ) 0 0    = + − − = 0 1 0 0 ( ) . ( ) 1 n n n z z  z   − = +  −      − = 1 0 1 0 0 ( ) ( ) ( )d 2π 1 ( ) N n n K n z z z f i f z    于是         − − +  = + K n N n n z z z f i ( ) d . ( ) ( ) 2π 1 1 0 0   

复变函数由高阶导数公式，上式又可写成2f(z) =(z- zo)n + R(z)n!n=0f(S)L2其中dcR(z)心=(z - zo)- Z0) n+112元i(S若 lim R(z)= 0,N-→88f(n(zo)Z(z-zo)"可知在K内 f(z)=n!n=0u

5 由高阶导数公式, 上式又可写成  − = = − + 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) N n N n n z z R z n f z f z 其中         − − =  = + K n N n N n z z z f i R z    ( ) d ( ) ( ) 2π 1 ( ) 1 0 0 lim ( ) = 0, → R z N N 若 可知在K内   = = − 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) n n n z z n f z f z

复变函数即 f(z)在 K内可以用幂级数来表示Z-ZoZ- Zo令q一S-Zo是与积分变量无关的量,且0≤<1,f(z)在 D(K C D)内解析，则在K上连续因此 f(S)在K 上也连续，f(S)在K 上有界u

6 即 f (z)在 K 内可以用幂级数来表示, 令 q r z z z z z = − = − − 0 0 0  f (z)在 D (K  D)内解析, 则在K上连续, q 是与积分变量 无关的量, 且0  q  1, 因此 f ( )在 K 上也连续, f ( )在 K 上有界

复变函数即存在一个正常数M,在K上f()≤M.f()121R(z)≤z)(z-z0o)"ds4EN(S2元Kds<A1-Mq"2M4".2元1≤-2元1-qn=Nu

7 即存在一个正常数M, 在 K上 f ( )  M. z z s z f R z K n N n N n ( ) d ( ) ( ) 2π 1 ( ) 1 0 0    = + − −              − − −   K n=N n s z z z z f d ( ) 2π 1 0 0  0     =      n N n q r r M 2 2 1 . 1 q Mqn − =

复变函数lim qn = 0lim Rv(z)=0在K 内成立N-8N-08(m) (Zo)2(z- zo)"从而在K内 f(z)=n!n=0泰勒级数f(z)在Zo的泰勒展开式圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内成立u

8 lim = 0 → n N q lim ( ) = 0 K → R z N N 在 内成立, 从而在K内 圆周 K 的半径可以任意增大,只要 K 在 D 内成立.   = = − 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) n n n z z n f z f z f (z) 在 的泰勒展开式, 0 z 泰勒级数

复变函数如果 Zo 到D的边界上各点的最短距离为d.那末f(z)在 zo 的泰勒展开式在z-zol<d内成立但f(z)在 zo 的泰勒级数的收敛半径R至少等于d因为凡满足-zold 的 z必能使f("(zo)N(z-zo)"成立，即R≥d.f(z) =n!n=0泰勒展开定理由上讨论得重要定理1

9 如果 0 z 到 D 的边界上各点的最短距离为 d, 0 那末 f (z) 在 z 的泰勒展开式在 z − z0  d 内成立． 因为凡满足 z − z0  d 的 z 必能使 即 R  d. 由上讨论得重要定理——泰勒展开定理 f (z) 在 0 但 z 的泰勒级数的收敛半径 R 至少等于 d ，  成立，  = = − 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) n n n z z n f z f z

复变函数二、泰勒定理定理设f(z)在区域 D内解析,zo为D内的一点，d为z到D的边界上各点的最短距离，那末8cn(z-zo)"成立,当zol<d时，f(z)=n=0泰勒级数泰勒展开式泰勒介绍其中(zo), n = 0,1,2,C一1U

10 二、泰勒定理 ( ), 0,1,2, ! 1 0 ( ) = f z n = n c n 其中 n 泰勒展开式 泰勒级数 定理 设 f (z) 在区域 D 内解析, 0 z 为 D 内的一 d 为 0 点, z 到 D 的边界上各点的最短距离, 那末 z − z0  d 时,   = = − 0 0 ( ) ( ) n n n 当 f z c z z 成立, 泰勒介绍