《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第四章 解析函数的级数表示 4.2 第二节 幂级数

复变函数第二节幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质四、典型例题五、小结与思考u

第二节 幂级数 一、幂级数的概念 二、幂级数的敛散性 三、幂级数的运算和性质 四、典型例题 五、小结与思考

复变函数一、幂级数的概念1.复变函数项级数定义设(f,(z)(n=1,2,)为一复变函数序列其中各项在区域D内有定义.表达式8Z f.(z) = fi(z)+ fe(z)+.+ f.(z)+.n=18ZJ,(z).称为复变函数项级数，记作n=1u

2 一、幂级数的概念 1.复变函数项级数 定义 设{ f (z)}(n = 1,2, )为一复变函数序列, n  = + ++ +  = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 f z f z f z f z n n n 其中各项在区域 D内有定义.表达式 称为复变函数项级数, 记作 ( ). 1   n= n f z

复变函数级数最前面n项的和sn(z) = fi(z)+ f2(z)+::+ fn(z)称为这级数的部分和和函数如果对于D内的某一点zo,极限lim S,(zo）= s(zo)n80f,(z)在 zo 收敛, s(zo)称为存在，那末称级数n=1它的和u

3 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 s z f z f z f z n = + ++ n 称为这级数的部分和. 级数最前面n项的和 和函数 . , ( ) , ( ) , lim ( ) ( ) 0 0 1 0 0 0 它的和 存 在 那末称级数 在 收 敛 称 为 如果对于 内的某一点 极 限 f z z s z D z s z s z n n n n   = → =

复变函数如果级数在D内处处收敛,那末它的和一定是z的一个函数s(z):s(z) = fi(z)+ f2(z)+...+ fn(z)+..称为该级数在区域D上的和函数U

4 s(z) = f1 (z) + f2 (z) ++ fn (z) + 称为该级数在区域D上的和函数. 如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定 是 z的一个函数 s(z):

复变函数2．幂级数当 f,(z)= Cn-1(z=a)n-1或 f,(z)=Cn-izn-1时,函数项级数的特殊情形8Zc,(z-a)"=Co +c(z-a)+c(z-a) ++c,(z-a)"+.n=080Z或cnz" = Co +cz +c2z? +..+c,z" +...n=1这种级数称为幂级数1

5 2. 幂级数 当 1 1 ( ) ( ) − = − − n fn z cn z a 或 ( ) , 1 fn z = cn−1 z n− 时 函数项级数的特殊情形  − = + − + − +  = 2 0 1 2 0 c (z a) c c (z a) c (z a) n n n + cn (z − a) n + c z c c z c z c z . n n n n  n = + + ++ +  = 2 0 1 2 1 或 这种级数称为幂级数

复变函数二、幂级数的敛散性1.收敛定理（阿贝尔Abel定理）阿贝尔介绍8ZC,z"在z=Zo(±0)收敛,那末对如果级数n=0满足o的Z，级数必发散u

6 二、幂级数的敛散性 1.收敛定理 (阿贝尔Abel定理) 如果级数   n=0 n n c z ( 0) z = z0  0 z  z 0 z = z 0 z  z z, 在 收敛, z, 那末对 的 级数必绝对收敛, 如果在 级数发散, 那末对满足 的 级数必发散. 满足 阿贝尔介绍

复变函数8证因为级数Cnz"收敛,n=0由收敛的必要条件,有 lim cnz"= 0n→>因而存在正数M使对所有的n，有cnzo"<M,z如果<0l,那末=q<1,Zou

7 证 , 0 因为级数  0 收敛  n= n n c z 由收敛的必要条件, 有 lim 0 = 0 → n n n c z 因而存在正数M, , c z0 M n 使对所有的n, 有 n  , 0 如果 z  z 1, 0 = q  z z 那末

复变函数1而< Mq"C,znZoZ0由正项级数的比较判别法知8ZCnz"= col+ Iciz+C2z2+.+Cnz" +..收敛.n=08故级数Cnz" 是绝对收敛的n=0另一部分的证明请课后完成[证毕]u

8 而 n n n n n n z z c z c z 0 0 =  由正项级数的比较判别法知: . 0 故级数  是绝对收敛的  n= n n c z  = + + ++ +  = n n n n n c z c c z c z c z 2 0 1 2 0 收敛. 另一部分的证明请课后完成. . n  Mq [证毕]

复变函数2.收敛圆与收敛半径对于一个幂幕级数.其收敛半径的情况有三种：(1）对所有的正实数都收敛由阿贝尔定理知：级数在复平面内处处绝对收敛u

9 2. 收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛. 由阿贝尔定理知: 级数在复平面内处处绝对收敛

复变函数例如，级数1＋z++++.22h"7.从某个n开始，总有对任意固定的z,2n7于是有hh故该级数对任意的均收敛u

10 例如, 级数 + + ++ n + n n z z z 2 2 2 1 对任意固定的z, 从某个n开始, 总有 , 2 1  n z 于是有 , 2 1 n n n n z        故该级数对任意的z均收敛