《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第一章 复数与复变函数 1.4 第四节 区域

复变函数第四节区域一、区域的概念二、单连通域与多连通域三、典型例题四、小结与思考U

第四节 区 域 一、区域的概念 二、单连通域与多连通域 三、典型例题 四、小结与思考

复变函数一、区域的概念1.邻域：平面上以为中心(任意的正数)为半径的圆：zolM的所有点的集合,其中实数 M>0,称为无穷远点的邻域u

2 一、区域的概念 1. 邻域: : . , ( ) 0 0 0 的 圆 内部的点的集合称为 的邻域 平面上以 为中心 任意的正数 为半径 z z z z   −  说明 . , 0, 点的邻域 所有点的集合 其中实数 称为无穷远 包括无穷远点自身在内且满足 的   M z M

复变函数2.去心邻域：称由不等式0M的所有点的集合，称为无穷远点的去心邻域可以表示为M<z<+0.u

3 2.去心邻域: . 0 0 0 集合为 的去心邻域 称由不等式 所确定的点的 z  z − z   说明 . , . ,   +  M z z M 可以表示为 的所有点的集合 称为无穷远点的去心邻域 不包括无穷远点自身在内 仅满足

复变函数3.内点：设G为一平面点集为G中任意一点如果存在Z的一个邻域该邻域内的所有点都属于G那末Z称为G的内点4.开集：如果G内每一点都是它的内点，那末G称为开集U

4 3.内点: . , , , . 0 0 0 那 末 称 为 的内点 存 在 的一个邻域 该邻域内的所有点都属于 设 为一平面点集 为 中任意一点 如 果 z G z G G z G 4.开集: 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称 为开集

复变函数5.区域：如果平面点集D满足以下两个条件，则称它为一个区域(1)D是一个开集：(2)D是连通的，就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来6.边界点、边界：设D是复平面内的一个区域，如果点P不属于D.但在P的任意小的邻域内总有D中的点，这样的P点我们称为D的边界点u

5 5.区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称 它为一个区域. (1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用 完全属于D的一条折线连结起来. 6.边界点、边界: 设D是复平面内的一个区域,如果点 P 不 属于D, 但在 P 的任意小的邻域内总有D中的 点,这样的 P 点我们称为D的边界点

复变函数D的所有边界点组成D的边界说明(1)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的0C:zC(2)区域D与它的边界一起构成闭区域D.u

6 D的所有边界点组成D的边界. 说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立 的点所组成的. (2) 区域D与它的边界一起构成闭区域 D. z C1 C2 C3 z C1 C2 C3

复变函数边界以上基区域本概念邻域的图示4P边界点7.有界区域和无界区域如果一个区域D可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在M>0,使区域的每一个点都满足z<M,那末D称为有界的否则称为无界的.u

7 以上基 本概念 的图示 1 z  2 z  区域  0 z  邻域  P 边界点 边界 7.有界区域和无界区域: . , , , 0, 界 的 点都满足 那 末 称为有界的 否则称为无 为中心的圆里面 即存在 使区域的每一个 如果一个区域 可以被包含在一个以原点 z M D M D  

复变函数课堂练习判断下列区域是否有界?1(l)圆环域:r0;(3)角形域：0<argz<β;x(4) 带形域： a<Imz<b.答案(1)有界;(2) (3) (4)无界

8 (1) 圆环域: ; 1 0 2 r  z − z  r 0 z  2r 1r 课堂练习 判断下列区域是否有界? (2) 上半平面: Imz  0; (3) 角形域: 0  arg z  ; (4) 带形域: a  Im z  b. 答案 (1)有界; (2) (3) (4)无界. x y o

复变函数二、单连通域与多连通域1.连续曲线：如果x(t)和 y(t)是两个连续的实变函数那末方程组x=x(t)，=y(t)，(a≤t≤b)代表一条平面曲线，称为连续曲线平面曲线的复数表示：(a≤t≤b)z = z(t) = x(t)+iv(t).u

9 二、单连通域与多连通域 1. 连续曲线: , . ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) , 表一条平面曲线 称为连续曲线 那末方程组 代 如果 和 是两个连续的实变函数 x x t y y t a t b x t y t = =   平面曲线的复数表示: z = z(t) = x(t) + iy(t). (a  t  b)

复变函数2.光滑曲线：如果在a≤t≤b上,x'(t)和y(t)都是连续的且对于t的每一个值,有[x(t)]2 +[y(t)12 ≠ 0,那末称这曲线为光滑的由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线XxU

10 2. 光滑曲线: . , [ ( )] [ ( )] 0, , ( ) ( ) , 2 2 称这曲线为光滑的 且对于 的每一个值 有 那 末 如果在 上 和 都是连续的  +       t x t y t a t b x t y t 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线. x y o x y o