《复变函数与积分变换》课程教学资源（教材讲义）第七章 解析函数在平面场的应用

*第七章解析函数在平面场的应用在历史上，复变函数论的发生与发展是和成用相联系的，例如达朗倍尔及欧拉由流体力学导出了著名的柯西一黎曼条件茹叫大斯基应用复变函数证明了关于飞机翼升力的公式·并日这一重要结果反过来推动了复变函数的研究，复变函数论的发展还和电磁学、热学、弹性力学等学科以及数学中其他分支联系着，在这里，我们只讲述解析函数对平面场的应用.特别对稳定平面流场及静电场的应用，$7.1复势的概念87.1.1用复变函数表示平面向量场物理上许多种不同的稳定平面场·都而以用解析函数来描述，这种平面场的物理现象、可由相应解析函数的性质来描述设有向量场A --.1 (xV.z.t)i - A(1-y.z,)j+ A.(r,v.&.)k.其中k是沿坐垒标轴的单位问量，是时间.如果这个向量场中所有向量都与某个平面P平行，而H在乖直于平面P的直线上每一点处，于任一固定时刻1、场中向量彼此相等，我们称此向量场为平面平行向量场（图.1）我们设Ory平面平行于平面1.于是有A(r,y,z)0,并[图 7. 1

168+“第七章解析函数在乎面场的忘用A - A.x.yt)i+A.(r.y.t)j因此，对于平面平行向量场的研究，可简化为对P平面或与P平行的任一平面上的平面向量场的研究，如果平面平行向量场不随时问变化，我们称为平面定常向量场，本节只讨论平面定常尚量场A- A,(r,y)i+A,(u,v)j(7. 1)由于场中的点可用复数之=r十iy表示.则向量A=A（r.y）i+A,（r.）j可用=A（，y）一iA（xy）表示所以，如果给定了二个实函数A(y）和Ay)或给定了-个复变函数=o）=A(y）+iAy），则向量场（7.1)就给定了例如，一个平面定常流速场（如河水的表面）v-(r,y)i+ w(xy)j,可以用复变函数v =(z) = v(r.y) + iv,(α,y)表示，又如，垂直于均匀带电的无限长直导线的所有平面匕，电场的分布是相同的，因而可以取其中某一平面为代表，当作平面电场来研究，由于电场强度向量为E=E(r,yi+E(r,y)j,所以该平面电场也可用一个复变函数E=E(z)=E,(x,y) +iE,(,y)来表示，平面向量场与复变函数的这种密切关系，不仅说明了复变函数具有明确的物理意义，而且使我们可以利用复变函数的方法来研究平面向量场的有关问题，7.1.2复势应用数学研究实际问题时，往往需要把问题适当予以简化，化为数学问题；解决数学问题所得的结果还需要回到实际中进行检验·现考虑不可压缩流体的平面稳定流动.所谓不可压缩流体是指密度不因压力

·第七章解析函数在平面场的应用.170.VA,(r,y)dy-A,(a,)dr- 0对于在LD内的任意简单闭曲线C成假定D是单连通区域，直假定4，及4、在D内有连续的偏导数、由《高等数学》知dd.dA,:0.divA :Xaxay即aa,d4,(7.2)dxrh从而可知一A（.d→,)d是某一个二丽数.)的全微分，即d(x,y) =- adr +Ady.由此得=一A=A.ardy因为沿等值线r.v）一C有du(.y) - d,dr + A,dy= 0,所以一会也就是说，向量场A在等值线（1·y）二C上每一点处的向量A都与等值线相切，因而在流速场中等值线"（,y）=C就是流线，所以（，y）称为向量场A的流函数定义7.2曲线积分FA.(r.y)d称为向量场A沿闭曲线C的环量，其中A、是向量A在曲线C.L点（，y）处的切线的正方向上的投影（切线的正方问对应着曲线C绕行的正方向），ds是曲线C的弧元素若引用向量ds一dr十jdy（或写为ds=dr+idy），则Ads =Ads =A,ds = A,(r,y)dr+ A,(r,y)dy.而

S7.1复势的概念.171.(A. ds) --A,(r,y)da + A,(r.y)dye=如果沿C的环量F≠0.假如Fc>0.取正值的A、的一部分积分，其数值大于另一部分，即流体好像沿着（"旋转”若在单连通域1内沿任一简单闭曲线（的环量为零，即一0，这个流体的流动是无放的，即rot,A一0.因而aA.. a.(7.3)axay说明Ad十Ad是某一个二元函数u（，3）的全微分，即du(r.y)= Adr+ A.d..街此得a=A-Adrthy所以grad " = Au（r,y)称为向量场A的势函数（或位函数）），等值线u（r.y）=C称为等势线（或等位线），根据以上讨论可知：如果在单连域D内，向量场A是无源无旋场.则（7.2）式和（7.3）式同时成立，将它们比较一下.即得chtat=A,(x.) =arayhattA(ry):ayar而这就是C-R条件.所以，在无源无旋场中，流函数，）是势函数u（，y）的共轭调和函数，因此可作一解析函数：w= f(z) =t(r.y) +im(r,y)称此解析函数U=（）为向量场A的复势函数，简称复势若已知复势幽数（）=u（r，y）+iw(r，y)，那么它所对应的向量场A=A.（ry)十iA.（y)就很容易求出米·因为（或]一岁（或一）!A,(r.3) -A.(r.y) -arlay

第七章解析函数在亚面场的拉用·172由于a+i-A,(r.y)-1A(r,y),f() -arar所以A=A(ry)+iA(X,)=f(z)于是|A（.y）/=IF（）而向量A（x，）的辐角与向量f（）的辐角只差一符号，因为argf（）一一argf（z）.函数u与的等值线u(uy) = Cr, w(r,y) -C).易知这两曲线的斜率分别为二"与二，且uu满足C-R条件.则有.uy(,()-()--1,即u（y)=CI与v(I·y）=彼此正交对稳定平面流场情形，由于向量记与流线的切线方向一致，流线恰好是流体质点运动的路线，这样，设在单连通区域D内给定一稳定平面场：对于D内任一条简单闭曲线C，通过C的流量及沿C的环量都是零，那么这一平面场对应一个在D内的解析函数，即场的复势，反之，给定一个在单连通区域D内的解析函数，就决定了一个满足上述条件的稳定平面场，以已给函数作为复势如果D是多连通区域，并且在D内任一个单连通区域内，平而场满足上述条件，那么在每一个这样的单连通区域内可以从一i出发确定复势，在整个区域D内，对流场情形，流函数及势函数既可能是单值的，也可能是多值的；而对静电场情形，力函数可能是多值的，而势函数一定是单值的.这是因为保持静电场，不需要消耗能，所以单位正电荷沿着场内任一条简单闭曲线移动时，电场力所作的功是零，因此在是多连通区域时，无论对流场或静电场情形，复势既可能是单值函数.即（单值解析函数，也可能是多值函数，郎多值解析函数，如果复势是多值解析函数，那么在整个区域D内、平面场或者不再尼同时无源、无汇及无旋的，或者不再是无电荷的

87.2复势的应别*173 -反之、设在多连通区域D内给定一多值解析函数并设其各解析分支在D内任一点有相同的导数，就确定一个平面场，以已给函数作为复势，87.2复势的应用87.2.1在流体力学中的复势设在无源又无汇的流体域内，有不可压缩的流体作稳恒的平面平行的运动我们来讨论它的速度场r.）=（，y）+（r，y)j.在这种情形下，速度向量以r，y）通过某曲线C的流量N二z,ds的绝对值以适当的单位米计算就等丁流体在单位时间内流过曲线的量（更精确地说，是流体通过高度为1.母线平行于轴，H在Oxy平面F的投影为C的柱面的量）若在闭曲线所围的区域D内，没有源也没有汇，那么，由于该流体的不可压缩性，在C内部的量是不变的从而可知，流体流人域D的量等于流出的量，即速度向量通过闭路C的流量为零如果速度场又是无旋场，那么在此区域内可以构成一个解析函数wf（）=r.）+iry)，即复势，向量曲线y，y）=c就是流体的流线，因为切于它的向量是流体流动的速度向量，例7.1试研究一平面流速场的复势为f（）一a2（a>0）的速度、流函数和势函数X解因F（）二2在全平面内解析，所以可作为没有涡点、没有源、没有汇，也没有其它奇点的平面流速场的复势。因为（）二4，所以场中任一点的速度f（）=a>0.方向指向轴正向流函数中（v）=uy所以流线是直线y=c:图7.3

87.2复势的应用175于此圆、且A, =- AI= （因为运动是逆时针方向），Ads=1ds-—2元7.2.2热流场的复势在热力学的热传导理论中.已经证明：介质传导的热量与温度梯度成正比、即Q =- kgrad g(r.y.z)或平面情形0 =- kgrad ptr.)其中是热流向量·其方向与等温面（线）正交，与等温面（线）的法线方向同向；为介质的热传导系数；取”一“号是因为热由高温流间低温时，与温度梯度grad的方向相反平面定常热流场在其单连通域D内通常尼无源无旋的，即div 0- 0.rot.Q= 0.因此有Q +2Q= 0.QQ.-.2Q: = 0.ardayay类似于复势的讨论，同样可构造一解析函数w = f(z) (a.y) +1(r,y),其中de-dd1Q:29=63r-aydyaxhw二f（）称为热流场的复势.，y）称为温度函数（或势函数）.(r.y)（常数）称为等温线，山r.y)称为热流函数.(r3）=c（常数）是0的向量线（即热量流动所沿曲线）热流向量kgrad p=Q, iQ, --h-ix 0=ordy—h().51a23

.176.第七章解析函数在平面场的应哨上式说明热流场可用复变雨数Q（）二一（）表示由上可见在流体的流速场与热流场之问有若完全的类似性其区别仪在于：在流速场的情形，复势的两个部分可能是多值函数而在热流场的情形，复势的实部却温度总是单值的（不考虑公式中无关紧要的差异）7.2.3静电场的复势在空间静电场中，由于许多电场具有对称性质，或关于轴对称，或关于平面对称，故只要掌握静电场中某一平面1的性质，即可得到整个电场的情况.所以这种电场又叫平面电场或二维电场平面静电场即强度向量场E=E.r，v)i+E.（u.)i是梯度场：E=-grady(x,y)其中更是静电场的势函数，也可称为场的电势或电位，我们知道，只要场内没有带电物体，即没有电荷（电荷相当于流体力学中源和汇的作用），静电场既是无源场，又是无旋场.故我们可构造复势，u=f(z)=pr,y) +ip(r,y)其中dy--[E,(.y)dr-E,(x.y)dy]dg=-E(t,y)dr+E,(x,y)dy函数g，)称为力函数而=f（）一r，y)十iy）称为静电场的复势，是一个解析函数，因此场E可用复势表示为ad-ieeEE(2)=arar-[-i(),larar而aei--E,-E,--i[E.+E],f(2) 二ariar因此可见静电场的复势和流速场的复势相差一个因子一i，这是电工学

87.2复势的啦用177的习惯用法，并有元-! arg.t(2)7.[E= I/(2)I.Arg E() -2势函数r.y）的等值线叫做等位线，力函数（.，v）的等值线叫做力线，强度向量E沿闭路C的环量r=E.d.等于单位电荷沿闭路移动时所作的功，并永远等于0强度向量通过闭路的流量NE.d..根据著名的高斯（Gauss）定理，等于分布在（内部的电荷的代数和乘以2元.例7.5求一（）一所表小的电场解电线方程为（）=一=常数是双曲线族（图7.4)等势线的方程为山（r.y)2xy，它也是双曲线族这是由两个万相正交的甚大的带电平面所产生的电场·这两个带电平面都和平面垂直，与之平面的交线足轴和轴例7.6说明复势函数f(）=iLn所对应的静电场的性质解p(r,y) =-Arg z, (r,) = In/zl,等势线是圆周|z！一C！力线是射线Arg=C.[F =1()==17「+Arg』ArgE=-1 2 (#+号-^R )=Arg 2-元.这就是说，强度向量的方向沿着射线Arg之=（沿着力线）指向原点

第七章解析函数在平面场的应用178.唯一的奇点是一0，在这个点处有电荷，要求出这个电荷的值·只需算出向量E通过绕点之二0一周的闭曲线（的流量就可得到.选取圆周|2一作为这个闭路，就可得到11E.--[ELN由此得N.ds22元根据高斯定理，可知电荷的值等子一1.由此可知，在点之三0处2元对应电荷为十1的复势函数是:f(）in或/()-in87.3用共形映射的方法研究平面场在速度场，热流场和静电场等平面场中.常用共形映射的方法求得复势函数.方法是将已给的平面区域映照为典型区域（或称为标准区域）.而这些典型区域各自对应着所考虑问题的类型，如速度场映射为上半平而或带形区域，静电场映射为圆域或带形区域等，现举例加以说明，0RA例7.7设曲线由射线一α<≤-R，中心在点一0、半径为尺上的半圆周以及图7.6射线R≤x十所组成，不可压缩流体（无源也无汇）在域G（图7.6）内作无旋流动，又设无穷远点的速度为给定的（实数）Ⅱ（）二x.求所产生的流速场解求流速场的复势一了（）就要把域G的边界映射为实轴