《复变函数与积分变换》课程教学资源（教材讲义）第六章 共形映射

第六章共形映射前面儿章主要是运用分析的法（如微分、积分、级数展开等）来讨论复变解析函数的性质和应用而从几何的观点来看，一个复变函数一）实际上给出了之平面上的一个点集到平面上一个点集的映射研究这种映射关系，可以使我们对解析函数有更深刻的认识.本章主要讨论由解析函数构成的共形映射及其一些重要特征，重点讨论由分式线性丽数构成的映射.共形映射在解决流体力学、电磁学、传热学等实际问题中，发挥了重要的作用86.1共形映射的概念探讨复变函数映射的几何特性，首先是要并清楚复平面上的一个点集（曲线或者区域）与它的像集之间的对应关系.我们知道，在单变量实函数中，导数被用来刻画因变量相对于自变量的变化情况，且具有相当明显的几何意义.那么，一个复函数的导函数将会刻画什么样的关系呢？又有什么样的几何意义呢？86.1.1导函数的几何意义在讨论导函数的几何意义之前，我们要先给出两个概念，用来描述像曲线与原曲线之间的变化特征1、伸缩率与旋转角如图6.1.C是z平面上过20点的曲线，经函数w一f（z）映射为平面上过Wo点的曲线r其中一f（）在曲线C上点附近任取①某些书中称为“保形映射

·136.第六章共形映射一点=+一十e则在曲线上有对应的点十W十△e显然当|之一较小时.w一与一，的比值近似地反映了曲线C在点附近经函数=（）映射后被拉仰或者被压12-.缩的倍数.特别地，当沿曲线（趋向于点时.若lim存在、之-一名：则此极限值称为用线经函数=（）映射后在处的伸缩率Wo+AWZo+AzIc01P0A0O图 6. 1另一方面，设曲线C在处的切线倾角为，曲线在说处的切线倾角为，则9一。称为曲线C经两数f(z）映射后在处的旋转角，它刻画了由曲线C在。处的切线转动到曲线F在处的切线所需转过的角度可以看出，伸缩率与旋转角完全描述了在W=）映射下曲线F相对于曲线C的变化特征下面我们将看到，当函数一f（）解析时这两个特征可以由导数的模与辐角定量给出。2.伸缩率不变性现假设函数=f（）在区域D内解析，ED，月且f（）0.采用前面的记号，并由导数的定义可得Ajeis[Aw]Aegf(%)= lim-limlim(6.1)TAzJe'630A2142A2-0因此有15(2,)/ = lim z0l*014z/

6.1共形映射的概念137根据伸缩率的概念可知，导数的模！（，），实际上就是曲线（经函数=）映射后在z处的他缩率，由于函数=（）可导因此（）只与有关，而与曲线（本身的形状和方向无美，即对经过点的任何曲线（经=f（）映射底在之点均有相同的伸缩率，因此称这种映射具有伸缩率不变性，3.旋转角不变性与保角性式（6.1)还可得argf'(2.) -- lim(g--) g. -0..(6.2)同样根据旋转角的概念可知，导数的辐角arg（zn）就是线（经函数=（）映射后在处的旋转角，它也与曲线C本身的形状与方向尤关.因此称这种映射具有旋转角不变性另外，设在区域I)内还有一条过之。点的曲线（（图6.1），经函数改一f（）映射后的线为，且（"在2处的切线倾角为0，F在w处的切线倾角为9，则有argf'(2) = 9 -- 0).(6.3)由式（6.2）与（6.3)得9---即这种映射保持了两条典线的交角的大小方向不变，称此性质为保角性，特别指出的是（）≠0是必要的，否则保角性将不成立例6.1求两数一3在-i与z=0处的导数值，并说明其几何意义，解函数t一（）=在整个复平面是解析的.其导函数为f(z)=32*.（1）对z=i，f（i）=3=3e.因此映射=在2=i处具有保角性且伸缩率不变.其伸缩率为3，旋转角为元.（2）对22=0，（0）=0，从图6.2中可以看出，映射元在=0处不具有保角性

第六章共形映射·138 :VY36eTxu00cr图6.26.1.2共形映射的概念定义6.1对于定义在区域L)内的映射=f(z).如果它在D内任意一点具有保角性和伸缩率不变性，则称双一（）是第一类保角映射，如果它在D内任意一点保持曲线的交角的大小不变但方向相反和伸缩率不变，则称一f（2）是第二类保角射，根据前面的讨论，可得下面的定理。定理6.1设函数f（2）在区域D内解析，且f（z）子0.则它所构成的映射是第一类保角映射。关于第二类保角映射，我们通过下面的例子给出简单的说明例6.2考察函数=之所构成的映射，解对于复平面上的任意一点z，有[z-z0][w-wlim=lim一1（即极限存z-2o112一2在），因此映射一之具有伸缩率不变性；又由于饥一之是关于实轴对称的映射，因此它使得曲线的交角的大小不变但方向0相反（图6.3）.根据定义可知，函数8二2是第二类保角映射.定义6.2设=f（z）是区域D内的第一类保角映射.如果当之子22时，有图 6.3f(z)半f(z),则称f(z)为共形映射

6.2共形映射的基本问题.139.例6.3考察函数元=e构成的映射，解由于w=e在复平面上解析粗（e）≠0，因此它在任何区域内均构成第一类保角映射，但它不一定构成共形映射，如在区域0<Im 2<4元内，取z21一号i，22=（2元+i，则c=e=i,因此不构成共形映射.而在区域0<Im之<2元内.二e是共形映射，因此，共形映射的特点是双方单值且在区域内每一点具有保角性和伸缩率不变性，86.2共形映射的基本问题根据理论和实际应用的需要，对于共形映射，我们主要研究两个方面的问题，问题一对于给定的区域I和定义在D的解析函数=（）求像集G=f(D），并讨论f（）是否将D共形地映射为G问题二给定两个区域D和G，求--解析函数Wf（z）.使得f）将D共形地映射为G其中第二个问题称为共形映射的基本问题，它更具有实用价值，但也更为困难，本节对这两个问题只给出一般性的理论描述，具体求解将在后面的几节中进行.另外，本节中所涉及的有关定理的证明均较为复杂，故从略，实际上，对于问题二，我们只需考虑能把1变为单位圆内部即可。这是因为若存在丽数=（）把D变为<1，而函数=g（u）把G变为/l<1,则w=g-1(f(z))把D映射为G(图6.4)5=g(w)5=f(2)W=g-(5)图 6.1

第六章共形映射?140.$6.2.1解析函数的保域性与边界对应原理对于问题一，有下面两个定理，定理6.2（保域性定理）设函数f（）在区域D内解析，且不恒为常数，则像集合G=L))是区域。定理6.3（边界对应原理）设区域D的边界为简单闭曲线C，函数w=f(z）在D=DUC上解析，且将C双方单值地映射成简单闭曲线F.当沿C的正向绕行时，相应的孔的绕行方向定为F的正向，并令G是以T为边界的区域，则=f(）将D共形映射成G.在这两个定理中，定理6.2说明了解析函数把区域变为区域，而定理6.3则为像区或的确定给出了一个一般性的方法.即并不需要对整个区域D进行考虑，而是只需求出D的边界C所对应的曲线及其方向，则以有向曲线F为边界的区域就是像区域.这一方法对于问题二的求解也是有用的这里应特别注意的是r的方向.如图6.5，区域D在曲线C的内部，在C上沿逆时针方向取三点2数一f（）将C与，2分别映射为F和+若，也按逆时针方向排列，则像区域G在F的内部，否则G在『的外部图6.5A例6.4设区域D-（2：0<argz<，0<<1，求区域D在映射双=下的像区域G

第六章共形映射142*据刘维尔定理（见83.4）f（z）必恒为常数，这显然不是我们所要求的映射,（2）关于惟一性一般说来是不惟-的，例如对任意给定的常数，映射孔一2e%均把单位圆内部映射为单位圆内部那么，到底在什么情况下，共形映射函数存在且惟一一呢？黎曼（Riemann）在1851年给出了下面的定理，它是共形映射的基本定理，定理6.4（黎曼存在惟一性定理）设D与G是任意给定的两个单连域·它们的边界至少包含两点，则一定存在解析函数一f（）把D保形地映射为G.如果在D和G内再分别任意指定一点z。和Wo，并任给实数。（一元<≤元）要求函数=f（）满足f（）=且arg（zo）=，则映射w=f（z）是惟一的.黎曼存在惟一性定理肯定了满足给定条件的函数的存在惟一性，但没有给出具体的求解方法，事实上，对一般情况而言，具体求解是比较困难的.因此，下面我们只是针对某些初等函数特别是分式线性函数所构成的映射进行讨论86.3分式线性映射由分式线性函数az+6w=(a.b，c，d为复数且ad一bc子0)(6.4)cz+d构成的映射，称为分式线性映射.其逆映射也为分式线性映射，特别地，当=0时，则称为（整式）线性映射.分式线性映射在理论和实际应用中都是非常重要的一类映射86.3.1分式线性函数的分解要弄清分式线性函数的映射特征，我们只需对下面四种简单函数进行讨论(1）w=2+b（b为复数）

第六章共形映射:144-图 6.7图6.8（2）旋转映射：W20%令z一re则有一reo-，如图6.8，它将曲线C绕原点旋转到曲线F当>0时，逆时针旋转；当91）或者缩小(r当|[>!11时，w<1.因此反演映射=一的特点是将单位圆内部（或外部)的任一点映射到单位圆外部（或内部），且辐角反号从图6.10中即可以1实际上可以分两步进行.先将≥映射为w，满清楚地看出，映射双一1足/w[-且argwagz;再将w映射为w，满足|w|w,|且argw=一argwi.从几何角度看，w与wi是关于实轴对称的，那么与

86.3分式线性映射:145 -的儿何关系是什么呢？图6.10图6.11定义6.3设某圆的半径为R，A、B两点在从圆心出发的射线上，月OA·0B=R则称A和B是关于圆周对称的（图6.11)根据这一定义可知，与是关于单位圆对称的.因此，映射w一可由单位圆对称映射与实轴对称映射复合而成事实上，如果我们将写成=与的复合，则前者正好是单位圆对称映射，而U=后者正好是实轴对称映射，为了方便地进行后面一些问题的讨论，我们对反演映射作如下的规定和说明(1）规定反演映射将=0映射成=α,将=α映射成w=0.（2）规定函数f（）在一0点及其邻域的性态可由函数P（）在=0点及其邻城的性态确定，其中=，)=一f（）.按照此规定，当我们讨论函数f(2)在一点附近的性态时，可以先通过反演映射将f（z）化为（），再讨论)在原点附近的性态.例如，若）在一0处解析，且limp(）=p(0）=A.则可以认为f(）在x点解析,且limf(z)=f(o)一A

146-第六章共形映射36.3.2分式线性映射的保形性首先对=进行讨论.根据前面的规定它在整个扩充复平面上是双方单值的.当0和时=解析且0当时,令dz22=，则()=.显然9（)在=0处解析且g(0）10.因此,除之=0外，映射w=是保形的.至于w一在一0点的保形性可由之=在w=α点的保形性得到,其次对=az十b(a0)进行讨论，它显然是双方单值的dw=a≠0,因此映射=z+b在当时，w=a2十b解析且Ldz3多时是保形的;当≥8时,令-→,=元,则 A=以(6)一本。从显然 )在 =0 解析且 p'(0)-0,因此映射 μ()在 =0 处是保形的,且=0 时，μ=0.又由上面的讨论知道 w=在μ=0 处保A形，从而w=a2十b在z=处保形，这样，我们得到如下定理定理6.5分式线性函数在扩充复平面上是共形映射86.3.3分式线性映射的保圆性以下如无特别说明，我们均把直线作为圆的一个特例，即将直线看作是半径为无穷大的圆，在此意义下，分式线性映射能把圆映射成圆，从前面的分析中，我们已经了解到，一个分式线性函数所确定的映射可以分解为平移、旋转、相似及反演映射的复合.前三种映射显然把二也把圆映射成圆.圆映射成圆.因此只须证明反演映射w二