《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 随机变量的数字特征 5.4 原点矩与中心矩

5.4原点矩与中心矩设X和Y是随机变量，k为正整数，那么定义1若EX存在，则称其为X的阶（原点）矩：若E(XY)存在，则称其为X和Y的k+I阶混合原点矩：若E(X-EX)存在，则称其为X的k阶中心矩：若EI(X-EX)(Y-EY)I存在，则称其为X与Y的k+1阶混合中心矩显然EX=EX（1阶原点矩）DX =E(X-EX)（2阶中心矩）Cov(X,Y) =E(X - EX)'(Y - EY)'(1+1阶混合中心矩）

5.4 原点矩与中心矩 定义1 设X Y k 和 是随机变量, , 为正整数 那么 , ; k 若EX X 存在 则称其为 的k阶(原点)矩 ( ) , ; k l 若E X Y X Y 存在 则称其为 和 的k l + 阶混合原点矩 ( ) , ; k 若E X X X − E 存在 则称其为 的k阶中心矩 [( ) ( ) ] , . k l E X EX Y EY X Y k l − − + 若 存 阶混 在 则称其为 与 的 合中心矩 1 显然 EX EX = (1阶原点矩) 2 DX E X EX = − ( ) ( 2阶中心矩) 1 1 Cov( , ) [( ) ( ) ] X Y E X EX Y EY = − − (1 1 + 阶混合中心矩)

性质设X.Y是两个相互独立的随机变量，且其数学期望都存在，则有E(XY')= EXk.EYE[(X - EX)*(Y - EY)']= E(X - EX)* . E(Y - EY)例1 设X～N(u,α)，求它的各阶中心矩。解 由X ~ N(μ,β")知 Y=*二μ~ N(0,1)O所以 E(X - EX)* = E(X -μ)* = E(αo*yk)= *EY0k =1,3,5,...ke2dy=*(k -1)!!, k = 2,4,6

[( ) ( ) ] ( ) ( ) k l k l E X EX Y EY E X EX E Y EY − − = −  − 性质 , , , 设X Y是两个相互独立的随机变量 且其 数学期望都存在 则有 ( ) k l k l E X Y EX EY =  2 设X N ~ ( , ), .   求它的各阶中心矩 ( ) ( ) ( ) k k k k k k E X EX E X E Y EY − = − = =    例1 ~ (0,1) x Y N   − 解 = 2 由X N ~ ( , )   知 所以 2 2 0, 1,3,5, e d 2 ( 1)!!, 2,4,6, k y k k k y y k k    +  − −   = = =   − = 