《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 随机变量的数字特征 5.1 数学期望

第五章随机变量的数字特征数学期望5.1 5.2 方差5.3 协方差与相关系数5.4 原点矩与中心矩

5.1 数学期望 5.2 方差 第五章 随机变量的数字特征 5.3 协方差与相关系数 5.4 原点矩与中心矩

在实际问题中，我们常对随机变量的某些特征更为关注.例如，在检香一批灯泡的质量时，既需要注意灯泡的平均寿命，又需要注意这批灯泡的稳定性（即相对于平均寿命的偏离程度），平均寿命越长偏离程度越小，质量就越好。可见，与随机变量有关的某些数字虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征这一章我们将介绍随机变量的几个常用的数字特征

在实际问题中, 我们常对随机变量的某些特征 更为关注. 例如, 在检查一批灯泡的质量时, 既需要 注意灯泡的平均寿命, 又需要注意这批灯泡的稳定 性(即相对于平均寿命的偏离程度), 平均寿命越长、 偏离程度越小, 质量就越好. 可见, 与随机变量有 关的某些数字虽然不能完整地描述随机变量, 但 能描述随机变量在某些方面的重要特征. 我们将介绍随机变量的几个常用的数 字特征. 这一章

数学期望5.1 例1一射手进行掷飞镖练习，规定：射入区域e.得2分，射入区域e得1分，脱靶即射入区域e.得0分。解由题意知，射手一次射击得分X是一个随机变量，设X的分布律为：P(X=k)= pk, k=0,1,2. 即X~Po +P + P2 =1PpD现在射击N次：其中得0分的有α次，得1分的有α次，得2分的有α次，显然：+a+α=N，他射击N次得分总和为：×0+α×l+α×2所以，平均一次射击的得分为：×0+α×1+α×2=%×0+×1+%×2=k.NNNNNk=0aka在一定意义下接近于事件（X=k其中：N是事件的频率，但当N很大时，Nak的概率Pk，即在试验次数很大时，随机变量X 的观察值的算术平均≥k.N在k=02ZkPk。一定意义下接近于k=0

5.1 数学期望 例 1 一射手进行掷飞镖练习，规定：射入区域 2 e 得 2 分，射入区域 1 e 得 1 分，脱靶即射入区域 0 e 得 0 分。 解 由题意知，射手一次射击得分 X 是一个随机变量，设 X 的分布律为： P X k p  = = k ，k = 0,1,2. 即 0 1 2 0 1 2 X p p p      ， p p p 0 1 2 + + =1 现在射击 N 次：其中得 0 分的有a0 次，得 1 分的有a1次，得 2 分的有a2 次， 显然：a a a N 0 1 2 + + = ，他射击 N 次得分总和为：a a a 0 1 2  +  +  0 1 2 所以，平均一次射击的得分为： 2 0 1 2 0 1 2 0 0 1 2 0 1 2 k k a a a a a a a k N N N N N =  +  +  =  +  +  =   其中： ak N 是事件的频率，但当N 很大时， ak N 在一定意义下接近于事件X k =  的概率 pk ，即在试验次数很大时，随机变量 X 的观察值的算术平均 2 0 k k a k = N   在 一定意义下接近于 2 0 k k k p =  

定义1对于离散型随机变量X，设其分布律为P(X = x,} = Pk (k =1,2,..)8080若级数xP绝对收敛，则称级数xP,的和为X的数k=1k=1EX =Zxpk学期望,简称期望,记为E(X)或EX，即k=1定义2对于连续型随机变量X，设其分布密度为f(x)，若积分~xf(x)dx 绝对收敛，则称该积分值为X数学期望，记为E(X)或EX，即EX = (~ x f(x)dx

定义1 { } ( 1,2, ) P X x p k = = = k k 对于离散型随机变量X, 设其分布律为 1 1 , , ( ) , k k k k k k x p x p X E X EX   = = 若级数  绝对收敛，则称级数 的和为 的 简 数 学期望 称期望 记为 或 即 1 k k k EX x p  = =  定义2 对于连续型随机变量X, 设其分布密度 为f (x) , 若积分 x f x x ( )d  − 绝对收敛，则称该积分 值为X E X EX 数学期望, ( ) 记为 或 ，即 EX x f x x ( )d  − = 

例2 甲，乙两人进行射击，所得分数分别记为X,Y.设它们的分布律分别为X0..1....0.6..0.4.0.3042试评定甲，乙两人成绩的好坏，解#计算甲，乙两人的数学期望，得EX =0x0.1+1x0.6+2x0.3=1.2EY=0×0.4+1×0.2+2×0.4=1.0这意味着如果甲，乙两人进行多次射击，那么甲所得分数的平均值就接近于1.2分，而乙则接近于1.0分．可见乙的成绩不如甲。2.1随机变量与分布函数梳率统计CZYH

概率统计（ZYH） 2.1 随机变量与分布函数 例 2 甲,乙两人进行射击,所得分数分别记为 X,Y．设它 们的分布律分别为 0.1.2 ~ 0.1.0.6.0.3 X       0.1.2 ~ 0.4.0.2.0.4 Y       试评定甲,乙两人成绩的好坏． 解 计算甲,乙两人的数学期望, 得 EX =  +  +  = 0 0.1 1 0.6 2 0.3 1.2 EY =  +  +  = 0 0.4 1 0.2 2 0.4 1.0 这意味着如果甲, 乙两人进行多次射击, 那么甲所得分 数的平均值就接近于 1.2 分, 而乙则接近于 1.0 分．可见乙 的成绩不如甲

说明：数学期望EX是一个实数，而非变量,它是一种加权平均，与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正平均值例3求泊松分布X～P(a)的数学期望EX福解泊松分布的分布律为ak元P(X = k} =k = 0,1,2,.k!akk-1808Z2名故EX：Re-n.kae-n.e~=a=k!(k-1)!k=0

说明：数学期望EX是一个实数, 而非变量,它是一种 加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了 随机变量 X 取可能值的真正平均值. e , 0,1,2, ! { = } = = − k k P X k k   故   = − =  0 e ! k k k EX k     = − − − = 1 1 ( 1)! e k k k      =  e  e − =  求泊松分布X～P(λ)的数学期望EX. 解 泊松分布的分布律为 例3

总结：几种常见离散型分布的EX1.几何分布X~G(p)：P(X=k)= pq-, 0<p1, p+q=1, k=1,2,..ppEX:p?(1-q)22. 两点分布(0-1分布)： P(X =0)=1-P，P(X =1)= pEX = 0×(1-p)+1×p=p3 二项分布X ~B(n,p): P(X=k)=C,p*q"-kEX=np

总结：几种常见离散型分布的 EX 1.几何分布X G p( )：   k 1 P X k pq − = = ， 0 1 p ， p q + =1，k =1 2， EX ( ) 2 2 1 1 p p q p = = = − 2.两点分布(0 1− 分布)： P X p  = = − 0 1  ，P X p  = = 1 EX =  − +  = 0 1 1 ( p p p ) 3 二项分布 X B n p ( , )：   k k n k P X k C p q n − = = EX = np

例4 求正态分布X～N(uα2)的数学期望EX.解正态分布V(u,α)的分布密度为(x-u)212g2f(x)-8<x<+8-12元(x-μu)21故 EX= (xf(x)dx =2g2dxeo2元0(t(u+ot)ex-u2 dtAS+80dt =μte2元

正态分布N(μ,σ 2 )的分布密度为 故 EX xf (x)d x  +  − = x σ x σ x μ e d 2 1 2 2 2 ( − ) + − − =         = − t σ x μ 令 = −    +  − − x σ f x σ x μ e , 2 1 ( ) 2 2 2 ( )  例4 求正态分布 ~ ( , ) 的数学期望EX. 2 X N μ σ 解 t t = μ σ μ t t t e d 2 e d 2 1 2 2 2 2   + − + − − − = +   μ σt t t ( )e d 2 1 2 2 + − − = + 

总结：几种常见连续型分布的EX1.标准正态分布X～N(O,1)：f(x)V211EX = 0xe(a,b2. 均匀分布X~U(a,b): f(x)= b-a0,其它a+bXEX = (xf (x)dx =dxJab-a21(t)=/ e'4, xx03指数分布X~e()：0,x≤01EX = [xf (x)dx = [ xe-*dx

总结：几种常见连续型分布的 EX 1.标准正态分布X N (0,1)： ( ) 2 2 1 2 x f x e − =  EX = 0 2.均匀分布X U a b ( , )： ( ) ( ) 1 , 0 x a b f x b a    =  −   ， ， 其它 EX ( ) 2 b a x a b x f x dx dx b a + − + = = = −   3 指数分布X e( )： ( ) 0 0 0 x e x f x x   −  =    ， ， EX ( ) 0 x 1 x f x dx x e dx    + + − − = = =  

定理1设Y=g(X)是随机变量X的连续函数，那么(1）若X为离散型随机变量，它的分布律为P(X = x) = Pk ,k =1,2,.则函数Y=g()的数学期望为EY = E[g(X)]=Zg(x)Pk（级数绝对收敛时）若X为连续型随机变量，它的分布密度为f(x)(2)则函数Y=g(X的数学期望为EY = E[g(X)]= /m g(x)f(x)dx（积分绝对收敛时）定理1的重要意义：当我们求EIg(XI时，不必知道g(X)的分布而只需知道X的分布就可以了

则函数Y=g(X)的数学期望为 定理1 设 Y=g(X)是随机变量X的连续函数, 那么 (1) 若X为离散型随机变量，它的分布律为   1 ( ) ( ) k k k EY E g X g x p  = = =  { } , 1,2, P X x p k = = = k k (2) 若X为连续型随机变量，它的分布密度为f (x), 则函数Y=g(X)的数学期望为 EY E g X g x f x x  ( ) ( ) ( )d   − = =  （级数绝对收敛时） （积分绝对收敛时） 定理1的重要意义：当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X) 的分布而只需知道X的分布就可以了