《概率论与数理统计》课程教学资源（电子教案）第5章 随机变量的数字特征

第5章随机变量的数字特征5.1数学期望内容：1.数学期望的定义及性质2.计算各随机变量及变量函数的数学期望要求：1.掌握数学期望的计算公式和性质2.知道常用随机变量的期望3.会计算随机变量及变量函数的数学期望一。引例例5.1.1在检查一批灯泡的质量时，从中抽取了10个灯泡，测得各灯泡的寿命（单位：小时）分别为700，750，750，800，800，800，850，850，900，900试求这些灯泡的平均寿命.解显然，这些灯泡的平均寿命为1×(700×1+750×2+800×3+850×2+900×2）10322212+900×二=810=700x+750x=+800×+850×1010101010从例5.1.1可以看出，虽然所取灯泡的寿命分别为700，750，800，850，900这5个数字，但这些灯泡的平均寿命并不是这5个数字的简单平均，而是把它们分别乘以123221010101010这5个比值（权重）的加权平均：而这5个比值的意义正是这些灯泡分别取得700，750，800，850，900这5个数字的频率．当实验抽取灯泡数较多时，这些频率就趋于相应的概率，因此，对于一般的随机变量，我们自然引入下面的定义二。随机变量的数学期望定义5.1.1对于离散型随机变量X，设其分布律为P(X =x)= pk, k=1,2,3...如果级数之ZxP绝对收敛，则称该级数的和为X的数学期望，记为E(X)，简=l写成EX，即ZxPkEX=(5. 1)k=l注：①上式定义中要求级数绝对收敛，是为了级数的和与各项的排列次序无关，因为分布列中诸x.的排列次序对随机变量X不是本质的。作为统计特征之一的E(X）的值不应受x.的排列次序的影响

第 5 章 随机变量的数字特征 5.1 数学期望 内容：1.数学期望的定义及性质 2.计算各随机变量及变量函数的数学期望 要求：1.掌握数学期望的计算公式和性质 2.知道常用随机变量的期望 3.会计算随机变量及变量函数的数学期望 一．引例 例 5.1.1 在检查一批灯泡的质量时，从中抽取了 10 个灯泡，测得各灯泡的 寿命（单位：小时）分别为 700，750，750，800，800，800，850，850，900，900 试求这些灯泡的平均寿命． 解 显然，这些灯泡的平均寿命为 1 (700 1 750 2 800 3 850 2 900 2) 10 ´ ´ + ´ + ´ + ´ + ´ 1 2322 700 750 800 850 900 810 10 10 10 10 10 = ´ + ´ + ´ + ´ + ´ = 从例 5.1.1 可以看出，虽然所取灯泡的寿命分别为 700，750，800，850，900 这 5 个数字，但这些灯泡的平均寿命并不是这 5 个数字的简单平均，而是把它们 分别乘以 1 2322 , , 10 10 10 10 10 ， ， 这 5 个比值（权重）的加权平均．而这 5 个比值的意义正是这些灯泡分别取得 700，750，800，850，900 这 5 个数字的频率．当实验抽取灯泡数较多时，这些 频率就趋于相应的概率．因此，对于一般的随机变量，我们自然引入下面的定义． 二．随机变量的数学期望 定义 5.1.1 对于离散型随机变量 X ,设其分布律为 P{X = = x p k k } ，k = 1, 2,3L 如果级数 1 k k k x p ¥ = å 绝对收敛，则称该级数的和为 X 的数学期望，记为 E X( ) ，简 写成 EX ，即 1 k k k EX x p ¥ = = å （5．1） 注：①上式定义中要求级数绝对收敛，是为了级数的和与各项的排列次序无 关，因为分布列中诸 i x 的排列次序对随机变量 X 不是本质的。作为统计特征之 一的 E(X )的值不应受 i x 的排列次序的影响．

②若X只取有限个值，则E(X)=Jxpk=l对于连续型随机变量X，其分布密度为f(x)，如果积分「xf(x)绝对收敛，则称该积分的值为X的数学期望，记为EX），简写成EX，即EX = [xf(x)(5. 2)数学期望简称期望，又称均值，它反映了随机变量的平均取值例5.1.2甲，乙两人进行打靶，所得分数分别记为X，Y.设它们的分布律分别为[..........22Y..............3.试评定甲，乙两人成绩的好坏，解计算甲，乙两人的数学期望，由（5.1)得EX=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2EY=0×0.4+1x0.2+2×0.4=1.0这意味着如果甲，乙两人进行多次射击，那么甲所得分数的平均值就接近于1.2分而乙则接近于1.0分。可见乙的成绩不如甲，例5.1.3求泊松分布X~P(2)的数学期望EX解泊松分布的分布律为24e-^, k=1,2,3...P(X = k)= p(a) =k!由（5.1）得e-EX-Zh.2ne-e=1k!台(k-1)!这表明泊松分布的参数入实际上就是它的数学期望或均值，例5.1.4求正态分布X~N(u,G2)的数学期望EX解正态分布N(u,α)的分布密度为-(t-m)21e2g2f(x) =0<x<0/2元将上式代入（5.2）并作变量替换二=1，则得a

②若 X 只取有限个值，则 ( ) å= = n k k pk E X x 1 对于连续型随机变量 X , 其分布密度为 f(x),如果积分 xf x( ) +¥ ò-¥ 绝对收敛, 则称该积分的值为 X 的数学期望, 记为 E X( ) ，简写成 EX ,即 EX xf x( ) +¥ -¥ = ò （5．2） 数学期望简称期望,又称均值,它反映了随机变量的平均取值． 例 5.1.2 甲,乙两人进行打靶,所得分数分别记为 X,Y．设它们的分布律分别 为 0.1.2 ~ 0.1.0.6.0.3 X é ù ê ú ë û 0.1.2 ~ 0.4.0.2.0.4 Y é ù ê ú ë û 试评定甲,乙两人成绩的好坏． 解 计算甲,乙两人的数学期望, 由(5.1)得 EX = 0´ 0.1 1 + ´ 0.6 + 2´ = 0.3 1.2 EY = 0 ´ 0.4 +1´ 0.2 + 2 ´ = 0.4 1.0 这意味着如果甲, 乙两人进行多次射击, 那么甲所得分数的平均值就接近于 1.2 分, 而乙则接近于 1.0 分．可见乙的成绩不如甲． 例 5.1.3 求泊松分布 X P ~ ( ) l 的数学期望 EX 解 泊松分布的分布律为 { } ( ) ! k P X k k p e k l l l - = = = , k = 1, 2,3L 由（5．1）得 1 0 1 ! ( 1)! k k k k EX k e e e e k k l l l l l l l l l ¥ ¥ - - - - = = = × = = × = - å å 这表明泊松分布的参数l 实际上就是它的数学期望或均值． 例 5.1.4 求正态分布 2 X N ~ (m s, )的数学期望 EX 解 正态分布 2 N(m s, )的分布密度为 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 x f x e m s ps - - = , -¥ < x < +¥ 将上式代入（5．2）并作变量替换 x t m s - = ,则得

u730EXI+t)e2dtDV2元1222?0e2dt+Jtedt=μ+0=μV2元√2元这表明正态分布N(u,α)的参数μ实际上就是它的数学期望三。随机变量函数的数学期望1．单个随机变量函数的数学期望：·问题：已知X的概率分布，求X的函数Y=g(X)的期望●求解方法：1)先求Y的概率分布，再由期望的定义求E(y)，特点是比较直观，容易理解，但比较麻烦，且只能求特殊的函数Y=g(X)的概率分布2）用下面的定理5.1.1的结果求E(Y)，避免求Y的分布定理5.1.1设Y=g(X)是随机变量X的连续函数，那么(1)若X的分布律为P(X=x)=Pk，k=1,2,3.,则函数Y=g(X)的数学期望（当下式中级数绝对收敛时）为E(Y)= E(g(X)=Zg(x ) pr(5.3)ks(2)若X的分布密度为f(x),则函数Y=g(X)的数学期望（当下式中积分绝对收敛时)为(5. 4)E(Y)= E(g(X)= /g(x)(x)dx定理5.1.1还可以推广到多维随机变量函数的情况2.二维随机向量函数的数学期望：·问题：已知(X,Y)的概率分布，求Z=g(X,Y)的数学期望●求解方法：1）先求Z=g(X,Y)的概率分布，再由定义求Z=g(X,Y)的数学期望，特点同上2）用下面的定理5.1.2的结果求E（Z），不必求Z的分布

2 2 2 2 ( ) 2 2 1 1 ( ) 2 2 x t EX e dx t e dt m s m s ps p - +¥ - +¥ - -¥ -¥ = = + ò ò 2 2 2 2 2 1 0 2 2 t t e dt te dt s m m m p p +¥ - - +¥ -¥ -¥ = × + = + = ò ò 这表明正态分布 2 N(m s, )的参数m 实际上就是它的数学期望． 三．随机变量函数的数学期望 1. 单个随机变量函数的数学期望： l 问题：已知 X 的概率分布，求 X 的函数Y = g(X )的期望． l 求解方法： 1)先求Y 的概率分布，再由期望的定义求 E(Y )，特点是比较直观，容易理解， 但比较麻烦，且只能求特殊的函数Y = g(X )的概率分布． 2) 用下面的定理 5.1.1 的结果求 E(Y )，避免求Y 的分布． 定理 5.1.1 设Y = g(X )是随机变量 X 的连续函数,那么 (1)若 X 的分布律为 P{X = = x p k k } ，k = 1, 2,3L,则函数Y = g(X )的数学期 望(当下式中级数绝对收敛时)为 ( ) ( ( )) ( ) 1 k k k E Y E g X g x p ¥ = = = å （5．3） (2)若 X 的分布密度为 f(x),则函数Y = g(X )的数学期望(当下式中积分绝对 收敛时) 为 E( ) Y E (g ( X )) g ( ) x f ( ) x dx +¥ -¥ = = ò （5．4） 定理 5.1.1 还可以推广到多维随机变量函数的情况． 2. 二维随机向量函数的数学期望： l 问题：已知(X ,Y )的概率分布，求Z = g(X ,Y )的数学期望． l 求解方法： 1) 先求Z = g(X,Y )的概率分布，再由定义求Z = g(X ,Y )的数学期望，特点同 上． 2) 用下面的定理 5.1.2 的结果求 E(Z )，不必求Z 的分布．

定理5.1.2设Z=g(X,Y)是随机变量(X,Y)的连续函数，那么(1)若(X,Y)的分布律为P(X=x,Y=y)=P，i,j=1,2,3.，则函数Z=g(X,Y)的数学期望（当下式中级数绝对收敛时)为E(Z)=E(g(X,Y)=ZZg(x,y,)P)(5. 5)(2)若(X,Y)的分布密度为f(x,y),数Z=g(X,Y)的数学期望(当下式中积分绝对收敛时)为(5.6)E(Z)= E(g(X,Y))= [ ft g(x, y)f (x,y)dxdy例5.1.5设二维随机变量(X,Y)的分布密度为[x+y..0<x<1,0<y<1f(x,y) =其他0试求XY的数学期望解由（5.6）得E(xm)= J xyf(x, )dxdy= f'dxfxy(x+ y)dx =例5.1.6按季节出售的某种商品，每售出1千克获利润u，如到季末尚有剩余商品，则每千克净亏损.设某商店在季度内这种商品的销售量X（以千克计）在区间（a,b）上服从均匀分布，为使商店所获得利润的数学期望最大，问商店应进多少货？解以z表示进货数（单位：千克），易知应取=所得利润记为Y，则uz-(u+v)=-X).........a<X≤zY = g.(X):.z<X<b是随机变量．由题意，X的分布密度为1.a<x<bf(x)={b-a10..其他于是由（5.．4）式，有EY = E[g.(X)]=t g:(x)f(x)dx["uz -(u+D)(=-x) dx +[budb-ar'dx- (u+v)ruz-x)dxb-

定理 5.1.2 设Z = g ( X Y, )是随机变量(X,Y)的连续函数,那么 (1) 若 (X,Y) 的 分 布 律 为 P{X i , j} ij = x Y = = y p ， i j , = 1, 2,3L , 则 函 数 Z = g ( X Y, )的数学期望(当下式中级数绝对收敛时)为 ( ) ( ( )) ( ) 1 1 , ,i j ij i j E Z E g X Y g x y p ¥ ¥ = = = = åå （5．5） (2)若(X,Y)的分布密度为 f(x,y),数Z = g ( X Y, )的数学期望(当下式中积分 绝对收敛时)为 E(Z ) E (g ( X,Y )) g ( x, , y) f ( x y) dxdy +¥ +¥ -¥ -¥ = = ò ò （5．6） 例 5.1.5 设二维随机变量(X ,Y )的分布密度为 .0 1,0 1 ( , ) 0. x y x y f x y ì + < < < < = í î 其他 试求 XY 的数学期望 解 由（5．6）得 ( ) ( ) 1 1 0 0 1 , ( ) 3 E XY xyf x y dxdy dx xy x y dx +¥ +¥ -¥ -¥ = = + = ò ò ò ò 例 5.1.6 按季节出售的某种商品，每售出 1 千克获利润u ，如到季末尚有剩 余商品，则每千克净亏损u ．设某商店在季度内这种商品的销售量 X（以千克计） 在区间（a b, ）上服从均匀分布，为使商店所获得利润的数学期望最大，问商店 应进多少货？ 解 以 z 表示进货数（单位：千克），易知应取 z 所得利润记为Y ，则 ( )( ). ( ) . z uz u z X a X z Y g X uz z X b ì - +u - < £ = = í î < < 是随机变量．由题意， X 的分布密度为 1 . ( ) 0. a x b f x b a ì ï < < = í - ï î 其他 于是由（5．4）式，有 [ ( )] ( ) ( ) EY E gz z X g x f x dx +¥ -¥ = = ò z b ( )( ) a z uz u z x uz dx dx b a b a - + - u = + - - ò ò ( ) ( ) b z z a uz u dx z x dx b a b a +u = - - - - ò ò

u+v(z-a)?=uzb-a2为了求得EY的最值点，将EY对z求导数，得d(EY)u+u=u-(z-a)dzb-a令该导数为零，可得唯一的最值可疑点u(b-a)z=a+u+u而由问题本身知EY的最大值一定存在，故当进货数1(b-a)（千克）z=a+u+u时获得利润的数学期望最大，四．期望的性质和应用：设XY是两个随机变量，●性质1：设C是常数，则E(C)=C.●性质2. E(cX)=cE(X).·性质3. E(X +Y)=E(X)+E(y) .性质4.设k,k,为任意常数，则E(kX+kY)=kE(X)+k,E()●性质5.X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(y).=2c,E(X.)●推广1.(5.7)ZcXH(ialE(X)(5.8)推广2.若X.,X,,X相互独立，则E(XX,.X)=例5.1.7设一电路中电流1（单位：安）与电阻R（单位：欧）是两个相互独立的随机变量，其概率分布密度分别为[2i.0<i<1g(i) =.其他0与[r2.0<r<3h(r)=0..其他试求电压V=IR的均值解由于电流I与电阻R相互独立，所以

2 ( ) 2 u z a uz b a + - u = - - 为了求得 EY 的最值点，将 EY 对 z 求导数，得 ( ) ( ) d EY u u z a dz b a +u = - - - 令该导数为零，可得唯一的最值可疑点 ( ) u z a b a u u = + - + 而由问题本身知 EY 的最大值一定存在，故当进货数 ( ) u z a b a u u = + - + （千克） 时获得利润的数学期望最大． 四．期望的性质和应用： 设 X, Y 是两个随机变量, l 性质１．设 C 是常数, 则 E( ) C C= ． l 性质 2． E(cX ) = cE X( ) ． l 性质 3． E(X + Y ) = E(X )+ E(Y ) ． l 性质 4．设 1 2 k k, 为任意常数, 则 E(k1X + k2Y ) = + k1 2 E ( X ) k E Y( ) l 性质 5．X 与Y 独立，则 E(XY ) = E(X )E(Y )． l 推广 1． ( ) 1 1 n n i i i i i i E c X c E X = = æ ö = ç ÷ è ø å å （5．7） 推广 2．若 X X Xn , , , 1 2 L 相互独立，则 ( ) Õ ( ) = = n i E X X X n E Xi 1 1 2 L （5．8） 例 5.1.7 设一电路中电流I （单位：安）与电阻 R （单位：欧）是两个相互 独立的随机变量，其概率分布密度分别为 2 .0 1 ( ) 0. i i g i ì < < = í î 其他 与 2 .0 3 ( ) 9 0. r r h r ì ï < < = í ï î 其他 试求电压V = IR 的均值． 解 由于电流I 与电阻 R 相互独立，所以

EV = E(IR)- EI·ER=J if(i)di· J rh(r)dr3r2idi.%dJO3-(伏)=2

EV = E( ) IR - × EI ER if (i)di rh( )r dr +¥ +¥ -¥ -¥ = × ò ò 3 1 3 2 0 0 2 9 r = × i di dr ò ò 3 2 = （伏）

5.2方差内容：1.方差的定义和性质2.计算随机变量的方差要求：1.掌握方差的定义和性质2.熟悉常用随机变量的方差3.会计算随机变量的方差还从例5.1.1说起，在该例中，10个抽样的寿命分别为700,750,750,800,800,800,850,850,900,900已算得它们的平均寿命（即均值）为EX=810.假如还有另一批灯泡，测得其中10个抽样的寿命分别为0,300，300,350，350,400，700,1900,1900,1900虽然两批灯泡的平均寿命相同，但这两批灯泡的质量却存在着明显的差异：第一批灯泡寿命稳定，基本都在700～900小时：第二批灯泡寿命很不稳定，虽有少数寿命很长，但大部分寿命很短，甚至有的根本无法使用，因此，仅由均值判定两批灯泡的质量好坏是不够的.要评定两批灯泡质量的好坏，还需进一步考察灯泡寿命X与均值EX=810的偏离程度.若偏离程度较小，则表示质量比较稳定从这个意义上说，我们认为质量较好：由此可见，研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要：那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢？容易看到，E（X-EX)就能度量随机变量X与其均值EX的偏离程度：但由于该式带有绝对值，运算不便，通常用E（X-EX）来度量随机变量X与其均值EX的偏离程度故引入下面的定义：定义5.2.1设X是一个随机变量。若E(X-EX)存在，则称E(X-EX)为X的方差，记为D(X)，简写为DX，即(5. 9)DX = E(X - EX)?而称与X具有相同量纲的√DX为X的标准差或均方差.按定义，随机变量X的方差DX表达了的取值与其数学期望的偏离程度.DX越小，则X的取值越集中；反之，DX越大，则X的取值越分散，因此，方差DX是衡量X取值的分散程度的一个度量。由定义知，方差实际上就是随机变量X的函数E（X-EX）的数学期望，于是对离散型随机变量，按公式（5.3）有DX = E(X - EX) = 2(X - EX) P(5.10)k=其中P(X=x)=p(k=1,2,)是X的分布律对于连续型随机变量，按公式（5.4）有

5.2 方 差 内容：1.方差的定义和性质 2.计算随机变量的方差 要求：1.掌握方差的定义和性质 2.熟悉常用随机变量的方差 3.会计算随机变量的方差 还从例 5.1.1 说起，在该例中，10 个抽样的寿命分别为 700，750，750，800，800，800，850，850，900，900 已算得它们的平均寿命（即均值）为 EX =810．假如还有另一批灯泡，测得其中 10 个抽样的寿命分别为 0，300，300，350，350，400，700，1900，1900，1900 虽然两批灯泡的平均寿命相同，但这两批灯泡的质量却存在着明显的差异：第一 批灯泡寿命稳定，基本都在 700～900 小时；第二批灯泡寿命很不稳定，虽有少 数寿命很长，但大部分寿命很短，甚至有的根本无法使用．因此，仅由均值判定 两批灯泡的质量好坏是不够的．要评定两批灯泡质量的好坏，还需进一步考察灯 泡寿命 X 与均值 EX =810 的偏离程度．若偏离程度较小，则表示质量比较稳定， 从这个意义上说，我们认为质量较好．由此可见，研究随机变量与其均值的偏离 程度是十分必要．那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢？容易看到， E( ) X - EX 就能度量随机变量 X 与其均值 EX 的偏离程度．但由于该式带有绝 对值，运算不便，通常用 2 E( ) X - EX 来度量随机变量 X 与其均值 EX 的偏离程 度．故引入下面的定义． 定义 5.2.1 设 X 是一个随机变量。若 2 E( ) X - EX 存在，则称 2 E( ) X - EX 为 X 的方差，记为 D X( ) ，简写为 DX ，即 2 DX = - E( ) X EX （5．9） 而称与 X 具有相同量纲的 DX 为 X 的标准差或均方差． 按定义, 随机变量 X 的方差 DX 表达了的取值与其数学期望的偏离程 度．DX 越小，则 X 的取值越集中；反之，DX 越大，则 X 的取值越分散，因此， 方差 DX 是衡量 X 取值的分散程度的一个度量。 由定义知，方差实际上就是随机变量 X 的函数 2 E( ) X - EX 的数学期望，于 是对离散型随机变量，按公式（5.3）有 2 2 1 ( ) ( ) k k k DX E X EX x EX p ¥ = = - = S - （5．10） 其中 { } ( 1, 2, ) P X k k = x = p k = ××× 是 X 的分布律． 对于连续型随机变量，按公式（5.4）有

(5. 11)DX = E(X - EX) = [ (x-EX)" f(x)dx其中f(x)是X的分布密度.由于随机变量X的方差是由数学期望定义的，所以方差也有类似于期望的一些性质。●性质1.D(C)=0.其中C为常数●性质2.DX=EX?-(EX)·性质 3. D(cX)= c2D(X),·性质 4. D(X±Y)= D(X)+ D(y)±2E([X - E(X)[Y - E())特别，当X与Y相互独立时，D(X±Y)=D(X)+D(Y)推广: D(X,+X, +.+X,)=ZD(X,)+2 EE[X, -E(X)]X, -E(x,)特别，若X,X2,X,相互独立，则D(X+X,+.+X)=D(X)=1·性质5.设X是随机变量，则DX=0的充要条件是X以概率1取常数C，即P(X =C)=1显然，这里C=EX.证性质1的结论显然成立；性质5的证明从略.下面证明性质2和性质4，这时，由方差的定义（5.9）及期望的性质即可推得性质 2: DX =E(X -EX) =E[X?-2X(EX)+(EX)= EX? - 2(EX)(EX)+(EX)2= EX? -(EX)?性质4:D(X+Y)=E[X+Y-E(X+Y))= E[(X - EX) +(Y - EY)" +2(X - EX)(Y - EY)]= DX + DY ±2E[(X - EX)(Y - EY)]特别，当X与Y相互独立时，有E[(X - EX)(Y - EY)|= E(X - EX)E(Y - EY) = 0

2 2 DX E(X EX ) (x EX ) f ( ) x dx +¥ -¥ = - = - ò （5．11） 其中 f x( ) 是 X 的分布密度． 由于随机变量 X 的方差是由数学期望定义的，所以方差也有类似于期望的一 些性质。 l 性质１． D C( ) = 0 ．其中C 为常数 l 性质 2． 2 2 DX = - EX ( ) EX l 性质 3． D(cX ) c D(X ) 2 = ． l 性质 4． D(X ± Y ) = D(X )+ D(Y )± 2E{[X - E(X )][Y - E(Y )]}． 特别，当 X 与Y 相互独立时， D(X ± Y ) = D(X )+ D(Y )． l 推广： ( ) å ( ) å {[ ( )][ ( )]} = £ < £ + + + = + - - i j n i i j j n i D X X Xn D Xi E X E X X E X 1 1 1 2 L 2 特别，若 X X Xn , , , 1 2 L 相互独立，则 ( ) å ( ) = + + + = n i D X X Xn D Xi 1 1 2 L l 性质 5．设 X 是随机变量，则 DX = 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数C ，即 P{X C= = } 1 显然，这里C = EX ． 证 性质 1 的结论显然成立；性质 5 的证明从略. 下面证明性质 2 和性质 4，这时，由方差的定义（5.9）及期望的性质即可 推得 性质 2： 2 2 2 DX = E(X - EX ) = E é ù X - + 2X (EX ) ( ) EX ë û 2 2 = EX - + 2(EX )(EX ) ( ) EX 2 2 = - EX ( ) EX 性质 4： [ ] 2 D(X ± Y ) = E X ± Y - ± E( ) X Y 2 2 = E é ù (X - EX ) + (Y - EY) ± 2(X - - EX )( ) Y EY ë û = DX + DY ± 2E[(X - - EX )( ) Y EY ] 特别，当 X 与Y 相互独立时，有 E[(X - EX )(Y - EY)] = E(X - EX )E(Y - = EY) 0

所以D(X±Y)=DX+DY例5.2.1试求泊松分布X~P(a)的方差解泊松分布P(2)的分布律为2P(X = k)= p,(k) =k = 0,1,2,..-k!3所以由公式en知k=o k!≥ [(k-1) +1]24-IEX-ER-e-^=Ne^k=ifeok!(k -1)!=ne~A+2k-1[K2 (k-2)+(k-1)=Me-"(ae"+e)=?+^再由方差的性质1并结合例5.1.3的结果EX=入，即得DX = EX2-(EX) = +-2 = 这样，通过例5.2.1与例5.1.3，我们求得了泊松分布P(2)的数学期望和方差均为入：这一结果表明：泊松分布P（2）的数学期望和方差完全决定了泊松分布.例5.2.2求正态分布X~N(uα2）的方差DX解正态分布N(μ,α)的分布密度为-(r-u)*212f(x) =<x<+00/2元g作变量替换二=1,则得a(x-μ)*1"(x-0)e2adxDX:V2元0

所以 D( ) X ± Y = + DX DY 例 5.2.1 试求泊松分布 X P ~ ( ) l 的方差． 解 泊松分布P( ) l 的分布律为 { } ( ) ! k P X k p k e k l l l - = = = ， k = 0,1, 2,××× 所以由公式 0 ! k k e k l l ¥ = = S 知 [ ] 1 2 2 0 1 ( 1) 1 ! ( 1)! k k k k k EX k e e k k l l l l l - ¥ ¥ - - = = - + = S = S - 2 1 2 1 ( 2)! ( 1)! k k k k e k k l l l l l ¥ ¥ - - - = = é ù = ê ú S + S ë û - - 2 e ( ) e e lll l l l l - = + = + 再由方差的性质 1 并结合例 5.1.3 的结果 EX = l ，即得 2 2 2 2 DX = EX - ( ) EX = l + l - = l l 这样，通过例 5.2.1 与例 5.1.3，我们求得了泊松分布 P( ) l 的数学期望和方 差均为l ．这一结果表明：泊松分布 P( ) l 的数学期望和方差完全决定了泊松分 布． 例 5.2.2 求正态分布 2 X N ~ (m s, )的方差 DX 解 正态分布 2 N(m s, )的分布密度为 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 x f x e m s ps - - = , -¥ < x < +¥ 作变量替换 x t m s - = ,则得 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) 2 x DX x e dx m s s ps - +¥ - -¥ = - ò

1a0a+o+o0e2dt=e2dt=g-te2元V2元V2元Jot这表明正态分布Nu,α）的参数实际上就是它的方差

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t t te e dt e dt s s s s p p p +¥ - +¥ - - +¥ -¥ -¥ -¥ é ù = ×ê ú - + = = ê ú ë û ò ò 这表明正态分布 2 N(m s, )的参数 2 s 实际上就是它的方差．