《概率论与数理统计》课程教学资源（电子教案）第2章 随机变量及其分布

第2章随机变量及其分布内容：1.随机变量与分布函数；2.离散型随机变量的概率分布；3.连续型随机变量的概率分布重点：1.概念：分布函数及性质，离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质2.重要分布：0-1分布、二项分布、泊松(Poisson)分布、均匀分布、指数分布、正态分布的分布.3.随机变量函数的概率分布1.1F随机变量与分布函数一、随机变量1.定义：设随机试验的样本空间为Q，若对样本点のEQ，都存在一个实数X(の)与之对应，即存在一个定义于Q上的单值实函数X=X()，则称X(o)为随机变量.2.注：1）X的随机性；2）以后的事件表示为(X=a),(X>a),a<X≤b)等等二、分布函数1.定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，则称函数F(x)=PX≤x)为X的分布函数2.性质：1° (有界性)0≤F(x)≤1,F(-0)=0, F(+0)=1;2°（单调性）F(x)是单调不减函数，即若X<x2，则有F(s)<F(xz);3°（右连续性）F(x)是右连续函数，即对于任意的x，有F(x+0)=F(x)上述3个性质是判断一个函数是否为随机变量分布函数的充要条件。3.用分布函数表示任意事件的概率：P(a<X≤b)= F(b)- F(a);P(X = b) = F(b)- F(b - 0)例1、设X的所有可能取值为x,x，,x(x, <x,<...<x,),并设X取1所有可能值的概率均为二，求X的分布函数.n

第 2 章 随机变量及其分布 内容： 1. 随机变量与分布函数； 2. 离散型随机变量的概率分布； 3. 连续型随机变量的概率分布. 重点： 1. 概念：分布函数及性质,离散型和连续型随机变量的概率分布及其性 质. 2.重要分布：0-1 分布、二项分布、泊松(Poisson)分布、均匀分布、指数 分布、正态分布的分布. 3.随机变量函数的概率分布. 1.1 随机变量与分布函数 一、随机变量 1.定义：设随机试验的样本空间为W，若对样本点w Î W ，都存在一个实数 X (w)与之对应，即存在一个定义于W上的单值实函数 X = X (w)，则称 X (w)为 随机变量. 2.注：1）X 的随机性； 2）以后的事件表示为{X=a}, {X>a}, {a<X≤b}等等. 二、分布函数 1.定义：设 X 是一个随机变量， x 是任意实数，则称函数 F(x) = P{X £ x} 为 X 的分布函数. 2.性质： o 1 （有界性） 0 £ F(x) £ 1, F(-¥) = 0, F(+¥) = 1； o 2 （单调性）F(x)是单调不减函数，即若 1 2 x < x ，则有 ( ) ( ) 1 2 F x £ F x ； o 3 （右连续性）F(x)是右连续函数，即对于任意的 x ，有F(x + 0) = F(x). 上述 3 个性质是判断一个函数是否为随机变量分布函数的充要条件。 3.用分布函数表示任意事件的概率： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); = = - - 0 < £ = - P X b F b F b P a X b F b F a 例1、 设 X 的所有可能取值为 , , , ( ) n n x x L x x < x <L< x 1 2 1 2 ，并设 X 取 所有可能值的概率均为 n 1 ，求 X 的分布函数

解：由分布函数的定义知0,xR，则(X≤x)是必然事件，故F(x)=P(X≤x)=1综上，随机变量X的分布函数0,xRF(x)10Rx1.2离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量及分布律定义：1.如果随机变量X仅可能取有限个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变

解：由分布函数的定义知 ï î ï í ì ³ £ R ，则{X £ x}是必然事件，故 F(x) = P{X £ x} =1； 综上，随机变量 X 的分布函数 ï î ï í ì > £ £ < = x R x R R x x F x , , , ( ) 1 0 0 0 2 2 ,如图 F(x) 1 O R x 1.2 离散型随机变量的概率分布 一、离散型随机变量及分布律定义： 1. 如果随机变量 X 仅可能取有限个或可列无限多个值，则称 X 为离散型随机变

量.2.设离散型随机变量X的可能取值为x，x，，而X取各个可能值的概率（概率分布）为P(X =x} = Pr,k = 1,2,..-Zp,=1，则称P.(i=1,2,,n,）离散型随机变量X的概率函数，所描述的概若台率分布为离散型随机变量X的分布律.分布率也可用下列表格形式表示：XxX...x....PkplP,""p...或用分布矩阵表示：x2.xx,XPP2...Pk.二、分布律性质：性质1:Pk≥0,k=1,2,3;Zpx=1性质2：台三、分布率与分布函数间的关系：F(x)= P(X≤x)= ZP(X = x = Zp;XASXAS.P(X=x}=F(x)-F(x -0)四、常用离散型随机变量的分布1、0-1分布或两点分布①定义：设随机变量X只可能取α与b两个值（不失一般性，可取a=0,b=1)，设取得这两个值的概率分(1-p)和p，则X的概率分布为P(X = k)= p*(1- p)-*,k = 0,1②应用背景：在抛掷硬币的试验中，设X表示一次试验中正面向上的次数，则X服从0-1分布2、二项分布

量． 2．设离散型随机变量 X 的可能取值为 x1 , x2 ,L，而 X 取各个可能值的概率（概 率分布）为 P{X = xk } = pk ,k =1,2,L 若 1 1 i i p ¥ = å = ，则称 ( 1, 2, , , ) i p i n = L L 离散型随机变量 X 的概率函数，所描述的概 率分布为离散型随机变量 X 的分布律.分布率也可用下列表格形式表示： X 1 x 2 x Lxk L k p 1 p 2 p L pk L 或用分布矩阵表示： ú û ù ê ë é L L L L k k p p p x x x X 1 2 1 2 ~ 二、分布律性质： 性质 1: p 0,k 1,2,3,. k ³ = ； 性质 2: p 1 k 1 å k = ¥ = 三、分布率与分布函数间的关系： { } ( ) ( ) ( ) { } { } ; = = - - 0 = £ = å = = å £ £ k k k x x k x x k P X x F x F x F x P X x P X x p k k 四、常用离散型随机变量的分布 1、0-1 分布或两点分布 ① 定义： 设随机变 量 X 只可能取 a 与 b 两个值（不失 一般 性，可取 a = 0,b = 1），设取得这两个值的概率分(1- p)和 p，则 X 的概率分布为 1 0 1 1 { = } = ( - ) , = , - P X k p p k k k ②应用背景：在抛掷硬币的试验中，设 X 表示一次试验中正面向上的次数，则 X 服从 0-1 分布. ２、二项分布

①定义：设随机试验E只有两个可能结果：事件A或者发生，或者不发生将试验E重复独立地进行n次，则称这一串重复独立的试验为n重伯努利(Bernoulli)试验，简称伯努利试验.设X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，p为一次试验中事件A发生的概率，则P[X = k) =C"p*(1- p)"-*,k = 0,1,2,."",n称随机变量X是服从参数为n,p的二项分布，记作XB(n，p).特别，当n=1时，二项分布退化为0-1分布B(1,p).②应用背景：例1、某批产品中有20%的次品.进行重复抽样检查，共取五个样品，求其中次品数等于0，1，2，3，4，5的概率解：将每次抽样看作一次试验，设抽出的次品数为X，则X～B(5,0.2).故所求概率为P(X = k) =Ck x0.2*×0.85-k,k =0,1,2,.*-,5计算得所求概率（即分布率）为023451X0.32770.40960.20480.05120.00640.0003例2、一个工人负责维修20台同类型的机床，在一段时间内每台机床发生故障需要维修的概率为0.05.求：(1)在这段时间内有2~4台机床需要维修的概率；(2)在这段时间内至少有2台机床需要维修的概率解：依题意，X～B(20,0.05)，故所求概率为P(2 ≤k≤4)=Z P(X = k)=ZC% ×0.05*×0.9520-k = 0.2616(1)-2-(2)P(k≥2) =1-(P(X =0)+ P(X =1))=1-(0.9520 +C2×0.05×0.951)= 0.26423、泊松分布①泊松逼近定理：设X服从二项分布B(n，P)，则当n充分大时有下面的近似等式：P(X=h)=C:p(1-P),k=0,12,,n，其中=pk!

① 定义：设随机试验 E 只有两个可能结果：事件 A 或者发生，或者不发生. 将试验E重复独立地进行n次，则称这一串重复独立的试验为n重伯努利(Bernoulli) 试验，简称伯努利试验.设 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数， p为一 次试验中事件 A 发生的概率，则 P X k C p p k n k k n k n { = } = (1- ) , = 0,1,2,L, - 称随机变量 X 是服从参数为 n, p 的二项分布，记作 X ~ B(n, p) .特别，当 n =1时，二项分布退化为 0-1 分布 B(1, p) . ②应用背景： 例 1、某批产品中有 20%的次品.进行重复抽样检查，共取五个样品，求其中次品 数等于 0，1，2，3，4，5 的概率. 解：将每次抽样看作一次试验，设抽出的次品数为 X ，则 X ~ B(5,0.2).故所 求概率为 0 2 0 8 0 1 2 5 5 5 { = } = ´ . ´ . , = , , ,L, - P X k C k k k k 计算得所求概率（即分布率）为 ú û ù ê ë é 0 3277 0 4096 0 2048 0 0512 0 0064 0 0003 0 1 2 3 4 5 . . . . . . X ~ 例2、 一个工人负责维修 20 台同类型的机床，在一段时间内每台机床发生故障 需要维修的概率为 0.05.求： （1） 在这段时间内有 2~4 台机床需要维修的概率； （2） 在这段时间内至少有 2 台机床需要维修的概率. 解：依题意， X ~ B(20,0.05)，故所求概率为 （1） 2 4 0 05 0 95 0 2616 4 2 20 20 4 2 { £ £ } = å { = } = å ´ . ´ . = . = - = k k k k k P k P X k C （2） 1 0 95 0 05 0 95 0 2642 2 1 0 1 1 19 20 20 ( . . . ) . { } ( { } { }) = - + ´ ´ = ³ = - = + = C P k P X P X ３、泊松分布 ①泊松逼近定理：设 X 服从二项分布 B(n, p) ，则当n充分大时有下面的近似 等式： e k n k P X k C p p k k k n k n , , , , , ! { = } = (1- ) - » -l = 0 1 2 L l ，其中l = np

兴e,k=0,1,2,…定义的X的分布称为泊我们把由P(X=k)=p,(k)=k!松分布，记作X～P(2)②应用背景：（“稀有事件”出现的次数）1）一本书上面的印刷错误；2）排队等候的人数；3）某地区某月发生的交通事故数；.2"e=1注：台k!4.几何分布引例：袋中有2个白球和3个黑球，每次从中任取1个球，直至取得白球为止若每次取出的黑球仍放回去，求取球次数X的分布率解：根据乘法公式可知前k-1次均取得黑球，第k次均取得白球的概率为2)(3)-l = 0.4 ×0.6*-P(X =k) = (55故所求分布率为P(X = k) = 0.4 ×0.6k-1,k = 1,2...由于该随机变量X取得它的可能值的概率恰为几何数列，故称这种分布为几何分布.一般地，随机变量X可能取值是一切正数，而取得这些值的概率为P(X =k)=pk-1,k=1,2, , 其中0<p<1, p+q= 1称为几何分布，记作G(p)5.超几何分布设N,M,n为正整数，且n≤N,M<≤N，又设随机变量X的概率函数为CKCN-MP(X = k} =,max(O,n-N+M)≤k≤min(n,M).Cn则称随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布.1.3连续型随机变量的概率分布一、连续型随机变量定义：设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在一个非负可积函数f(x)，对

我们把由 , , , ,L ! { = } = ( ) = = 0 1 2 - e k k P X k p k k l l l 定义的 X 的分布称为泊 松分布，记作 X ~ P(l) . ② 应用背景：（“稀有事件”出现的次数） 1）一本书上面的印刷错误； 2）排队等候的人数； 3）某地区某月发生的交通事故数；. 注： å ¥ = - = 0 1 k ! k e k l l 4．几何分布 引例 ：袋中有 2 个白球和 3 个黑球，每次从中任取 1 个球，直至取得白球为止. 若每次取出的黑球仍放回去，求取球次数 X 的分布率. 解：根据乘法公式可知前k -1次均取得黑球，第k 次均取得白球的概率为 1 1 0 4 0 6 5 3 5 2 - - = = = ´ k k P{X k} ( )( ) . . 故所求分布率为 P{X = k} = 0.4´ 0.6 k-1 , k = 1,2L 由于该随机变量 X 取得它的可能值的概率恰为几何数列，故称这种分布为 几何分布.一般地，随机变量 X 可能取值是一切正数，而取得这些值的概率为 P{X = k} = pq k -1 , k =1,2,L，其中0 < p < 1, p + q = 1 称为几何分布，记作G( p) . 5．超几何分布 设 N, , M n 为正整数，且n £ £ N,M N ，又设随机变量 X 的概率函数为 { } ,max( , n N M ) k min(n, M ) C C C P X k n N n k N M K M = = - + £ £ - - 0 ． 则称随机变量 X 服从参数为 N, , M n 的超几何分布． 1.3 连续型随机变量的概率分布 一、连续型随机变量定义： 设随机变量 X 的分布函数为F(x)，如果存在一个非负可积函数 f (x)，对

任意实数X，有F(x)= ff(x)dx成立，则称该随机变量X为连续型随机变量，称f(x)为该随机变量X的分布密度或概率密度，简称密度.并称相应的分布为连续型分布注①：连续型随机变量的分布函数必定连续；分布函数连续的随机变量未必是连续型的随机变量；注②：连续型随机变量取任意一点的概率必为零；注③：不可能事件的概率为0，概率为0的事件并不一定是不可能事件：必然事件的概率为1，概率为1的事件不一定是必然事件二、连续型随机变量性质：(1)分布密度在(-0,+oo)上满足：(x)≥0,厂f(x)dx=1(2)在f(x)的连续点处F(x)可导，且F(x)=f(x)(3)对任意实数a,b(a0AxAr(x+0Ax)Ar = f(x)= lim其中(0b)= F(b)- F(b- 0)= 0. 又P(a<X≤b)= F(b)- F(a),从而对任意实数a,b(a<b)，有P(a<X<b)= P(a≤X <b)= P(a<X ≤b)= P(a≤X≤b)= F(b)- F(a)= I f(x)dx

任意实数 x ，有 ò-¥ = x F(x) f (x)dx 成立，则称该随机变量 X 为连续型随机变量，称 f (x)为该随机变量 X 的分 布密度或概率密度，简称密度.并称相应的分布为连续型分布. 注①：连续型随机变量的分布函数必定连续；分布函数连续的随机变量未必 是连续型的随机变量； 注②：连续型随机变量取任意一点的概率必为零； 注③：不可能事件的概率为 0，概率为 0 的事件并不一定是不可能事件；必 然事件的概率为 1，概率为 1 的事件不一定是必然事件. 二、连续型随机变量性质： (1)分布密度在(-¥,+¥)上满足： ³ 0 ò =1 +¥ -¥ f (x) , f (x)dx . (2)在 f ( x)的连续点处F(x)可导，且 F¢(x) = f (x). (3)对任意实数a,b(a b} = F(b) - F(b - 0) = 0.又P(a < X £ b) = F(b) - F(a)， 从而对任意实数a,b(a < b) ，有 = £ £ = - = ò < < = £ < = < £ b a P a X b F b F a f x dx P a X b P a X b P a X b { } ( ) ( ) ( ) { } { } { }

Ae，x≥0;例设随机变量X具有概率密度函数f(x）0,x<0.试确定常数A，以及X的分布函数解：由l=fmf(x)dx=f"Aedx=A,知A=3，即3[3e-", x≥0;f(x)=0,x<0.而X的分布函数为[1-e-*, x≥0;F(x) = [ f(t)dt :0.x<0.三、常用的连续型随机变量的分布：1.均匀分布（1）定义：若X的密度函数为f(x），则称X服从区间（a，b)上的均匀分布，记作：X ~U(a,b)1a<x<bf(x)=b-a其中0,其他另外，可得X的分布函数为0,x<a,x-aa≤x<b,F(x)=b-ax≥b1（2）应用场合：在进行大量数值计算时，产生的舍入误差以及在等间隔发车的公共汽车站乘客候车的时间等都是服从均匀分布例：秒表的最小刻度差为0.2秒，若计时的精确度是取最近的刻度值，求使用该秒表计时产生的随机误差X的概率分布，并计算误差的绝对值不超过0.05秒的概率.解：随机误差X的可能取值范围为[-0.1,0.1]，X在此区间内服从均匀分布.故X的分布密度为：

例 设随机变量 X 具有概率密度函数 î í ì < ³ = - , . , ; ( ) 0 0 0 3 x Ae x f x x 试确定常数A，以及 X 的分布函数. 解：由 f (x)dx Ae dx A, x 3 1 1 0 3 = ò = ò = +¥ - +¥ -¥ 知A=3，即 î í ì < ³ = - , . , ; ( ) 0 0 3 0 3 x e x f x x 而 X 的分布函数为 ò-¥ - î í ì < - ³ = = x x x e x F x f t dt , . , ; ( ) ( ) 0 0 1 0 3 三、常用的连续型随机变量的分布： 1．均匀分布 （1）定义：若 X 的密度函数为 f (x) ，则称X 服从区间(a ,b)上的均匀分布， 记作： 其中 另外，可得 X 的分布函数为 （2）应用场合：在进行大量数值计算时，产生的舍入误差以及在等间隔发车的 公共汽车站乘客候车的时间等都是服从均匀分布. 例:秒表的最小刻度差为 0.2 秒，若计时的精确度是取最近的刻度值，求使用该 秒表计时产生的随机误差 X 的概率分布，并计算误差的绝对值不超过 0.05 秒的 概率. 解：随机误差 X 的可能取值范围为[-0.1,0.1], X 在此区间内服从均匀分布.故 X 的分布密度为： X ~ U(a,b) ï î ï í ì < < = - , 其他 , ( ) 0 1 a x b f x b a ï ï î ï ï í ì - - = 1 0 , , ( ) b a x a F x x b a x b x a ³ £ < < ,

5, x e[-0.1,0.1]f(x) =0,其他误差的绝对值不超过0.05秒的概率：PI X ≤0.05) = F00. 5dx = 0.52.指数分布（1）定义：若X的密度函数为[ae-x,x>0,f(x)=其余.0,其中入>0，则称X服从参数为入的指数分布.记作FX~e(2)另外，可得指数分布e（2）的分布函数为[1-e-x, x>0F(x) =0,x≤0（2）应用场合：电子元件的寿命、设备的寿命、人的寿命等等，其分布特征都与指数分布相近。例：某种电子管寿命X（单位：小时）服从参数为入=0.001的指数分布e(0.001)求这种电子管能使用1000小时以上的概率，解：依题意，所求概率为P[X >1000) = [ 0.001e-0.00*dx= e- =0.36793.正态分布（1）定义：若X的密度函数为1f(x)=x0为常数，则称X服从参数为μ，的正态分布或高斯分布，记作：X～N(uα).如图：0.5f(x;2,1)0.40.30.2J(x;2,3)0.12-2046f(ra")

î í ì Î - = ,其他 , [ . , . ] ( ) 0 5 x 0 1 0 1 f x 误差的绝对值不超过 0.05 秒的概率： 0 05 5 0 5 0 05 0 05 {| | . } . . . £ = ò = - P X dx 2．指数分布 （1）定义：若 X 的密度函数为 , 0; ( ) 0, x e x f x l l - ì > = í î 其余. 其中l > 0 ，则称 X 服从参数为 l 的指数分布.记作 另外，可得指数分布e(l) 的分布函数为 （2）应用场合：电子元件的寿命、设备的寿命、人的寿命等等，其分布特征都 与指数分布相近。 例:某种电子管寿命 X （单位：小时）服从参数为 l=0.001 的指数分布e(0.001), 求这种电子管能使用 1000 小时以上的概率. 解：依题意，所求概率为 1000 0 001 0 3679 1 1000 0 001 { } . . . > = = = - +¥ - ò P X e dx e x 3．正态分布 （1）定义：若 X 的密度函数为 2 2 ( ) 2 1 ( ) , 2 x f x e x m s ps - - = - ¥ , 0 为常数 ，则称 X 服从参数为 m , s 的正态分布或高斯 分 布，记作： ~ ( , ) 2 X N m s .如 图： X ~ e(l) î í ì £ - > = - 0 0 1 0 x e x F x x , , ( ) l -4 -2 0 2 4 6 8 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 f(x;2 ,1) f(x;2 ,3) x 正态分布密度函数曲线 2 f x( ; m s, )

当μ=0,c=1时，称N(0,1)为标准正态分布，它的概率密度为美(8, +8)p(x)12元其分布函数为Φ(x):p(t)dt[edt18F(x)=ΦsaP(aa)=1- F(a)ua=10（2）正态分布具有如下性质：①分布密度f(x)关于轴x=μ对称，总面积为l；②对称性：单调性：凹凸性；③密度曲线呈单峰状，最大值为(/2元）"，随的值增加而减少；④一般正态分布与标准正态分布的关系F(x) =③标准正态分布函数的性质（由对称性得到）Φ(x) = 1- Φ(-x)

当m s = = 0, 1时，称 N(0,1) 为标准正态分布，它的概率密度为 对一般的正态分布 ： ~ ( , ) 2 X N m s ,其分布函数 作变量代换 （2）正态分布具有如下性质： ① 分布密度 f x( ) 关于轴 x = m 对称，总面积为 1； ② 对称性；单调性；凹凸性； ③ 密度曲线呈单峰状，最大值为 1 ( 2 ) ps - ，随s 的值增加而减少； ④ 一般正态分布与标准正态分布的关系 ÷ ø ö ç è æ - = F s 0 m 0 ( ) x F x ⑤ 标准正态分布函数的性质（由对称性得到） F(x) = 1- F(-x) ( ) = (- ¥ + ¥) - , 2 2 2 1 x x e p j F( ) = ( ) = (- ¥ = - s a m P X a F a 1 ( ) 1 ( )

（3）应用场合：正态分布在数理统计中起着特别重要的作用，其应用例子举不胜数，如人的身高、动物的睡眠时间、产品的某规格尺寸上的测量误差、某地区粮食产量等都是随机变量，其分布特征服从或近似服从正态分布例2)；（2)P/X1)解：设x的分布函数为 F(x),利用 F(x)=0(二)以及 (x)=1-Φ(-x)0并查附表3得，(1)P| X - 1.5 > 2] = P(X 3.5)= F(-0.5) +1- F(3.5)= d(=0.5 -1.5)5) +1 - 0(3.5 -1.5,22= Φ(-1) +1- Φ(1)= 2 - 2Φ(1)= 2 -2×0.8413=0.3174

（3） 应用场合：正态分布在数理统计中起着特别重要的作用，其应用例子举不 胜数，如人的身高、动物的睡眠时间、产品的某规格尺寸上的测量误差、 某地区粮食产量等都是随机变量，其分布特征服从或近似服从正态分布. 例〈1〉: 设 X 服从 X ~ N(0,1)，计算:(1)P{X 2}；（2）P{| X |£1}. 解：设 X 的分布函数为 F(x)，利用 以及 F(x) = 1- F(-x) 并查附表 3 得， （1） 0 3174 2 2 0 8413 2 2 1 1 1 1 2 3 5 1 5 1 2 0 5 1 5 0 5 1 3 5 1 5 2 0 5 3 5 . . ( ) ( ) ( ) ) . . ) ( . . ( ( . ) ( . ) {| . | } { . } { . } = = - ´ = - F = F - + - F - + - F - - = F = - + - - > = F F P X P X P X ÷ ø ö ç è æ - = F s x m F(x)