《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 无穷级数 12-03 第三节 幂级数

第三节幂级数函数项级数的概念1幂级数及其收敛性1幂级数的运算小结思考题作业

◼ 幂级数的运算 ◼ 小结 思考题 作业 第三节 幂 级 数 ◼ 幂级数及其收敛性 ◼ 函数项级数的概念

一、函数项级数的概念1.定义定义1 设u(x),u,(x)..,u,(x)...为定义在(a, b)内的函数序列,则8Zu,(x) = u(x)+ u,(x)+...+u,(x)+...n=1称为定义在(a,b)内的函数项级数8级数如x"= 1+x+x2+.n=0

1.定义  =  n=0 n 级数 x  =  = ( ) 1 u x n n 如 设u1 (x),u2 (x) ,un (x) 则 函数项级数. u1 (x) + u2 (x) ++ un (x) + 1+ x + x 2 + 定义1 一、函数项级数的概念 为定义在(a, b)内 的函数序列, 称为定义在(a, b)内的

2.收敛点与收敛域8Z定义2设xE(a,b),若数项级数(xo)unn=18Z收敛(或发散)则称x为函数项级数u,(x)n=180Z的收敛点(或发散点).函数项级数un(x)的n=1所有收敛点(或发散点)称为其收敛域（或发散域)

2.收敛点与收敛域 ( , ), 设x0  a b 若数项级数 x0 收敛(或发散) 则称x0为函数项级数 ( ) 1 u x n  n  = 的收敛点(或发散点). 函数项级数 ( )的 1 u x n  n  = 所有收敛点(或发散点) 称为其收敛域 (或发 ( ) 1   n= 定义 un 2 散域)

3.和函数8Zun(x)设(s,(x)为函数项级数定义3n=1的前n项和序列,若极限 lims(x)= s(x),xE(a,b)n88Zu,(x)的和函数存在，则s(x)称为函数项级数n=18Zx"=1+x+x?+..如，等比级数n=0它的收敛域为x1,发散域为|x≥1.即有在收敛域内和函数是1-x801ZXVx e (-1,1)1-xn=1

3.和函数 定义3 {s (x)} 设 n 为函数项级数 lims(x) s(x), n = → 则s(x)称为函数项级数 和函数. ( ) 1 u x n  n  = 的前n项和序列,若极限 x (a,b) 存在, ( )的 1 u x n  n  = 如,  = + + +  = 2 0 x 1 x x n n 它的收敛域为 | x | 1, 发散域为 | x | 1. 等比级数 在收敛域内和函数是 , 1 1 − x 即有 , 1 1 1 x x n n −  =  = x (−1,1)

s(x) = u,(x)+uz(x)+...+u,(x)+... 定义域s(x)的定义域就是级数的收敛域时，它的定义域是般考虑函数I-x(一80,1)U(1,+8),但只有在D=(-1,1)上,它才是8Zx"=1+x+x2+.的和函数n=0注函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题

lim s (x) s(x) n n = → 函数项级数的部分和 余项 r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 (x在收敛域上) → rn x n 注 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是 s(x) = 定义域 s (x), n 显然 s(x) 的定义域就是 D = (−1,1)上,  = + + +  = 2 0 x 1 x x n n (−,1)(1,+), u1 (x) + u2 (x) ++ un (x) + 级数的收敛域. 数项级数 的收敛问题. 一般考虑函数 , 1 1 时 − x 它的定义域是 但只有在 它才是 的和函数

.3n8北n-1((-1)例求函数项级数的收敛域。nn=1解由比值(达朗贝尔)判别法3n+3un+1nn+1limlimlim3nn-→00n-→8n-8n+lunn(1)当x1时,原级数发散

例 n x n n n 3 1 1 ( 1)  = − − 解 由比值(达朗贝尔)判别法 n n n u u 1 lim + → 3 = x + = → 3 1 lim x n n n (1) 当 x  1 时, 原级数 (2) 当 x  1 时, 原级数 n x n x n n n 3 3 3 1 lim + = + → 绝对收敛; 发散. 求函数项级数的 收敛域

Z(-1)"-18n即x=1.x=-1时(3)当x=1n=18Z(-1)"-1 ,条件收敛x=1时，级数为nn=18Z发散x =-1时,级数为nn=1总之,所讨论的级数的收敛域为区间(-1,1l把函数项级数中的变量x视为参数，通过常数项级数的敛散性判别法，来判定函数项级数对哪些x值收敛，哪些x值发散，这是确定函数项级数收敛域的基本方法

级数为 , 1 ( 1) 1 1 n n n   = − − 条件收敛 级数为 , 1 1   = − n n 发散 总之,所讨论的级数的收敛域为区间 把函数项级数中的变量x视为参数, 即x = 1, x = −1时， x = 1时， x = −1时， (3) 当x = 1 通过常数 项级数的敛散性判别法, 些 x 值收敛,哪些 x 值发散, 来判定函数项级数对哪 这是确定函数项级数 收敛域的基本方法. n x n n n 3 1 1 ( 1)  = − − (−1,1]

二、幂级数及其收敛性1.定义如下形式的函数项级数定义8Zan(x-xo)"= a, +a(x-x,)+...+an(x-x)" +..n=0称为(x-x)的幂级数.其中a,为常数80.C当x =0时,Za,(x-xo)"→anx"n=0n=0称为x的幂级数

1.定义 0 , 当x0 = 时 , 0 n n an x  = 如下形式的函数项级数 n n an (x x ) 0 0  −  = 称为 的幂级数.其中 为常数. an 的幂级数. 定义 ( ) x − x0 n n an (x x ) 0 0  −  =  称为 x = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 二、幂级数及其收敛性

2.收敛半径和收敛域8Z级数th回忆=1+x+x-n=0当[x<1时，收敛;当x|≥1时,发散;发散域(-80,-1]U[1,+8)收敛域(-1,1);

2.收敛半径和收敛域  = + + +  = 2 0 x 1 x x n n 当| x | 1时, 当| x |  1时, 级数 (−1,1); (−,−1][1,+). 收敛; 发散; 收敛域 发散域

阿贝尔（Abel)（挪威）1802-1829定理1 (阿贝尔(Abel)定理)8Z,a,x"在x= x(x, ± 0)收敛,如果级数n=0则它在满足不等式|x|xl的一切x处发散8证()：a,x"收敛.:. limanx" = 0n→0n=0从而数列{a,x"}有界,即有常数M>0,使得|a,x"|≤ M (n= 0,1,2,.)

证 lim 0 = 0 → n n n  收敛 a x  =0 0 (1) n n  an x 阿贝尔 (Abel)(挪威) 1802–1829 n n an x  =0 n n an x  =0 | | | | 0 x  x 定理1 (阿贝尔(Abel)定理) ( 0) 在x = x0 x0  | | | | 0 x  x 在x = x0处 则它在满足 不等式 绝对收敛; 发散. 收敛, 发散, 如果级数 则它在满足不等式 的一切x处 如果级数 的一切x处 从而数列 { } 0 n an x 有界, 即有常数 M > 0, 使得 0 | | ( 0,1,2, ) n n a x M n  =