《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 无穷级数 12-习题课

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第十二章 无穷级数 ➢教学要求 ➢典型例题 习 题 课

教学要求一、1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件2.掌握几何级数和p-级数的收敛性3.了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法4.了解交错级数的莱布尼茨定理,会估计交错级数的截断误差

一、教学要求 1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念, 2. 掌握几何级数和p–级数的收敛性. 数的比值审敛法. 4.了解交错级数的莱布尼茨定理, 了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件. 3.了解正项级数的比较审敛法,掌握正项级 错级数的截断误差. 会估计交

5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念7.掌握幂级数收敛区间的求法8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质

6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的 7. 掌握幂级数收敛区间的求法. 8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基 5. 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的 概念以及绝对收敛与收敛的关系. 概念. 本性质

9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.10.会利用e,sinx,cosx,ln(1+x),(1+x)的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数11.了解幕级数在近似计算上的简单应用

 e ,sin x,cos x,ln(1+ x),(1+ x) x 9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要 条件. 10. 会利用 的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展 开成幂级数. 11. 了解幂级数在近似计算上的简单应用

12.了解函数展开为傅里叶级数的狄里克雷条件,会将定义在(-元,元)和(-l,1)上的函数展开为傅氏级数,并会将定义在（0,元),(0,1)上的函数展开为正弦或余弦级数

并会将定义在 12. 了解函数展开为傅里叶级数的狄里克 雷条件, 会将定义在 (− , ) (−l,l) 展开为傅氏级数, 上的函数展开为正弦或余弦级数. 和 上的函数 (0, ),(0,l)

二、典型例题例判断级数敛散性nM(1)n=1(n+n1nnnnn解u.分母lim(1XJiml(1n-8nn→80

二、典型例题 例 判断级数敛散性 解 n n n n u ) 1 ( + = n n n n ) 1 (1 2 1 + =  n n n n 1 ; ) 1 ( (1) 1 1   = + + n n n n n n n n n n ) 1 lim(1 2 + →  n n n n 1 2 ) ] 1 lim[(1 2 = + → 1 0 分母 = e =

8nn(1) Zn+nhn后(n+-)nUY(n+=)1+nn分子:limxx =e°=1:. limnn =1x-n->0分母n>00.. limu. =1￥0n→00根据级数收敛的必要条件，级数发散

x x x 1 lim →  1 0 = e = lim = 1 → n n u 根据级数收敛的必要条件，级数 分子 lim 1 1  = → n n n  0 ) 1 1 lim(1 2 + = → n n n  n n n n n n n u ) 1 ( 1 + = + n n n n ) 1 (1 2 1 + = 分母 发散．   = + 1 + 1 ) 1 ( (1) n n n n n n n

8In(n +2)>(2)(a>0)n=(a+=)"n正In(n+ 2)n=lim "/In(n + 2)解limlim三u1nn>00a n->on-→00a+-nlim: lim"/ln(n+2) =1,从而有n->00an→00当α>1 即01时，级数发散;a

正 解 从而有 当a  1 级数 当0  a  1 级数   =  + + 1 ( 0) ) 1 ( ln( 2) (2) n n a n a n 1 , 1 即0   时 a 1 , 1 即  时 a n n u → lim n n a n n 1 ln( 2) lim + + = → n lim ln( 2) 1 = + → n a n n lim ln( + 2) → n n  n = 1, = → n n lim u n a 1 收敛； 发散;

21(n+2)n=In(n + 2)Z当a=1时,原级数为n=1(1 +=)"nIn(n + 2)lim+8n(1+=)n所以,原级数也发散

当a = 1时, 原级数为= + + → n n n n ) 1 (1 ln( 2)  lim 所以,原级数也   = + + 1 ) 1 ( ln( 2) n n n a n   = + + 1 ) 1 (1 ln( 2) n n n n +  发散．

:W(-1)n例判断级数是否收敛？如果收敛n=i n- lnn是条件收敛还是绝对收敛？88(-1)"12解 n-lnnn-lnnn=n=]11nn-Innlimlimlim11In nn->0n-lnnn0n>nn808(-1)"1122.而发散二发散,-lnnn-lnnnn=ln=i nn即原级数非绝对收敛

例 解 n n ln n 1 1 lim − = →   =1 1 n n 而   = − − 1 ln ( 1) n n n n 即原级数    =  = − = − − 1 1 ln 1 ln ( 1) n n n n n n n n n n ln 1 lim − →   = − = 1 ln 1 n n n n n n n ln lim − = → = 1 判断级数  是否收敛？  = − − 1 ln ( 1) n n n n 如果收敛, 是条件收敛还是绝对收敛? n 1 发散, 发散 非绝对收敛．