《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 多元函数微分法及其应用 9-3 第三节 全微分

第三节全微分全微分的定义可微的条件■小结思考题

第三节 全 微 分 ◼ 全微分的定义 ◼ 可微的条件 ◼ 小结 思考题

偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率，现在来讨论当各个自变量同时变化时函数的变化情况

函数的变化情况. 偏导数讨论的只是某一自变量变化时 函数的变化率. 现在来讨论当各个自变量同时变化时

一、全微分的定义为了引进全微分的定义，先来介绍全增量全增量的概念设二元函数z=f(x,J)在点 P(x,y)的某邻域内有定义，当变量x、y在点(x,J)处分别有增量△x、△y时，函数取得的增量Az = f(x + Ar, y+Ay) - f(x,y)称为f(x,J)在点(x,)的全增量

先来介绍 全增量的概念 设二元函数z f x y = ( , ) 增量  x y 、 时, z = f (x + x, y + y) − f (x, y) 称为f x y x y ( , ) ( , ) 在点 的 为了引进全微分的定义, 全增量. 域内有定义, 当变量x y x y 、 在点( , )处分别有 函数取得的增量 全增量. 一、全微分的定义 在点 P( x, y) 的某邻

全微分的定义如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量△z=f(x+△Ax,y+Ay)- f(x,y) 可表示为△z = AAx + BAy+ o(p),其中A、B仅与x、y有关,而不依赖于△x、△yp= /(△x)°+(Ay)，则称函数 z= f(x,y)在点(x,y)处可微分,A△x +B△y称为函数 z= f(x,y)在点(x,J)处的全微分.记作dz,即dz = A△x + BAy函数若在某平面区域D内处处可微时，则称这函数在D内的可微函数

全微分的定义 如果函数z f x y x y = ( , ) ( , ) 在点 的全增量 z = Ax + By + o(), 其中A B x y 、 仅与 、 有关, ( ) ( ) , 2 2  = x + y Ax + By x、y, ( , ) x y 处 处的全微分. 可表示为 可微分, z = f (x, y) 在点 (x, y) 则称函数 称为函数 记作 dz, 即 dz = Ax + By. 函数若在某平面区域D内处处可微时, 则称 这函数在D内的可微函数. 而不依赖于 z = f (x, y) 在点 z = f (x + x, y + y) − f (x, y)

z =A△x + BAydz = AAx + BAy+ o(p)注全微分有类似一元函数微分的两个性质：1.dz是△x与△y的线性函数：，高阶无穷小2.△z与dz之差是比p可微与偏导数存在有何关系呢？微分系数A=？B=?全微分的定义可推广到三元及三元以上函数

可微与偏导数存在有何关系呢？ 微分系数 注 1. dz x y 是  与 2. d z z 与 之差是比 dz = Ax + By 全微分有类似一元函数微分的 z = Ax + By + o() A=? B=? 两个性质: 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数. 的线性函数; 高阶无穷小

二、可微的条件(可微必可导）1.可微分的必要条件花定理1(可微必要条件)如果函数 z= f(x,J)在点Oz Oz(x,J)可微分，则该函数在点(x,J)的偏导数ax ay必存在,且函数 z= f(x,J)在点(x,J)的全微分为OzOzDydz. =Ax +axay

1.可微分的必要条件 d y. y z x x z z     +   = (可微必可导) 定理1(可微必要条件)如果函数 z f x y = ( , )在点 (x, y) 可微分, 则该函数在点( , ) x y 的 且函数 z = f (x, y) 在点( , ) x y 的全微分为 二、可微的条件

如果函数z=f(x,y)在点(x,J)可微分,则该函数az.Oz在点(x,y)的偏导数必存在,且函数z=f(x,y)ax ayazaz在点(x,y)的全微分为 dz=AyAx+axay可微分，证 如果函数 z=f(x,y)在点P(x,J)P'(x+△x,+Ay) P的某个邻域△z = A△x + B△y + o(p)总成立，当Ay=0时，上式仍成立，此时p=△xl,f(x +△x, y+ O)- f(x, y) = A(x)+o(I△x D)Oz.f(x+△x,y)- f(x,y)im2axAxAr-→>0az同理可得B=ay

证 z = Ax + By + o() 总成立, f (x + x, y + 0) − f (x, y) = Ax + o(| x |), A x f x x y f x y x =  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 =   x z 同理可得 . y z B   = 当 = y 0时， 上式仍成立, 此时  =| x |, P(x + x, y + y) P 的某个邻域 如果函数 z f x y P x y = ( , ) ( , ) 在点 可微分, y y z x x z z     +   d = 如果函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微分, 则该函数 偏导数 、 必存在,且函数z = f (x, y) y z x z    在点 的  (x, y) 在点(x, y)的全微分为

上一节指出，多元函数在某点各个偏导数即使都存在，都不能保证函数在该点连续多元函数在某点可微是否保证函数在该点连续答：如果函数 z=f(x,J)在点(x,J)可微分则函数在该点连续.事实上，由全微分的定义有△z = A△x + BAy + o(p)可得 lim △z =lim(A△x + BAy + o(p))= 0p-0p-0显然，多元函数可微必连续不连续的函数一定是不可微的

都不能保证函数在该点连续. 多元函数在某点可微是否保证 事实上, z = Ax + By + o() 显然, 答: 由全微分的定义有 可得  = → z 0 lim  = 0 多元函数可微必连续 不连续的函数 上一节指出, 多元函数在某点各个偏导数 即使都存在, 函数在该点连续 如果函数 z f x y x y = ( , ) ( , ) 在点 可微分, 则函数在该点连续. lim( ( )) 0   Ax + By + o → 一定是不可微的

一元函数在某点的导数存在仁微分存在。全微分存在。多元函数的各偏导数存在下面举例说明由定理1知 二元函数可微一定存在两个偏导数，但两个偏导数都存在函数也不一定可微xyx?+y2 ±0x?+ y如,f(x,y)=人[0x2+y?= 0在点(0,0)处有,(0,0)= f,(0,0)= 0(由偏导数定义可求得

多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 如， . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2      + = +  = + x y x y x y xy f x y 下面举例说明 二元函数可微一定存在两个偏导数. 一元函数在某点的导数存在  微分存在．  但两个偏导数都存在函数也不一定可微. (由偏导数定义可求得) f x (0,0) = f y (0,0) = 0 由定理1知 在点(0,0) , 处有

xyx2 +y?+0f(x,y)=1 /x? + y在点(0,0)处有10x+y= 0Ax·AyAz -[f (0,0) · Ax + f,(0,0) · Ay] =(Ax) +(Ay)如果考虑点P'(△x,Ay)沿直线 y=x趋近于(0,0)Ax · AyAx.Ax1(△x)~ + (Ay)2则(Axr)° +(Axr)2 = 2"p说明它不能随着p→0而趋于0,当p→0时△z -[fr(0,0) · Ax + f,(0,0) · Ayl ± o(p),因此，函数在点(0,0)处不可微

z [ f (0,0) x f (0,0) y]  − x   + y   , ( ) ( ) 2 2 x y x y  +     = 则 2 2 ( x) ( y) x y  +     2 2 ( x) ( x) x x  +     = , 2 1 = z [ f (0,0) x f (0,0) y]  − x   + y   在点(0,0)处有 说明它不能随着  → 0 而趋于0, 当 → 0 , 时 因此, 函数在点(0,0) . 处不可微 如果考虑点 P(x,y) 沿直线 y = x 趋近于 (0,0),  o(), . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2      + = +  = + x y x y x y xy f x y