《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 向量代数与空间解析几何 8-5 第五节 曲面及其方程（surface）

第五节曲面及其方程(surface)曲面方程研究的基本问题旋转曲面(surface of revolution)柱面(cylindrical surface）二次曲面(quadratic surface)小结思考题作业

第五节 曲面及其方程(surface) ◼ 曲面方程研究的基本问题 ◼ 旋转曲面(surface of revolution) ◼ 柱面(cylindrical surface ) ◼ 二次曲面(quadratic surface) ◼ 小结 思考题 作业

曲面方程研究的基本问题一、研究下列两个基本问题(1)已知一个曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面的方程。(②)已知坐标x，y，z之间的一个方程时研究这方程所表示的曲面的形状

一、曲面方程研究的基本问题 研究下列两个基本问题 (1) 已知一个曲面作为点的几何轨迹时，建立 曲面的方程。 (2) 已知坐标 x, y, z 之间的一个方程时 研究这方程所表示的曲面的形状

M,M,= /(x, -x) +(y2 - y)+(z, -z)例1 建立球心在点M(xo,Jo,z)半径为R的球面方程解设M(x,,z)是球面上任一点，「MM= RV(x-x)2 +(y- yo)2 +(z- z) =R所求方程为(x-x)2 +(y-yo) +(z-z) = R特殊球心在原点的球面方程x?++z2=R

解 | MM0 |= R − + − + − = 2 0 2 0 2 0 (x x ) ( y y ) (z z ) 2 2 0 2 0 2 0 (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) = R 所求方程为 球心在原点的球面方程 2 2 2 2 x + y + z = R 建立球心在点M0 (x0 , y0 ,z0 )、半径为R的 球面方程. 例1 特殊 设M(x, y,z) 是球面上任一点, R 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = (x − x ) + ( y − y ) + (z − z )

例2求x2+2+z2-2x+4y=0表示怎样的曲面？解：酉配方后得到(x -1)2 +(y +2) + z2 = 5表示球心在M,(1,-2,0),半径为R= V5 的球面

例2 求 2 2 2 x y z x y + + − + = 2 4 0 表示怎样的曲面？ 解： 配方后得到 2 2 2 ( 1) ( 2) 5 x y z − + + + = 表示球心在 0 M (1, 2,0), − 半径为 R = 5 的球面

研究空间曲面有两个基本问题(1）已知曲面，求方程：（讨论旋转曲面）(2）已知方程，研究图形（讨论柱面，二次曲面）

研究空间曲面有 (1)已知曲面, (2)已知方程, 两个基本问题 (讨论旋转曲面) (讨论柱面, 二次曲面) 求方程; 研究图形

二、旋转曲面(surface of revolution)定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面，称为旋转曲面这条定直线叫旋转曲面的轴轴此曲线称母线为方便,常把曲线所在母线平面取作坐标面，旋转轴取作坐标轴

二、旋转曲面 定义 绕其平面上的一条直线 这条定直线叫旋转曲面的轴. 此曲线称 旋转一周所成的曲面, 称为旋转曲面. 母线. 为方便, 平面取作坐标面,旋转轴取 作坐标轴. (surface of revolution) 常把曲线所在 以一条平面曲线 母线 轴

7旋转过程中的特征：M,(0, y1,z1)M(x,y,z)如图 设 M(x,J,z),C: f(y,z)= 0M,(0, Ji,z), f(y1,z)) = 0y(1) zi = zx(2)点M到z轴的距离 d=x2+2= Jl将 z =z, =±/2 +y代入f(y,z)=0得方程 f(±/x2+,z)=0

d 设 M(x, y,z), z = z 1 (1) 2 2 d = x + y 旋转过程中的特征： 如图 将 , 1 z = z f ( y1 ,z1 ) = 0 (0, , ), 1 1 1 M y z ( , ) 0 2 2 得方程 f  x + y z = (2)点M到z轴的距离 | | 1 = y 2 2 1 y =  x + y 代入 f ( y1 ,z1 ) = 0 x y z O (0, , ) 1 1 1 M y z  M(x, y,z) C : f ( y,z) = 0

f(± /x2 +y2, z)=0即为 yOz坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕轴旋转一周的旋转曲面方程同理,yOz坐标面上的已知曲线,f(y,z)=0绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为f(y, ±/x2 +z2)= 0

f ( y, ) = 0 2 2  x + z 旋转一周的旋转曲面方程. 即为 yOz坐标面上的已知曲线f ( y,z) = 0 同理, yOz坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0 旋转一周的旋转曲面方程为 ( , ) 0 2 2 f  x + y z = 绕z轴 绕y轴

总之，位于坐标面上的曲线C,绕其上的一个坐标轴转动，所成的旋转曲面方程可以这样得到曲线方程中与旋转轴相同的变量不动而用另两个的变量的平方和的平方根（加正负号）替代曲线方程中另一个变量即可

曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以 这样得到 : 而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可

例1直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为T称为圆锥面的顶点,两直线的夹角α(0<α<=)2圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点O，旋转轴为z轴,半顶角为α 的圆锥面的方程z.Z解yOz面上直线方程为z=ycotαM圆锥面方程z=±/x+ ycotαVX

10  解 z = y cot 圆锥面方程 cot 2 2 z =  x + y 所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为 圆锥面的顶点, 两直线的夹角 圆锥面的半顶角. ) 2 (0     称为 试建立顶点在坐标原点O, 旋 转轴为z轴,半顶角为  的圆锥面的方程. yOz 面上直线方程为 M(x, y,z) • (0, , ) 1 1 1 M y z • 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周 y x z O x y z O 例1